光學(xué)畸變耦合下的星敏感器焦距誤差建模與分析

張宇軒， 王宏力， 何貽洋， 肖永強(qiáng)， 張鵬飛， 馮 磊

(1.火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710000； 2.火箭軍指揮學(xué)院作戰(zhàn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430000)

0 引言

星敏感器是在恒星參照系下以星空為觀察對(duì)象的高精度姿態(tài)敏感器，其因高達(dá)角秒級(jí)的定位精度在衛(wèi)星姿態(tài)控制中被廣泛使用。主點(diǎn)偏移、焦距誤差等參數(shù)因受到制造工藝的制約和長(zhǎng)期惡劣太空環(huán)境工作下儀器精度下降的影響，將會(huì)導(dǎo)致星敏感器姿態(tài)確定和導(dǎo)航精度的降低[1]。因此，為維護(hù)星敏感器觀測(cè)的精度及可靠性，有必要實(shí)現(xiàn)星敏感器主點(diǎn)和焦距參數(shù)的標(biāo)定[2]。

傳統(tǒng)的星敏感器對(duì)焦距誤差的標(biāo)定方法均未在星敏感器焦距誤差標(biāo)定時(shí)分析考慮光學(xué)畸變與焦距耦合的影響[3-4]。雖然在光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定影響非常小時(shí)，忽略其影響是可行的，但在一般情況下，不考慮光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定的影響最終會(huì)導(dǎo)致焦距誤差標(biāo)定結(jié)果偏差較大，甚至嚴(yán)重影響對(duì)星敏感器焦距誤差的正確標(biāo)定。

針對(duì)傳統(tǒng)方法因未考慮光學(xué)畸變使得星敏感器焦距誤差標(biāo)定偏差增大這一不足，本文基于星敏感器的理想量測(cè)模型，探討光學(xué)畸變與焦距標(biāo)定誤差耦合問題，建立了光學(xué)畸變引起的畸變量與其產(chǎn)生的等效焦距誤差間的數(shù)學(xué)模型，并通過仿真驗(yàn)證其結(jié)論，為消除光學(xué)畸變與焦距誤差標(biāo)定的耦合提供了理論參考。

1 星敏感器成像及焦距誤差模型

1.1 星敏感器成像模型

星敏感器的數(shù)學(xué)模型采用針孔模型，恒星星光經(jīng)過成像模塊會(huì)在探測(cè)器陣列上形成星像點(diǎn)，其針孔成像模型如圖1所示。

圖1 星敏感器成像模型示意圖Fig.1 Ideal imaging model of star sensor

圖1中：f為星敏感器的焦距；主點(diǎn)Oc(Xc，Yc)為成像平面坐標(biāo)系中心；恒星星光νi在星敏感器成像平面Π上的投影點(diǎn)為(xi，yi)。在考慮主點(diǎn)位置偏差但忽略星敏感器測(cè)量噪聲和光學(xué)畸變的情況下，第i顆恒星對(duì)應(yīng)的單位測(cè)量矢量可表示為

(1)

在天球坐標(biāo)系中導(dǎo)航星i對(duì)應(yīng)赤經(jīng)和赤緯坐標(biāo)(αi,δi)，在導(dǎo)航星表中與之對(duì)應(yīng)的星光矢量可表示為

(2)

1.2 星敏感器焦距誤差模型

理想情況下,測(cè)量的星光矢量ωi與ωj夾角的方向余弦和導(dǎo)航星表中對(duì)應(yīng)的星光矢量νi與νj夾角的方向余弦應(yīng)該是相等的，有如下關(guān)系

(3)

(4)

(5)

由于一般星敏感器工作狀態(tài)下在正常視場(chǎng)內(nèi)的導(dǎo)航星數(shù)目大于3，其得到n(n≥3)對(duì)測(cè)量矢量和與之對(duì)應(yīng)的參考恒星矢量，則可得到如下超定方程組

(6)

