全概率公式及其應用

李文東

(廣東省中山市中山紀念中學)

概率論是統(tǒng)計學在現(xiàn)實生活中應用的理論基礎，它的特點是推理嚴謹和邏輯性較強，是學生比較難掌握的學科，尤其是正確應用全概率公式.概率論中的全概率公式是一個重要的公式，它不僅包括了事件的并和互斥的概念，而且包括概率的加法公式、概率的乘法公式以及條件概率公式等，它提供了一條有效的途徑來計算復雜事件的概率，通常能使比較復雜事件的概率計算問題得到簡化，應用較為廣泛.條件概率是人教2004年版高中數(shù)學《選修2－3》第二章第二節(jié)的內容，全概率公式是人教社2017年A版高中數(shù)學選擇性《必修3》的內容，全概率公式已經納入了《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中，2019年全國Ⅰ卷理科第22題間接考查了全概率公式，本文簡單介紹全概率公式及其應用.

1 全概率公式

全概率公式:對一個樣本空間Ω，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0(i＝1，2，…，n)，則對任一事件B?Ω，有

證明如圖1所示，B＝(BA1)∪(BA2)∪…∪(BAn)，顯然BA1，BA2，…，BAn也兩兩互斥.

圖1

由概率的加法公式和概率的乘法公式得

全概率公式的基本思想:將事件B轉化為n個兩兩互斥的事件之和，即B＝(BA1)∪(BA2)∪…∪(BAn)，其中A1，A2，…，An恰好構成樣本空間Ω的一個劃分，若我們可以求得條件概率P(B|Ai)(i＝1，2，…，n)，那么用全概率公式即可求得P(B).

例1盒中有黃球3個，藍球7個，甲先從中任取2個，乙再從其余的8個中任取3個.甲、乙約定，取得黃球多者為勝，求甲勝的概率.

分析顯然乙取出的黃球的個數(shù)受到甲取出的黃球個數(shù)的影響，分兩步進行:第一步，看甲先取出的黃球個數(shù)，可能是0個，可能是1個，也可能是2個，我們分別把它們設為事件A0，A1，A2，顯然A0，A1，A2兩兩互斥，且P(Ai)＞0(i＝0，1，2)，A0∪A1∪A2＝Ω;第二步，看乙取出黃球的個數(shù)，比較甲、乙兩人誰取的黃球多，這類問題需要用全概率公式求解.

解設事件B:“甲取出的黃球比乙的多，甲勝”，A0:“甲取出的黃球個數(shù)為0個”，A1:“甲取出的黃球個數(shù)為1個”，A2:“甲取出的黃球個數(shù)為2個”.由題意可知

則由全概率公式可得

2 全概率公式在遞推數(shù)列中的應用

在一些復雜的概率計算問題中，特別是涉及概率序列時，可以利用全概率公式得到概率序列的遞推關系式，這是解決這類問題的難點.

例2某個質地均勻的正四面體玩具的4個面上分別標有數(shù)字0，1，2，3，將這個玩具拋擲n次，記第n次拋擲后玩具與桌面接觸的面上所標的數(shù)字為an，數(shù)列{an}的前n項和為Sn.記Sn是3的倍數(shù)的概率為P(n).

(1)求P(1)，P(2);

(2)求P(n).

分析本例要求第n次拋擲后Sn是3的倍數(shù)的概率P(n)，概率與次數(shù)有關，這類問題需要利用全概率公式建立P(n)的遞推關系，將概率問題轉化為數(shù)列問題求解.由題意，Sn的結果有:“Sn為3的倍數(shù)”“Sn除以3的余數(shù)為1”“Sn除以3的余數(shù)為2”這3種，顯然這3種結果所代表的事件是兩兩互斥的，而第n＋1次拋擲后的結果Sn＋1與an＋1，第n次拋擲后的結果Sn有關，即Sn＋1＝Sn＋an＋1，當Sn為3的倍數(shù)時，an＋1取值為0或3，則Sn＋1也為3的倍數(shù);當Sn除以3的余數(shù)為1時，an＋1取值為2，則Sn＋1也為3的倍數(shù);當Sn除以3的余數(shù)為2時，an＋1取值為1，則Sn＋1也為3的倍數(shù);再利用全概率公式，可得到P(n)的遞推關系式.

解(1)由題意，P(1)代表拋擲1次后，S1＝a1為3的倍數(shù)的概率.拋擲1次，一共有4種結果，出現(xiàn)0和3時符合要求，故同理，拋擲2次，一共有42＝16種結果，出現(xiàn)1＋2，2＋1，0＋0，3＋3，0＋3，3＋0時，符合要求，共計6種情況，故

(2)設An，Bn，Cn分別表示第n次拋擲后“Sn是3的倍數(shù)”“Sn除以3的余數(shù)為1”“Sn除以3的余數(shù)為2”，Sn除以3的余數(shù)為1的概率為P1(n)，Sn除以3的余數(shù)為2的概率為P2(n)，即P(n)＝P(An)，P1(n)＝P(Bn)，P2(n)＝P(Cn)，顯然An，Bn，Cn兩兩互斥，且由全概率公式

注:也可以利用對立事件的全概率公式求解，由全概率公式有

例3一種擲骰子走跳棋的游戲如下:棋盤上標有第0站、第1站、第2站……第100站，共101站，設棋子跳到第n站的概率為Pn，一枚棋子開始在第0站，棋手每擲1次骰子，棋子向前跳動1次.若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳1站;若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳2站，直到棋子跳到第99站(獲勝)或第100站(失敗)時，游戲結束(骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的6個面分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6).

