陸孟潔, 王天真, 祝小元
(1.上海海事大學(xué),上海 201000; 2.東南大學(xué),南京 211000)
無人機(jī)由于在軍事和民用領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用而備受關(guān)注[1]。與固定翼無人機(jī)相比,旋翼無人機(jī)具有體積小、懸停時間長和飛行靈活等特點(diǎn)[2]。因此,直升機(jī)作為一種典型的旋翼無人機(jī),被廣泛用于執(zhí)行搜索救援、線路巡檢、農(nóng)業(yè)植保等特定任務(wù)[3-4]。直升機(jī)作為高度復(fù)雜且不穩(wěn)定的系統(tǒng),任何系統(tǒng)故障都會造成嚴(yán)重的后果。因此,為了提高直升機(jī)系統(tǒng)的可靠性和安全性,對其進(jìn)行故障估計研究變得越來越重要[5-6]。
目前,已經(jīng)有很多故障估計方法被提出,如未知輸入觀測器[7]、魯棒觀測器[8]、學(xué)習(xí)觀測器[9]和自適應(yīng)觀測器[10]等。其中,自適應(yīng)觀測器由于設(shè)計簡單且適用于各種不同的系統(tǒng),受到越來越多研究者的關(guān)注,并且取得了一系列研究成果。文獻(xiàn)[11]首次提出自適應(yīng)觀測器并將其應(yīng)用于線性系統(tǒng)執(zhí)行器故障估計研究;文獻(xiàn)[12]考慮系統(tǒng)存在的時間延遲,設(shè)計了自適應(yīng)觀測器對系統(tǒng)執(zhí)行器故障進(jìn)行估計;文獻(xiàn)[13]將自適應(yīng)觀測器應(yīng)用于馬爾可夫跳變系統(tǒng),對執(zhí)行器故障和傳感器故障進(jìn)行同時估計;為了提高傳統(tǒng)比例型自適應(yīng)觀測器的動態(tài)性能和對外界擾動的魯棒性,文獻(xiàn)[14]在觀測器結(jié)構(gòu)中引入輸出誤差的微分項,提出了比例-微分型自適應(yīng)觀測器;進(jìn)一步,為了改進(jìn)觀測器的瞬態(tài)響應(yīng),文獻(xiàn)[15]提出了一種改進(jìn)的魯棒自適應(yīng)觀測器。
對于三自由度直升機(jī)系統(tǒng)的故障估計,文獻(xiàn)[16]對4種常用的故障觀測器進(jìn)行了仿真和實(shí)驗驗證,對比分析了4種觀測器的故障估計性能,但沒有考慮直升機(jī)系統(tǒng)的非線性;文獻(xiàn)[17]基于直升機(jī)的非線性模型,設(shè)計了一個未知輸入觀測器實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器故障估計,并且將故障估計值用于容錯控制,但其只考慮了緩慢變化的故障,沒有對突變故障進(jìn)行研究;文獻(xiàn)[18]針對直升機(jī)系統(tǒng)的執(zhí)行器故障和傳感器故障設(shè)計了一個自適應(yīng)觀測器,可以很好地實(shí)現(xiàn)故障估計,但其考慮的故障形式都為方波形式,沒有考慮時變故障;文獻(xiàn)[19]設(shè)計了一個自適應(yīng)滑模觀測器對執(zhí)行器故障進(jìn)行估計,但其自適應(yīng)率只用到輸出誤差項,沒有用到輸出誤差的微分項,導(dǎo)致其故障估計性能較差。
本文針對三自由度直升機(jī),對基于自適應(yīng)觀測器的故障估計進(jìn)行研究。首先,設(shè)計了比例型自適應(yīng)觀測器對直升機(jī)的執(zhí)行器故障進(jìn)行估計,在此基礎(chǔ)上又提出了比例-微分型自適應(yīng)觀測器,最后,通過三自由度直升機(jī)系統(tǒng)對所設(shè)計的故障觀測器進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果顯示,比例-微分型自適應(yīng)觀測器具有更高的故障估計精度和速度。
Quanser公司的3-DOF直升機(jī)平臺如圖1所示。
圖1 Quanser的3-DOF直升機(jī)平臺Fig.1 Quanser’s 3-DOF helicopter platform
本文僅考慮直升機(jī)俯仰軸和橫滾軸,動力學(xué)方程為
(1)
式中:ε為俯仰角;p為橫滾角;Jε和Jp分別為兩個軸的轉(zhuǎn)動慣量;Kf為螺旋槳升力常數(shù);La為旋轉(zhuǎn)軸到機(jī)體的距離;Lh為橫滾軸到電機(jī)的距離;mh為直升機(jī)等效質(zhì)量;Vf與Vb分別為前、后電機(jī)的電壓值;ωε和ωp分別為兩個軸的模型不確定性。
直升機(jī)模型可重新描述為
(2)
式中:bε=KfLa/Jε;bp=KfLh/Jp,dε=wε/Jε+bε(cosp-1)(Vf+Vb),dp=wp/Jp分別表示兩個軸的等效擾動項,且非線性項f1(x)=-mhgLacosε/Jε。
根據(jù)以上定義,建立其狀態(tài)空間故障模型為
(3)
假設(shè)1 假設(shè)非線性項f(x,t)滿足Lipschitz非線性條件,即‖f(x1,t)-f(x2,t)‖≤κ‖x1-x2‖,κ是Lipschitz常數(shù)。
引理1對于任意適當(dāng)維數(shù)的矩陣X,Y,存在一個對稱正定矩陣H使如下條件成立:XTY+YTX≤XTHX+YTH-1Y。
對于式(3)的系統(tǒng),構(gòu)造P型自適應(yīng)觀測器,即
(4)
定義狀態(tài)估計誤差、輸出估計誤差和故障估計誤差為
