基于主成分-逐步回歸的大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)計算

韓智強，左新黛，周勇軍，劉世忠，晉民杰

(1. 太原科技大學 交通與物流學院，山西 太原 030024；2. 交通運輸部公路科學研究院，北京 100088；3. 長安大學 公路大型結(jié)構(gòu)安全教育部工程研究中心，陜西 西安 710064)

0 引言

1 沖擊系數(shù)計算方法

1.1 理論法

車輛荷載作用橋梁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動態(tài)響應[9]，為簡化計算，通常采用沖擊系數(shù)加以分析：

μ=1-Ydmax/Yjmax,

(1)

式中，Ydmax為車輛過橋時，橋梁動態(tài)響應的最大值；Yjmax為橋梁對應位置的靜力效應最大。

圖1 移動荷載下橋梁沖擊系數(shù)計算示意圖Fig.1 Schematic diagram of bridge impact coefficient under moving loads

1.2 規(guī)范法

中國公路橋涵通用規(guī)范[10](JTG D60—2015)：沖擊系數(shù)與結(jié)構(gòu)基頻f的函數(shù)表達式為：

(2)

式中f為橋梁結(jié)構(gòu)的基頻。

2 車橋耦合振動基本理論

2.1 車-橋耦合基本假定[11]

(1)橋梁的結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量特性應均勻分配橋跨長度范圍內(nèi)。

(2)忽略梁橫截面的變形。

(3)橋梁的阻尼采用瑞利阻尼。

2.2 車輛振動方程建立

本研究采用3軸5自由度平面車輛模型，其計算圖示如圖2所示。

圖2 3軸5自由度車輛模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of 3-axle 5-DOF vehicle model

圖中，Mc為車體質(zhì)量;z為車輛豎向位移;α為車輛橫軸旋轉(zhuǎn)的自由度;m1，m2，m3為車輛懸架和車輪等效質(zhì)量；z1，z2，z3為車輛懸架和車輪等效質(zhì)量的豎向位移;z′1，z′2，z′3為支承車體點的豎向位移。

車輛的待求未知位移向量為：

ZV=[z1z2z3z′1z′2z′3]。

(2)

i=1,2,3。

(3)

由幾何關(guān)系可得：

Z=β3z′1+(β2+β1)z′3，

z′2=(β2+β3)z′1+β1z′3，

α=(z′3-z′1)/lu。

(4)

由廣義虛功原理得：

(5)

將公式(3)、(4)代入公式(5)，整理后，如式(6)所示：

(6)

式中，[Mv]為車體質(zhì)量矩陣；[Cv]為車體阻尼矩陣；[Kv]為車體剛度矩陣；{Fbv}為車橋耦合荷載向量；{Gv}為重力荷載向量。

(7)

2.3 橋梁動力平衡方程建立

同理，可建立橋梁結(jié)構(gòu)動力平衡方程：

(8)

2.4 橋面不平整度

橋面不平整度，又稱橋面粗糙度，表征橋面惡化程度的指標。在實際工程中，由于橋面不平整度的影響，使得車橋振動較為明顯，過大的振動會降低乘車人舒適性。因此，在進行車橋耦合分析時，應考慮該因素的影響。本研究根據(jù)三角級數(shù)疊加法[12]進行模擬，其公式如(9)所示：

(9)

式中，R(x)為橋面不平整度樣本點；N為采樣頻段數(shù)；θk為服從[0,2π]均勻分布的隨機相位角；S(Ωk)為功率譜密度函數(shù)；Ωk為車輛空間頻率；ΔΩ-Ωk為間隔帶寬[14]；

通過調(diào)研，我國橋面不平整度大部分處于A～C級，因此，本研究模擬生成3種橋面不平整度曲線,如圖3所示。

圖3 A，B和C級橋面不平整度曲線Fig.3 Curves of deck roughness of level A, level B and level C

2.5 結(jié)構(gòu)動力響應求解

基于分離迭代法原理，采用Matlab編譯車橋耦合分析模塊，實現(xiàn)車輛過橋振動響應分析。

2.5.1 位移聯(lián)系方程建立

假設車輪在運動時始終與橋面保持接觸，則車輪位移可通過橋梁的相對位移表示[13]，如圖4所示：

Δyi=yi-wi-ri,

(10)

式中，yi為輪胎由平衡位置對應豎向位移；ri為車輪作用點處的不平整度豎向坐標；wi為輪胎作用下橋梁瞬時豎向變位；Δyi為車輛軸懸掛彈簧與輪胎豎向變形的相對豎向位移。

圖4 輪橋接觸點的位移關(guān)系Fig.4 Displacement relation at wheel-bridge contact position

2.5.2 車橋相互作用

將車輛和橋梁視作兩個分離體系，二者之間耦合作用通過輪胎與橋面間的相互作用聯(lián)系。其相互作用力為：

(11)