武進(jìn)少體校教練員文化課教師的學(xué)歷結(jié)構(gòu)合理，學(xué)歷層次、職稱較高，對(duì)運(yùn)動(dòng)員文化課學(xué)習(xí)也較為重視，對(duì)于運(yùn)動(dòng)員的文化教育都有較為深刻的認(rèn)識(shí)，這為提高運(yùn)動(dòng)員的文化課學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的師資基礎(chǔ)。

Δb=(ATA)-1ATR。

(7)

傳統(tǒng)的焦距誤差標(biāo)定所用的最小二乘法簡(jiǎn)單穩(wěn)定、易于使用，但由于一般情況下，在計(jì)算過程中使用的星點(diǎn)受到星敏感器光學(xué)畸變的影響，且多種誤差間存在相互耦合，其焦距誤差標(biāo)定結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的偏差。為了分析光學(xué)畸變與焦距偏差間的耦合關(guān)系，進(jìn)一步提高焦距誤差標(biāo)定的準(zhǔn)確性，需要建立光學(xué)畸變和焦距誤差耦合的數(shù)學(xué)模型，以此分析光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定結(jié)果的影響。

2 光學(xué)畸變與焦距誤差耦合建模及分析

建立光學(xué)畸變和焦距誤差耦合的數(shù)學(xué)模型，并分析光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定結(jié)果的影響，是進(jìn)一步提高星敏感器焦距誤差標(biāo)定準(zhǔn)確性的關(guān)鍵[5]。光學(xué)畸變是星光經(jīng)過光學(xué)成像系統(tǒng)產(chǎn)生的圖像點(diǎn)偏移，包括徑向畸變和切向畸變等[6]。因?yàn)閺较蚧円饒D像點(diǎn)沿徑向移動(dòng)且對(duì)圖像點(diǎn)影響較大，因此對(duì)焦距誤差標(biāo)定影響較大，而切向畸變等誤差源所引起的對(duì)焦距誤差標(biāo)定的影響非常小，可忽略[7]。為此，在建模及分析時(shí)可以僅考慮徑向畸變。

徑向畸變模型為

δx=q1xr2+q2xr4+q3xr6+…

(8)

δy=q1yr2+q2yr4+q3yr6+…

(9)

畸變模型參數(shù)數(shù)量與模型復(fù)雜度成正比，并且引入太多的畸變參數(shù)不僅無法提高星敏感器的標(biāo)定精度，反而會(huì)使標(biāo)定結(jié)果不穩(wěn)定[8]。因此，采用多參數(shù)高階模型并無明顯優(yōu)勢(shì)，采用一階徑向畸變模型即可[7]。取一階徑向畸變

δx=q1xr2

(10)

δy=q1yr2。

(11)

不失一般性，研究畸變對(duì)焦距的影響可假設(shè)星點(diǎn)僅在x或y軸上的情況。圖2展示了畸變對(duì)星點(diǎn)實(shí)際成像位置的影響。

圖2 畸變引起等效焦距誤差示意圖Fig.2 Equivalent focal length error caused by distortion

結(jié)合針孔模型的幾何原理可得

(12)

求解Δf′得

(13)

同理，考慮y軸上的情況也可得

(14)

結(jié)合式(10)，(11)，(13)，(14)可得，在星點(diǎn)(xi,yi)處等效焦距誤差Δf′關(guān)于光學(xué)畸變引起的星像點(diǎn)畸變量δr的關(guān)系式為

(15)

由式(15)推得在星點(diǎn)(xi,yi)處光學(xué)畸變引起的星像點(diǎn)畸變量δr有如下關(guān)系

(16)

3 仿真驗(yàn)證及結(jié)果分析

為模擬真實(shí)條件下的光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定的影響，仿真實(shí)驗(yàn)所采用的星敏感器相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 星敏感器性能指標(biāo)Table 1 Star sensor performance indexes

仿真將設(shè)置3組條件實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真分析：

1) 要求任意畸變量均不大于畸變量閾值δrmax(δr≤δrmax)；

2) 要求一部分畸變量小于閾值δrmax，另一部分畸變量大于畸變量閾值δrmax(|δr-δrmax|≤ξ，本實(shí)驗(yàn)中取ξ=2.1×10-6mm);

