基于自適應(yīng)觀測器的直升機(jī)系統(tǒng)故障估計

陸孟潔， 王天真， 祝小元

(1.上海海事大學(xué)，上海 201000； 2.東南大學(xué)，南京 211000)

0 引言

無人機(jī)由于在軍事和民用領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注[1]。與固定翼無人機(jī)相比，旋翼無人機(jī)具有體積小、懸停時間長和飛行靈活等特點(diǎn)[2]。因此，直升機(jī)作為一種典型的旋翼無人機(jī)，被廣泛用于執(zhí)行搜索救援、線路巡檢、農(nóng)業(yè)植保等特定任務(wù)[3-4]。直升機(jī)作為高度復(fù)雜且不穩(wěn)定的系統(tǒng)，任何系統(tǒng)故障都會造成嚴(yán)重的后果。因此，為了提高直升機(jī)系統(tǒng)的可靠性和安全性，對其進(jìn)行故障估計研究變得越來越重要[5-6]。

目前，已經(jīng)有很多故障估計方法被提出，如未知輸入觀測器[7]、魯棒觀測器[8]、學(xué)習(xí)觀測器[9]和自適應(yīng)觀測器[10]等。其中，自適應(yīng)觀測器由于設(shè)計簡單且適用于各種不同的系統(tǒng)，受到越來越多研究者的關(guān)注，并且取得了一系列研究成果。文獻(xiàn)[11]首次提出自適應(yīng)觀測器并將其應(yīng)用于線性系統(tǒng)執(zhí)行器故障估計研究；文獻(xiàn)[12]考慮系統(tǒng)存在的時間延遲，設(shè)計了自適應(yīng)觀測器對系統(tǒng)執(zhí)行器故障進(jìn)行估計；文獻(xiàn)[13]將自適應(yīng)觀測器應(yīng)用于馬爾可夫跳變系統(tǒng)，對執(zhí)行器故障和傳感器故障進(jìn)行同時估計；為了提高傳統(tǒng)比例型自適應(yīng)觀測器的動態(tài)性能和對外界擾動的魯棒性，文獻(xiàn)[14]在觀測器結(jié)構(gòu)中引入輸出誤差的微分項，提出了比例-微分型自適應(yīng)觀測器；進(jìn)一步，為了改進(jìn)觀測器的瞬態(tài)響應(yīng)，文獻(xiàn)[15]提出了一種改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)觀測器。

對于三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的故障估計，文獻(xiàn)[16]對4種常用的故障觀測器進(jìn)行了仿真和實(shí)驗驗證，對比分析了4種觀測器的故障估計性能，但沒有考慮直升機(jī)系統(tǒng)的非線性；文獻(xiàn)[17]基于直升機(jī)的非線性模型，設(shè)計了一個未知輸入觀測器實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器故障估計，并且將故障估計值用于容錯控制，但其只考慮了緩慢變化的故障，沒有對突變故障進(jìn)行研究；文獻(xiàn)[18]針對直升機(jī)系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和傳感器故障設(shè)計了一個自適應(yīng)觀測器，可以很好地實(shí)現(xiàn)故障估計，但其考慮的故障形式都為方波形式，沒有考慮時變故障;文獻(xiàn)[19]設(shè)計了一個自適應(yīng)滑模觀測器對執(zhí)行器故障進(jìn)行估計，但其自適應(yīng)率只用到輸出誤差項，沒有用到輸出誤差的微分項，導(dǎo)致其故障估計性能較差。

本文針對三自由度直升機(jī)，對基于自適應(yīng)觀測器的故障估計進(jìn)行研究。首先，設(shè)計了比例型自適應(yīng)觀測器對直升機(jī)的執(zhí)行器故障進(jìn)行估計，在此基礎(chǔ)上又提出了比例-微分型自適應(yīng)觀測器，最后，通過三自由度直升機(jī)系統(tǒng)對所設(shè)計的故障觀測器進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果顯示，比例-微分型自適應(yīng)觀測器具有更高的故障估計精度和速度。

1 三自由度直升機(jī)模型

Quanser公司的3-DOF直升機(jī)平臺如圖1所示。

圖1 Quanser的3-DOF直升機(jī)平臺Fig.1 Quanser’s 3-DOF helicopter platform

本文僅考慮直升機(jī)俯仰軸和橫滾軸，動力學(xué)方程為

(1)

式中：ε為俯仰角；p為橫滾角；Jε和Jp分別為兩個軸的轉(zhuǎn)動慣量;Kf為螺旋槳升力常數(shù);La為旋轉(zhuǎn)軸到機(jī)體的距離;Lh為橫滾軸到電機(jī)的距離;mh為直升機(jī)等效質(zhì)量;Vf與Vb分別為前、后電機(jī)的電壓值;ωε和ωp分別為兩個軸的模型不確定性。

直升機(jī)模型可重新描述為

(2)

式中：bε=KfLa/Jε;bp=KfLh/Jp，dε=wε/Jε+bε(cosp-1)(Vf+Vb)，dp=wp/Jp分別表示兩個軸的等效擾動項，且非線性項f1(x)=-mhgLacosε/Jε。

根據(jù)以上定義，建立其狀態(tài)空間故障模型為

(3)

假設(shè)1 假設(shè)非線性項f(x,t)滿足Lipschitz非線性條件，即‖f(x1,t)-f(x2,t)‖≤κ‖x1-x2‖,κ是Lipschitz常數(shù)。

引理1對于任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣X,Y，存在一個對稱正定矩陣H使如下條件成立：XTY+YTX≤XTHX+YTH-1Y。

2 自適應(yīng)觀測器設(shè)計

2.1 比例(P)型自適應(yīng)觀測器

對于式(3)的系統(tǒng)，構(gòu)造P型自適應(yīng)觀測器,即

(4)

