小平坦波面光場(chǎng)的尺度變換特性

郭福源，李連煌，鄭華

（福建師范大學(xué)光電與信息工程學(xué)院激光與光電子技術(shù)研究所，光子技術(shù)福建省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，醫(yī)學(xué)光電科學(xué)與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福州350007）

0 引言

光場(chǎng)的物像共軛變換是光學(xué)系統(tǒng)中常見的一種變換，在傍軸近似條件下，GOODMAN J W 在傅里葉光學(xué)導(dǎo)論中基于菲涅爾（Fresnel）衍射理論給出用于分析透鏡物像共軛平面光場(chǎng)關(guān)系的脈沖響應(yīng)函數(shù)，論證透鏡物像共軛平面之間的光場(chǎng)關(guān)系為幾何光學(xué)預(yù)言的尺度變換［1，2］關(guān)系。由于文獻(xiàn)［1］是在傍軸和菲涅爾近似條件下分析透鏡對(duì)光場(chǎng)的作用，衍射積分公式的傾斜因子和變換透鏡所需要滿足的條件沒有被考慮。正弦條件［3-4］是光學(xué)系統(tǒng)中垂軸小面積物體成完善像所需滿足的條件，在幾何光學(xué)中，正弦條件由費(fèi)馬（Fermat）原理論證［3］，垂軸小面積物體及其像的光場(chǎng)為小平坦波面光場(chǎng)，滿足正弦條件的透鏡物像共軛平面之間的垂軸小面積物、像變換關(guān)系為尺度變換關(guān)系，即滿足正弦條件的透鏡物像共軛平面之間的小平坦波面光場(chǎng)變換關(guān)系為尺度變換關(guān)系。

在經(jīng)典衍射理論中，第一種瑞利—索末菲（Rayleigh-Sommerfeld）衍射積分公式［5-9］常被用于平坦波面衍射源的衍射遠(yuǎn)場(chǎng)特性分析，德拜（Debye）積分公式［8-12］常被用于會(huì)聚半球形波面衍射源的焦平面光場(chǎng)特性分析，但由上述兩個(gè)衍射積分公式表達(dá)的一些非傍軸衍射光場(chǎng)不滿足行波場(chǎng)輻射能守恒定律，兩個(gè)衍射積分公式均存在一定的局限性，不適用于非傍軸光場(chǎng)的衍射特性分析。

以惠更斯（Huygens）原理［8］和行波場(chǎng)輻射能守恒定律為基礎(chǔ)分析衍射過程，文獻(xiàn)［13-14］在柱面坐標(biāo)系中闡明由傾斜角余弦平方根表達(dá)的歸一化傾斜因子的合理性，并結(jié)合滿足正弦條件的準(zhǔn)直和聚焦透鏡的變跡因子，將透鏡物像雙方焦面光場(chǎng)的漢克爾（Hankel）變換關(guān)系從傍軸領(lǐng)域推廣到滿足正弦條件的準(zhǔn)直和聚焦透鏡領(lǐng)域。

在直角坐標(biāo)系中，本文給出適用于對(duì)稱小平坦波面衍射源的衍射遠(yuǎn)場(chǎng)特性分析的非衍射積分公式，和適用于對(duì)稱會(huì)聚波面衍射源的焦平面光場(chǎng)特性分析的非傍軸衍射積分公式。當(dāng)小平坦波面光場(chǎng)為對(duì)稱分布行波場(chǎng)時(shí)，基于歸一化傾斜因子由傾斜角余弦平方根表達(dá)的兩個(gè)非傍軸衍射積分公式具有互易性，它與光學(xué)原理中的亥姆霍茲（Helmholtz）互易定理［8］或天線理論中的互易定理［15-17］一致。

根據(jù)衍射積分公式的傾斜因子和透鏡的變跡（切趾）因子［9，18］，分析一種正透鏡物像共軛平面之間的光場(chǎng)變換關(guān)系。當(dāng)正透鏡物像共軛平面上的光場(chǎng)均為小平坦波面行波場(chǎng)時(shí)，基于非傍軸衍射積分公式中的衍射源方傾斜因子［13］和觀察方傾斜因子［14］及滿足正弦條件［19］的透鏡物像雙方變跡因子推導(dǎo)出的結(jié)論與文獻(xiàn)［1］在傍軸和菲涅耳條件下推導(dǎo)出的結(jié)論基本一致。將透鏡物像共軛平面之間的光場(chǎng)尺度變換表達(dá)式從傍軸領(lǐng)域推廣到滿足正弦條件的透鏡領(lǐng)域，從物理光學(xué)的衍射理論角度驗(yàn)證了幾何光學(xué)中基于費(fèi)馬原理論證的正弦條件與光學(xué)系統(tǒng)中垂軸小面積物體成完善像之間的關(guān)系，闡明兩個(gè)理論在分析該問題時(shí)具有一致性，并明確了物像共軛平面之間光場(chǎng)尺度變換關(guān)系的適用條件。