式中，kti為第i個輪胎的剛度系數(shù)；ctj為第i個輪胎的阻尼系數(shù)。

3 主成分-逐步回歸基本原理

3.1 主成分分析

在大跨連續(xù)剛構(gòu)橋動力特性的敏感參數(shù)分析時，由于車橋耦合作用受多種因素的共同作用，在計算分析時，如果采用較多參數(shù)進行分析，會使得計算過程較為繁瑣，且變量間的多重相關(guān)性會影響估計結(jié)果，造成模型的誤差增大。

主成分分析將多指標參數(shù)進行降維處理[14]，采用幾個變量來替代多個變量的統(tǒng)計方法。

(1)主成分標準化

在對建立模型進行主成分分析時，考慮多個變量間存在不同數(shù)量級和單位，在進行相互比較時，為消除量綱對計算模型的影響，需要提前對相關(guān)變量進行標準化變換。

(12)

經(jīng)標準化后的樣本矩陣均為無量綱矩陣，且每個列向量的均值為0，標準差為1。

(2)求解特征值λi和特征向量ej

特征方程通常采用雅可比法(Jacobi)求解特征值λi，并根據(jù)特征值的大小進行排列，其中當λ1≥λ2≥…≥λp>0時，相應正則化特征向量為：

ej=|l1jl2j…lpj|′，j=1, 2，…,p。

(13)

(3)主成分方差貢獻率的確定

在實際工程中，主要通過方差貢獻率的累積量確定主成分的個數(shù)。其中λi的方差貢獻率可通過式(14)求解。

(14)

式中，αi為代表第i個因素的方差貢獻率；α(m)為前m個因素的方差累計貢獻率。

由式(14)可知：主成分的方差貢獻率越大，表明該主成分保留因變量的信息能力越強，如果前m(m≤p)個主成分的累計值達到一定數(shù)值(本研究取方差累計貢獻率Ti≥90%)，表明這m個主成分涵蓋了樣本的絕大部分信息，則這m個主成分可作為因變量分析的主要敏感參數(shù)。

3.2 逐步回歸分析

當沖擊系數(shù)受m個因素影響時，可通過多元線性方程來描述，其關(guān)系式為：

(15)

逐步回歸[15]是一種雙向篩選法，其本質(zhì)屬于前進法，即變量從少到多引入時，采用最小二乘法建立多元回規(guī)方程，基于偏回歸平方和F檢驗,判斷方程是否顯著，剔除其中不顯著的影響因素，其主要步驟如下：

(1)對主成分分析中的相關(guān)自變量進行回歸分析，分別計算因變量與自變量間樣本點的擬合度R2。

(2)對各個自變量所對應的R2進行排序。

(3)選取最大值R2變量Ai建立回歸模型，計算R1，F(xiàn)1。

(4)選取排序第二R2的變量Aj的回歸模型,計算R2，F(xiàn)2。

若R1

(5)重復步驟(4)，進行下一個變量篩選，直到所有主成分變量都篩選后，結(jié)束計算。

圖5 技術(shù)路線圖Fig.5 Technology route

4 敏感參數(shù)下大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)分析

4.1 工程簡介

本研究以某高墩大跨連續(xù)彎剛構(gòu)橋為工程背景，橋梁全長239 m，跨徑組合 (65+108+65) m，上部結(jié)構(gòu)采用單箱單室截面，曲率半徑R=960 m，下部結(jié)構(gòu)采用薄壁空心墩，墩高60 m，主梁采用C50混凝土，橋墩采用C40混凝土[11]，其相關(guān)尺寸和仿真模型如圖6～7所示。

圖6 連續(xù)剛構(gòu)橋總體布置(單位：cm)Fig.6 General arrangement continuous rigid frame bridge (unit：cm)

圖7 橋梁仿真示意圖(單位：cm)Fig.7 Schematic diagram of bridge simulation(unit：cm)

4.2 敏感參數(shù)主成分分析

根據(jù)相關(guān)學者的研究[16-17]，本研究選取了橋面不平整度、曲率半徑、橋墩高度、行車速度、車輛重量作為大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋車橋耦合分析的敏感參數(shù)。為簡化計算，本研究對5個敏感參數(shù)進行主成份分析，確定其相對重要的敏感參數(shù)，見表1。

表1 車橋耦合敏感參數(shù)影響因素Tab.1 Influencing factors of vehicle-bridge coupling sensitive parameters

4.2.1 敏感參數(shù)降維分析

在敏感參數(shù)降維分析時，采用德爾菲法對敏感參數(shù)進行評估，具體步驟如下:

(1) 確定調(diào)研主旨和目的，設計敏感參數(shù)調(diào)查問卷。

(2) 選取在車橋耦合方面有較為豐富科研或工程經(jīng)驗的專家。

(3) 發(fā)放調(diào)查問卷，并與專家建立函詢工作，搜集相關(guān)結(jié)果。

(4) 對結(jié)果進行統(tǒng)計匯總，并將計算結(jié)果進行主成分降維分析。

(5) 搜集原始資料

按照敏感因素對車橋耦合沖擊系數(shù)的影響程度劃分10個等級，使用0～10進行評分，見表2所示。

表2 影響因素評分劃分Tab.2 Score division of influencing factors

向上述專家進行問卷調(diào)查共計40人，回收篩選出有效樣本36份，進一步整理數(shù)據(jù)，得到待評價矩陣{Aij}n×k，其中k為評價因素，即k=5,n為有效樣本。