(1)求P0，P1，P2;

(2)求該游戲獲勝的概率.

分析第(2)問求該游戲獲勝的概率，即棋子跳到第99站的概率，顯然直接計算這個概率很復雜，需要通過全概率公式建立Pn的遞推關系式來求解.由題意，當棋子跳到第n(n≥2)站時，它與上一次棋子所處的站點和擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)有關.即棋子跳到第n(n≥2)站，它包含棋子跳到第n－1站的條件下且擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)和棋子跳到第n－2站的條件下且擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)這兩種情形，因此引入互斥事件:Ai表示“棋子跳到第i站”，可以通過全概率公式建立Pn的遞推關系式.

解(1)棋子開始在第0站是必然事件，所以P0＝1.

棋子跳到第1站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為

棋子跳到第2站，包括兩種情形，即第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為前兩次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為

(2)設事件Ai表示“棋子跳到第i站”，則棋子跳到第i站的概率為Pi＝P(Ai)(i＝1，2，…，n)，顯然A1，A2，…，An兩 兩 互 斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，又

由全概率公式:

所以

例4(2019年全國Ⅰ卷理22)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定:對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假 設α＝0.5，β＝0.8.

(ⅰ)證明:{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)為等比數(shù)列;

(ⅱ)求p4，并根據p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

分析本題作為2019年高考數(shù)學壓軸題，難點在于讀懂題意，出題者為了降低難度，直接給出了遞推式pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1，這里我們重點分析該式的推導過程.由題意，甲藥和乙藥累計得分之和為8分，若最終認為甲藥比乙藥更有效，則最終甲藥累計得分為8分，由于pi(i＝0，1，…，8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，也就是甲藥的累計得分為i時，最終甲藥累計得分為8分的概率.設A，B，C分別表示事件:一輪實驗中“施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈”“施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈”“都治愈或都未治愈”，則A，B，C兩兩互斥且A∪B∪C＝Ω，P(A)＝P(X＝1)＝α(1－β)，P(B)＝P(X＝－1)＝(1－α)β，P(C)＝P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，M表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”，由全概率公式P(M)＝P(A)P(M|A)＋P(B)P(M|B)＋P(C)P(M|C)，其中P(M|A)表示在甲藥的累計得分為i時第一輪試驗中施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈的條件下，最終認為甲藥比乙藥更有效的概率，此時甲藥的累計得分為i＋1分，故P(M|A)＝pi＋1，同理P(M|B)＝pi－1，P(M|C)＝pi，于是pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1＝α(1－β)pi＋1＋[αβ＋(1－α)(1－β)]pi＋(1－α)βpi－1.

解(1)由題意可知X所有可能的取值為－1，0，1，所以P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，則X的分布列如表1所示.

表1

(2)因為α＝0.5，β＝0.8，所以a＝0.5×0.8＝0.4，b＝0.5×0.8＋0.5×0.2＝0.5，c＝0.5×0.2＝0.1.

(ⅰ)因為pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，即pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1，2，…，7)，整理得5pi＝4pi－1＋pi＋1(i＝1，2，…，7)，pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)(i＝1，2，…，7)，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)是以p1－p0為首項，4為公比的等比數(shù)列.

p4表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為此時得出錯誤結論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.

對于一些比較復雜的計數(shù)問題，我們也借助全概率公式來求解，下面舉例說明.

例5甲、乙、丙三個人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經過n次傳球后，球又回到甲手中，則不同的傳球方法有多少種?

分析本題是經典的傳球問題，顯然每次傳球都是隨機的，即每次有兩種傳球方式，n次傳球后，總的傳球方式為2n種.設經過第n次傳球后，球在甲手中的不同方法有an種，則第n次傳球后球又回到甲手中的概率為第n次傳球后球共有“球又回到甲手中”“球又回到乙手中”“球又回到丙手中”這3種結果，它們所代表的事件是兩兩互斥的，因此可以利用全概率公式建立an的遞推關系式求解問題.

解設An，Bn，Cn分別表示第n次傳球后“球又回到甲手中”“球又回到乙手中”“球又回到丙手中”，其概 率 分 別 為p(n)＝P(An)，q(n)＝P(Bn)，r(n)＝P(Cn)，顯 然An，Bn，Cn兩 兩 互 斥 且An∪Bn∪Cn＝Ω，則由全概率公式

即

設經過n次傳球后，球分別在甲、乙、丙手中的不同方法有an，bn，cn種，且有a1＝0，經過n次傳球后共有2n種不同的傳球方法，故an＋bn＋cn＝2n，代入式①得an＋1＝bn＋cn，從而an＋an＋1＝2n，由此可得

從以上問題可以看出，當涉及復雜的概率計算特別是事件在相關聯(lián)的不同狀態(tài)下的概率問題時，可以通過全概率公式找到相關聯(lián)事件概率之間的關系來求解.