(5)
定理1對于式(3)系統(tǒng),如果存在對稱正定矩陣P和G,適當(dāng)維數(shù)矩陣W和R,以及標(biāo)量ε1>0滿足條件
(6)
BTP=RC
(7)
證明 根據(jù)式(3)和式(4),可以得到
(8)
選取Lyapunov函數(shù)
(9)
則V對時間的導(dǎo)數(shù)為
(10)
將式(7)代入式(10)可得
(11)
由假設(shè)2可得
(12)
根據(jù)引理1可得
(13)
將式(12)和式(13)代入式(11),可得
(14)
為了保證故障觀測器對外部擾動的魯棒性能,定義H∞性能如下
(15)
由零初始條件V(0)=0,V(∞)>0,可得
(16)
式(16)中的積分項可以寫為
(17)
如果不等式
(18)
由于式(18)條件不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI形式,無法用LMI工具箱進(jìn)行求解。運(yùn)用Schur補(bǔ)引理,并且令W=PL,式(18)可以等效為式(6)的形式。證明完成。
對于式(3)系統(tǒng),構(gòu)造PD型自適應(yīng)觀測器
(19)
式中所有變量與第2.1節(jié)中的變量相同。
定理2對于式(3)系統(tǒng),如果存在對稱正定矩陣P和G,適當(dāng)維數(shù)矩陣W和R,以及標(biāo)量ε1>0,ε2>0滿足式(7)和如下條件
(20)
式中,N2=ATP+PA-CTWT-WC+(κ2/ε1+κ2/ε2)I+CTC,N3=CTWTB-ATPB,N4=G-2BTPB,則有如式(19)的PD型自適應(yīng)觀測器,其中增益矩陣為L=P-1W。
證明 考慮式(9)中選取的Lyapunov函數(shù),則V對時間的導(dǎo)數(shù)為
(21)
將式(7)代入式(21)可得
(22)
根據(jù)引理1可得
(23)
將式(12),(13)和式(23)代入式(22),可得
(24)
同樣,為確保故障觀測器對外部擾動的魯棒性能,定義和式(15)相同的H∞性能,由零初始條件可得
(25)
式(25)中的積分項可以寫為
(26)
如果不等式
(27)
同理,運(yùn)用Schur補(bǔ)引理,并且令W=PL,式(27)可以等效為式(20)的形式。證明完成。
注1 由于式(7)條件不是標(biāo)準(zhǔn)的LMI形式,不便于求解,可將以上的式(7)條件轉(zhuǎn)化為不等式
(28)
式中,μ是一個充分小的正數(shù)。
注2 為了保證所構(gòu)造的兩個故障觀測器的收斂速度,將矩陣(A-LC)的所有特征值配置在一個圓形區(qū)域D(α,r)。因此,可以在定理1和定理2中加入條件約束
(29)
式中,α和r分別是圓形區(qū)域的圓心和半徑。
本文基于Matlab/Simulink的三自由度直升機(jī)仿真系統(tǒng),針對突變型故障和時變型故障,對構(gòu)造的兩個故障觀測器進(jìn)行仿真驗證,并且通過對比分析其性能。
選擇參數(shù)ε1=ε2=0.001,μ=10-6,γ=2,ρ=40,α=-10,r=10。由不等式(6),(28)和(29),可得P型自適應(yīng)觀測器增益矩陣為:
由定理2可得PD型自適應(yīng)觀測器增益矩陣為:
當(dāng)直升機(jī)系統(tǒng)存在突變型故障時,假設(shè)兩個故障分別為
(30)
(31)
圖2的故障估計結(jié)果顯示,在直升機(jī)系統(tǒng)存在突變故障時,P型自適應(yīng)觀測器在穩(wěn)定情況下可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的故障估計,但是在故障突變時刻,需要經(jīng)過0.4 s才能收斂到故障參考值,且存在較大的超調(diào)量,估計性能比較差。然而,PD型自適應(yīng)觀測器在整個過程都能實(shí)現(xiàn)精確的故障估計,故障估計性能明顯優(yōu)于P型自適應(yīng)觀測器。
圖2 兩個突變故障及其估計Fig.2 Two abrupt faults and their estimations
當(dāng)直升機(jī)系統(tǒng)存在時變型故障時,假設(shè)兩個故障分別為
(32)
fa 2=2sin 2πt0≤t≤40
(33)
圖3的故障估計結(jié)果顯示,在直升機(jī)系統(tǒng)存在時變故障時,P型自適應(yīng)觀測器的估計效果比較差,故障1和故障2會相互影響,估計結(jié)果中存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。然而,PD型自適應(yīng)觀測器可以很好地實(shí)現(xiàn)兩個故障的估計,估計速度快并且穩(wěn)態(tài)誤差很小。
圖3 兩個時變故障及其估計Fig.3 Two time-varying faults and their estimations
本文針對三自由度直升機(jī),對基于自適應(yīng)觀測器的故障估計問題進(jìn)行研究。首先,建立三自由度直升機(jī)的非線性模型,提出了基于比例型自適應(yīng)觀測器的故障估計方法,在此基礎(chǔ)上又構(gòu)造了比例-微分型自適應(yīng)觀測器,最后,通過三自由度直升機(jī)系統(tǒng)對所設(shè)計的故障觀測器進(jìn)行仿真驗證。結(jié)果表明,與比例型自適應(yīng)觀測器相比,比例-微分型自適應(yīng)觀測器顯著提高了故障估計精度和速度。