二項分布與超幾何分布模型識別問題

陳澤剛 杜海洋

(四川省成都經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗中學校)

在教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，有時，學生不能很好地理解這兩種模型的定義，一遇到“取”或“摸”的題型，就認為是超幾何分布，不加分析，濫用公式，運算對象不明晰.事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別，下面筆者通過對兩種分布進行分析并舉例加以說明.

1 基本概念

1.1 超幾何分布

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為

其中，m＝min{M，n}且n≤N，M≤N.n，M，N∈N*為超幾何分布，如果一個變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分布，且

1.2 二項分布

在n次獨立重復試驗中，設事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中，事件A發(fā)生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為

此時稱隨機變量X服從二項分布.記作:

1.3 “二項分布”與“超幾何分布”的聯(lián)系與區(qū)別

1)“二項分布”所滿足的條件:在每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的;是一種有放回抽樣，各次試驗中的事件是相互獨立的;每次試驗只有兩種結(jié)果，事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生;隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發(fā)生的次數(shù).

2)“超幾何分布”的本質(zhì):在每次試驗中某一事件發(fā)生的概率不相同，是不放回抽樣.當樣本容量很大時，超幾何分布近似于二項分布.

3)“二項分布”和“超幾何分布”是兩種不同的分布，但其期望是相等的，即把一個分布看成是“二項分布”或“超幾何分布”時，它們的期望是相同的.事實上，對于“超幾何分布”，若則

“超幾何分布”和“二項分布”的這種“巧合”，使得“超幾何分布”期望的計算大大簡化.

共同點:每次試驗只有兩種可能的結(jié)果:事件發(fā)生或事件不發(fā)生.

不同點:a)超幾何分布是不放回抽樣，二項分布是有放回抽樣.b)超幾何分布需要知道總體的容量，二項分布不需要知道總體容量，但需要知道“成功率”.

聯(lián)系:當總體的容量很大時，超幾何分布近似于二項分布.

2 典型例題

例1袋中有8個白球和2個黑球，從中隨機連續(xù)抽取3次，每次取1個球.求:

(1)有放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)X的分布列;

(2)不放回抽樣時，取到黑球的個數(shù)Y的分布列.

解析

(1)有放回抽樣時，取到的黑球個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3.又由于每次取到黑球的概率均為次取球可以看成3次獨立重復試驗，則所以

因此，X的分布列如表1所示.

表1

(2)不放回抽樣時，取到的黑球個數(shù)Y可能的取值為0，1，2，且有

因此，Y的分布列如表2所示.

表2

點評

利用兩種分布的不同點，即超幾何分布是不放回抽取，二項分布是有放回抽取，容易使問題獲解.

例2在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，求:

(1)取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的概率;

(2)記X表示“取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)的數(shù)量”，求X的分布列并求E(X).

解析

由題可知:從10件產(chǎn)品中分別任取兩次得到一等品或二等品的概率是不相等的，這是一種不放回抽樣，隨機變量X服從超幾何分布.

(1)設取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)多于二等品件數(shù)為事件A，記事件A1:取出3件一等品;事件A2:取出2件一等品和1件三等品;事件A3:取出1件一等品和2件三等品.由于A1，A2，A3互斥，且A＝A1∪A2∪A3，即

(2)X＝0，1，2，3;X服 從 超 幾 何 分 布，所 以P(X＝0)＝P(1件 一 等 品，1件 二 等 品，1件 三等品)(2件一等品，1件二等品)(3件一等品，1件二等品)(3件一等品，0件二等品)

因此，X的分布列如表3所示.

表3

點評

謹防錯誤地認為隨機變量X服從二項分布，即

例3從某高中學校隨機抽取16名學生，經(jīng)校醫(yī)檢查得到每位學生的視力，其中“好視力”4人，用這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的整體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

解析

本題就是從“該校(人數(shù)很多)任選3人”，由此得到“好視力”人數(shù)X，若每次從該校任取一名學生為“好視力”這一事件的概率顯然是相等的，因為該?！叭藬?shù)很多”相當于“有放回抽樣”，因此，隨機變量X服從二項分布而不是超幾何分布.

由題可知X＝0，1，2，3，由樣本估計總體，每次任取一人為“好視力”的概率為則X～B(3，所以

因此，X的分布列如表4所示.

表4

點評

假設問題變?yōu)?“從16名學生中任取3名，記X表示抽到‘好視力’學生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.”那么X服從超幾何分布，即(X＝0，1，2，3)，其中，數(shù)學期望值不變，即

例4寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些?服從超幾何分布的是哪些?

(1)X1表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù);

(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X2(N－M＞n＞0).

解析

(1)X1的分布列如表5所示.

表5

(2)X2的分布列如表6所示.

表6

因此，即X2服從超幾何分布.

點評超幾何分布的抽樣是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽樣是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當超幾何分布所對應的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.

通過以上幾例得出，二項分布模型和超幾何分布模型最主要的區(qū)別在于是有放回抽樣還是不放回抽樣.因此，在解有關(guān)二項分布和超幾何分布問題時，仔細閱讀、辨析題目條件是非常重要的.