4.2.2 敏感參數(shù)主成分分析

采用SPSS22.0進行數(shù)據(jù)處理，得到相關(guān)系數(shù)矩陣R特性值，方差貢獻率和累計方程貢獻率，如表3所示。

表3 R的特征值、方差貢獻率、累計方差貢獻率Tab.3 Eigenvalues, variance contribution rates and cumulative variance contribution rates of R

通過表3可知，特征值大于1的主成分個數(shù)g=3，此時方差累計貢獻率為95.852%，超過了主成分分析的90%，即涵蓋了大部分信息，這表明前3個指標能代表5個指標來分析大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)變化情況，通過文獻[18]可知，車速對于橋梁位移、彎矩和扭矩沖擊系數(shù)的影響幅度不大，驗證了降維方法的正確性，因此，本研究后續(xù)對前3個指標進行敏感性分析。

4.3 敏感參數(shù)下橋梁動力時程曲線

大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)受多個敏感參數(shù)共同作用。本研究通過擬定，曲率半徑取值為250，500，750和960 m；墩高取值為60，80和100 m；路面不平整度等級取值為A， B和C級。求解橋梁關(guān)鍵截面的撓度、彎矩、扭矩的時程曲線，如圖8所示，其中車輛的基本參數(shù)如表4所示。

圖8 橋梁關(guān)鍵截面時程曲線Fig.8 Time-history curves of key sections of bridge

4.4 大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)回歸分析4.4.1 關(guān)鍵截面沖擊系數(shù)最大值確定

通過公式(1)計算各個關(guān)鍵截面處撓度、彎矩和扭矩沖擊系數(shù)，從中找出撓度，彎矩和扭矩沖擊系數(shù)最大值，如圖9所示。

4.4.2 橋梁沖擊系數(shù)回歸分析

通過采用SPSS22.0對圖9中相關(guān)數(shù)據(jù)進行線性逐步回歸分析，得出各個敏感參數(shù)對沖擊系數(shù)的貢

表4 車輛技術(shù)參數(shù) [19]Tab.4 Technical parameters of vehicles

圖9 大跨連續(xù)剛構(gòu)橋最不利截面沖擊系數(shù)最大值Fig.9 Maximum impact coefficient of key section

獻性大小，結(jié)果如表5所示。

由表5可知：

(1)檢驗回歸系數(shù)全部為0，小于sig顯著性分析界限值0.05，表明自變量參數(shù)與因變量參數(shù)的線性相關(guān)性較好，模型1撓度沖擊系數(shù)分析時，主要取邊跨跨中截面和中跨跨中截面處撓度沖擊系數(shù)的最大值作為因變量，其因變量受橋面不平整度、墩高的影響性較為顯著，而曲率半徑對其影響相對較小，可忽略該因素的影響；模型2彎矩沖擊系數(shù)主要考慮跨中截面正彎矩和支點負彎矩的最大值作為因變量，其值受橋面不平整度的影響較為顯著，墩高和曲率半徑對其影響相對較小，可忽略不計；模型3扭矩沖擊系數(shù)分析時，其因變量受橋面不平整

表5 系數(shù)分析表[12]Tab.5 Coefficient analysis table

度和曲率半徑的影響較大，而墩高影響較小，可忽略不計。

(2)撓度、彎矩和扭矩沖擊系數(shù)的回歸公式相關(guān)系數(shù)R均在0.94以上，表明該回歸公式相關(guān)性較好；且各回歸公式均與橋面不平整度正相關(guān)，其標準化相關(guān)系數(shù)Beta均在0.9以上，表明該因素對大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)的影響很大，而現(xiàn)有規(guī)范未考慮該因素的影響，建議后續(xù)規(guī)范修訂中考慮該因素的影響。

5 結(jié)論

(1)采用ANSYS軟件建立橋梁模型，通過Matlab軟件編譯車橋耦合分析模塊，基于位移協(xié)調(diào)方程構(gòu)建車橋耦合分析模型。

(2)采用主成分-逐步回歸分析方法去確定橋面不平整度、曲率半徑和墩高作為橋梁沖擊系數(shù)分析的主要敏感參數(shù)，其方差累計貢獻率達到95%，并通過SPSS22.0進行逐步回歸，確定了橋梁撓度、彎矩和扭矩沖擊系數(shù)的計算公式。

(3)沖擊系數(shù)回歸公式相關(guān)系數(shù)R均在0.94以上，表明該回歸公式相關(guān)性較好，且各個公式中橋面不平整度標準化相關(guān)系數(shù)Beta均在0.9以上，表明該因素對大跨彎連續(xù)剛構(gòu)橋沖擊系數(shù)的影響很大，而現(xiàn)有規(guī)范未考慮該因素的影響，建議后續(xù)規(guī)范修訂中考慮該因素的影響。