3) 要求任意畸變量均大于閾值δrmax但不大于ρ倍的畸變量閾值δrmax(δrmax<δr≤ρ·δrmax,本實(shí)驗(yàn)中取ρ=10，即增大一個(gè)數(shù)量級(jí))。

在3組條件下導(dǎo)航星的選取分別如圖3(a)、圖3(b)和圖3(c)所示。在每種條件下分別得到被選擇的星點(diǎn)坐標(biāo)信息等數(shù)據(jù)，3幅圖中均出現(xiàn)的同等大小圓形范圍為畸變量小于等于δrmax時(shí)對(duì)應(yīng)的星點(diǎn)范圍，圖3(c)中較大的那個(gè)圓形為第3組條件中ρ·δrmax對(duì)應(yīng)的范圍。

圖3 導(dǎo)航星選擇范圍示意圖Fig.3 Selecting range of navigation stars

在得到的200幅模擬星圖中對(duì)被選擇的導(dǎo)航星點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，用最小二乘法對(duì)焦距誤差進(jìn)行標(biāo)定[9]。將200次的結(jié)果取平均值作為焦距誤差的最終標(biāo)定值，結(jié)果如表2所示。

表2 焦距誤差最終標(biāo)定值對(duì)比Table 2 Final calibration values of focal length deviation

表2所列的3種條件下對(duì)星敏感器焦距誤差的標(biāo)定精度分別為0.011 0 mm，0.055 0 mm，0.121 0 mm。由這些焦距誤差標(biāo)定精度可以看出：在第1組條件下的焦距誤差標(biāo)定精度是第2組條件下的5倍左右，而第1組條件下是第3組條件下的10倍不止。因此，控制畸變量δr在一定范圍內(nèi)會(huì)消除光學(xué)畸變對(duì)焦距標(biāo)定的影響，近似認(rèn)為該影響忽略不計(jì)。而隨著畸變量的增大尤其是超過畸變量閾值δrmax后，光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定的影響愈發(fā)明顯，標(biāo)定精度大幅降低。因此，為消除或減少光學(xué)畸變與焦距誤差標(biāo)定耦合的影響，超過δrmax時(shí)則必須考慮光學(xué)畸變的影響。焦距誤差標(biāo)定結(jié)果對(duì)比見圖4，可直觀地看到隨著畸變量增加，焦距誤差標(biāo)定精度的下降尤為明顯。

圖4 焦距誤差標(biāo)定值對(duì)比Fig.4 Calibration values of focal length deviation

4 結(jié)論

本文針對(duì)未考慮光學(xué)畸變的傳統(tǒng)焦距誤差標(biāo)定方法，其標(biāo)定結(jié)果可能不滿足高精度測(cè)姿的要求這一不足，在分析了星敏感器因光學(xué)畸變出現(xiàn)的等效焦距誤差后，建立了光學(xué)畸變與焦距誤差耦合的數(shù)學(xué)模型；從模型中分析發(fā)現(xiàn)光學(xué)畸變?cè)诮咕嗾`差標(biāo)定中對(duì)標(biāo)定結(jié)果影響的規(guī)律；通過設(shè)計(jì)合適的仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)，證明星敏感器焦距誤差標(biāo)定與光學(xué)畸變的關(guān)系，以及驗(yàn)證應(yīng)控制光學(xué)畸變引起的畸變量使得光學(xué)畸變對(duì)焦距誤差標(biāo)定影響很小、近似可忽略這一方法的可行性,以此為提高星敏感器的姿態(tài)確定精度提供了一定的理論支持，具有一定的參考價(jià)值。對(duì)于進(jìn)一步的研究?jī)?nèi)容，則需要考慮當(dāng)超過畸變量閾值δrmax時(shí)應(yīng)該采取何種手段來消除光學(xué)畸變帶來的嚴(yán)重影響。