定義狀態(tài)估計誤差、輸出估計誤差和故障估計誤差為

(5)

定理1對于式(3)系統(tǒng)，如果存在對稱正定矩陣P和G，適當(dāng)維數(shù)矩陣W和R，以及標(biāo)量ε1>0滿足條件

(6)

BTP=RC

(7)

證明 根據(jù)式(3)和式(4)，可以得到

(8)

選取Lyapunov函數(shù)

(9)

則V對時間的導(dǎo)數(shù)為

(10)

將式(7)代入式(10)可得

(11)

由假設(shè)2可得

(12)

根據(jù)引理1可得

(13)

將式(12)和式(13)代入式(11)，可得

(14)

為了保證故障觀測器對外部擾動的魯棒性能，定義H∞性能如下

(15)

由零初始條件V(0)=0,V(∞)>0，可得

(16)

式(16)中的積分項可以寫為

(17)

如果不等式

(18)

由于式(18)條件不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI形式，無法用LMI工具箱進(jìn)行求解。運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，并且令W=PL，式(18)可以等效為式(6)的形式。證明完成。

2.2 比例-微分(PD)型自適應(yīng)觀測器

對于式(3)系統(tǒng)，構(gòu)造PD型自適應(yīng)觀測器

(19)

式中所有變量與第2.1節(jié)中的變量相同。

定理2對于式(3)系統(tǒng)，如果存在對稱正定矩陣P和G，適當(dāng)維數(shù)矩陣W和R，以及標(biāo)量ε1>0，ε2>0滿足式(7)和如下條件

(20)

式中，N2=ATP+PA-CTWT-WC+(κ2/ε1+κ2/ε2)I+CTC，N3=CTWTB-ATPB，N4=G-2BTPB,則有如式(19)的PD型自適應(yīng)觀測器，其中增益矩陣為L=P-1W。

證明 考慮式(9)中選取的Lyapunov函數(shù)，則V對時間的導(dǎo)數(shù)為

(21)

將式(7)代入式(21)可得

(22)

根據(jù)引理1可得

(23)

將式(12),(13)和式(23)代入式(22)，可得

(24)

同樣,為確保故障觀測器對外部擾動的魯棒性能，定義和式(15)相同的H∞性能，由零初始條件可得

(25)

式(25)中的積分項可以寫為

(26)

如果不等式

(27)

同理，運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，并且令W=PL，式(27)可以等效為式(20)的形式。證明完成。

注1 由于式(7)條件不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI形式，不便于求解，可將以上的式(7)條件轉(zhuǎn)化為不等式

(28)

式中，μ是一個充分小的正數(shù)。

注2 為了保證所構(gòu)造的兩個故障觀測器的收斂速度，將矩陣(A-LC)的所有特征值配置在一個圓形區(qū)域D(α,r)。因此，可以在定理1和定理2中加入條件約束

(29)

式中，α和r分別是圓形區(qū)域的圓心和半徑。

3 仿真驗證

本文基于Matlab/Simulink的三自由度直升機(jī)仿真系統(tǒng)，針對突變型故障和時變型故障，對構(gòu)造的兩個故障觀測器進(jìn)行仿真驗證，并且通過對比分析其性能。

選擇參數(shù)ε1=ε2=0.001，μ=10-6，γ=2，ρ=40，α=-10，r=10。由不等式(6)，(28)和(29)，可得P型自適應(yīng)觀測器增益矩陣為:

由定理2可得PD型自適應(yīng)觀測器增益矩陣為:

3.1 突變型執(zhí)行器加性故障估計

當(dāng)直升機(jī)系統(tǒng)存在突變型故障時，假設(shè)兩個故障分別為

(30)

(31)

圖2的故障估計結(jié)果顯示，在直升機(jī)系統(tǒng)存在突變故障時，P型自適應(yīng)觀測器在穩(wěn)定情況下可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的故障估計，但是在故障突變時刻，需要經(jīng)過0.4 s才能收斂到故障參考值，且存在較大的超調(diào)量，估計性能比較差。然而，PD型自適應(yīng)觀測器在整個過程都能實(shí)現(xiàn)精確的故障估計，故障估計性能明顯優(yōu)于P型自適應(yīng)觀測器。

圖2 兩個突變故障及其估計Fig.2 Two abrupt faults and their estimations

3.2 時變型執(zhí)行器加性故障估計

當(dāng)直升機(jī)系統(tǒng)存在時變型故障時，假設(shè)兩個故障分別為

(32)

fa 2=2sin 2πt0≤t≤40

(33)

圖3的故障估計結(jié)果顯示，在直升機(jī)系統(tǒng)存在時變故障時，P型自適應(yīng)觀測器的估計效果比較差，故障1和故障2會相互影響，估計結(jié)果中存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。然而，PD型自適應(yīng)觀測器可以很好地實(shí)現(xiàn)兩個故障的估計，估計速度快并且穩(wěn)態(tài)誤差很小。

圖3 兩個時變故障及其估計Fig.3 Two time-varying faults and their estimations

4 結(jié)束語

本文針對三自由度直升機(jī)，對基于自適應(yīng)觀測器的故障估計問題進(jìn)行研究。首先，建立三自由度直升機(jī)的非線性模型，提出了基于比例型自適應(yīng)觀測器的故障估計方法，在此基礎(chǔ)上又構(gòu)造了比例-微分型自適應(yīng)觀測器，最后，通過三自由度直升機(jī)系統(tǒng)對所設(shè)計的故障觀測器進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果表明，與比例型自適應(yīng)觀測器相比，比例-微分型自適應(yīng)觀測器顯著提高了故障估計精度和速度。