1 兩個(gè)非傍軸衍射積分公式

在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)惠更斯原理分析對(duì)稱小平坦波面光場(chǎng)的非傍軸衍射過程，衍射源參考面Σ與小平坦波面重合，觀察參考面Σ1與衍射遠(yuǎn)場(chǎng)半球形光波波面重合，如圖1所示，在以O(shè)為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，xOy平面上的衍射源光場(chǎng)為關(guān)于xOz平面和yOz平面對(duì)稱分布的小平坦波面光場(chǎng)，在衍射源參考點(diǎn)A(x，y，0)處，光波波矢k平行于z軸，衍射遠(yuǎn)場(chǎng)為對(duì)稱分布的非傍軸光場(chǎng)，在衍射遠(yuǎn)場(chǎng)觀察參考點(diǎn)A1(x1，y1，z1)處，光波波矢k1（向量--- - →-----）的三個(gè)方向角分別為α、β和γ，三個(gè)方向角余弦滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1。當(dāng)衍射遠(yuǎn)場(chǎng)觀察參考面曲率半徑為R時(shí)，觀察參考點(diǎn)A1的坐標(biāo)分別為x1=Rcosα，y1=Rcosβ和z1=Rcosγ。

2 兩個(gè)非傍軸衍射積分公式的互易性

圖2 光場(chǎng)傳輸過程示意圖Fig.2 Schematic of the transformation process of light field

3 物像共軛平面間小平坦波面光場(chǎng)尺度變換特性

當(dāng)fx，a＞fx，m、fy，a＞fy，m時(shí)，光學(xué)系統(tǒng)的光瞳沒有對(duì)空間頻譜分布函數(shù)為S(fx，fy)的光場(chǎng)產(chǎn)生限制作用，fx，min=fx，m、fy，min=fy，m，由式（18）表達(dá)的透鏡像方參考平面x′O′y′上的光場(chǎng)與式（16）表達(dá)的透鏡物方參考平面xOy上的光場(chǎng)滿足尺度變換關(guān)系。

式（14）與傅里葉光學(xué)導(dǎo)論在傍軸近似條件下基于菲涅爾衍射理論推導(dǎo)的成像透鏡物像雙方共軛參考平面之間的光場(chǎng)尺度變換特性［1］基本一致?？梢姡前S衍射積分公式中的衍射源方傾斜因子和觀察方傾斜因子與滿足正弦條件的透鏡物像雙方變跡因子將物像共軛平面之間的光場(chǎng)關(guān)系從傍軸領(lǐng)域推廣到非傍軸領(lǐng)域，適用于滿足正弦條件正透鏡的物像共軛參考平面之間的光場(chǎng)特性分析。

4 結(jié)論

在直角坐標(biāo)系中，當(dāng)衍射源光場(chǎng)為對(duì)稱分布行波場(chǎng)時(shí)，互易衍射源參考面和觀察參考面，便互易了由傾斜角余弦平方根表達(dá)的歸一化傾斜因子的功能。對(duì)稱小平坦波面衍射源的非傍軸衍射遠(yuǎn)場(chǎng)分布計(jì)算公式與對(duì)稱非傍軸會(huì)聚波面衍射源的焦平面光場(chǎng)分布計(jì)算公式具有互易性，它與亥姆霍茲互易定理或天線理論中的互易定理一致。

當(dāng)正透鏡物像共軛平面上的光場(chǎng)均為小平坦波面行波場(chǎng)場(chǎng)時(shí)，基于兩個(gè)非傍軸衍射積分公式和滿足正弦條件的正透鏡物像雙方變跡因子驗(yàn)證了幾何光學(xué)中基于費(fèi)馬原理論證的正弦條件與光學(xué)系統(tǒng)中垂軸小面積物體成完善像之間的關(guān)系，明確了物像共軛平面之間光場(chǎng)尺度變換關(guān)系的適用條件。