基于動力系統(tǒng)分數(shù)階PI（FOPI）控制永磁同步電機調(diào)速系統(tǒng)的對比研究

付雪松

（甘肅省中醫(yī)院 設備管理處，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

傳統(tǒng)的動力系統(tǒng)主要使用無刷直流電機，其運行時具有相應的勵磁電流，并且功率因數(shù)小、力矩慣量比小、效率較低。而永磁同步電機具有體積小、損耗小、構造簡單，啟動轉(zhuǎn)矩大、工作可靠、調(diào)速性能好、效率高，沒有換向器和電刷等特征?；赑MSM模型，使電機驅(qū)動系統(tǒng)具有較大的啟動轉(zhuǎn)矩及功率過載能力，同時也具有較高的系統(tǒng)控制精度、頻繁啟停及反復運動的能力和較好的動態(tài)抗擾性能。綜上，研究高精度控制算法來控制永磁同步電機，將整數(shù)階PI控制器替換為分數(shù)階PIλ控制器，使其滿足動力系統(tǒng)對電機驅(qū)動系統(tǒng)響應快、位置控制精度高、無振動的性能要求。

1 方法

1.1 PMSM模型建立

為了使動力系統(tǒng)達到多輸入、強耦合、非線性系統(tǒng)的要求，對永磁同步電機的數(shù)學模型提出以下要求：首先啟動轉(zhuǎn)矩低，沒有滯回損耗和溝槽效應，噪音低；其次，轉(zhuǎn)子與定子間無徑向力；最后，在電機高速運轉(zhuǎn)時，電感值要很小，這使得電機啟動電壓低，同時降低電機的重量，提高功率密度。

對所研究的電機作如下假設：（1）忽略永磁同步電機鐵芯的飽和；（2）不計永磁同步電機中的渦流和磁滯損耗；（3）轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組；（4）永磁同步電機的電流為三相正弦波電流。

電動機的數(shù)學模型由電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運動方程組成。

電壓方程：

磁鏈方程：

轉(zhuǎn)矩方程：

運動方程：

在電機的分析和控制中，首先要對其模型進行解耦，通過a、b、c三相靜止坐標系、?-β靜止坐標系和d-q旋轉(zhuǎn)坐標系進行相應變換。在坐標系轉(zhuǎn)換中，前后磁動勢和轉(zhuǎn)速嚴格不變，才能夠把將兩種坐標等效。d、q軸以角速度ω1逆時針旋轉(zhuǎn)時，對兩繞組加直流電壓Ud、Uq，產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的磁動勢F，F(xiàn)和α、β軸坐標等效。d軸和α軸的夾角隨d-q坐標系旋轉(zhuǎn)而改變。

綜上可得：

當三相電流不平衡時，每相電流中都含有相同的零軸分量i0，定子三相繞組完全對稱。只要是一個平衡對稱系統(tǒng)，無論三相電流是否對稱，且永磁同步電機中心不接地，則有：

永磁同步電機相關參數(shù)如下：額定電壓UN=560 V，額定轉(zhuǎn)速nN=5 000 rad/min，定子電阻R=2.875ω，交軸電感Lq=0.009 H，直軸電感Ld=0.008 5 H，轉(zhuǎn)動慣量J=0.008 kg·m2，轉(zhuǎn)子永磁磁鏈ψr=0.2 Wb，主轉(zhuǎn)子極對數(shù)p=4（對）。

1.2 PI控制

速度調(diào)節(jié)器可以使轉(zhuǎn)速n快速跟隨給定的電壓而變化，這是速度調(diào)節(jié)系統(tǒng)中的主調(diào)節(jié)器。采用（廣義）PI調(diào)節(jié)器，可實現(xiàn)無靜差調(diào)速；輸出的限幅電流限制了電動機的最大允許電流，同時對負載變化的影響起到良好的抗干擾作用。在調(diào)節(jié)外環(huán)速度的同時，其作用是使電流緊密跟隨其給定電壓即外環(huán)調(diào)節(jié)器的輸出而變化，對電網(wǎng)電壓的波動進行抑制，起到抗干擾作用。當電機過載甚至堵塞時，將最大電樞電流做一個限幅，在保護電機的同時還能起到快速準確的自動調(diào)節(jié)作用。當故障消失后，系統(tǒng)可以較穩(wěn)定地恢復到正常運轉(zhuǎn)，加快了動態(tài)過程。

如圖1所示，ACR為電流環(huán)控制器，比例參數(shù)為kcp，積分參數(shù)為kci，采樣時間為10-6s，τi是調(diào)節(jié)器的超前時間常數(shù)，輸出上下限為650、-650，輸出電流環(huán)的控制對象是兩個時間常數(shù)相差較大的雙慣性控制對象，采用PI型的電流調(diào)節(jié)器；ASR為速度環(huán)控制器，ksp設置為比例參數(shù)，ksi設置為積分參數(shù)，采樣時間同樣為10-6s，tn是調(diào)節(jié)器的超前時間常數(shù)，輸出上下限為10、-10。

圖1 PI控制系統(tǒng)

經(jīng)計算，取ASR轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制器中Kp=0.1、Ki=2。

1.3 分數(shù)階控制

分數(shù)階控制器理論和PID控制器整定理論融合后，開辟了一個新的研究方向。這個分數(shù)階控制器的一般格式為PIλDμ，取λ階積分，μ階微分，相比于一般PID控制器，多了2個可整定的參數(shù)。當這些階次取分數(shù)時，即不是傳統(tǒng)意義上的微積分。

分數(shù)階PIλDμ控制器相對于整數(shù)階PID控制器來說，增加了2個可調(diào)參數(shù)λ和μ，作為不同的微積分階次，其結(jié)構如圖2所示。

圖2 分數(shù)階控制器

分數(shù)階PIλ控制器運用到速度控制環(huán)中，取得了較好的控制效果。由于分數(shù)階PIλ控制器中引入了積分階次λ，使控制器參數(shù)的選取范圍變得更加靈活。本論述未涉及微分及其階次μ，下文不再贅述。

分數(shù)階控制器參數(shù)設置是設計研究中非常重要的部分，各種參數(shù)的選擇和計算直接關系到控制器的控制效果。各種參數(shù)對分數(shù)階系統(tǒng)的影響：首先，Kp為比例項，它可以對放大控制器輸入值的誤差進行一定放大，用于誤差靈敏度的調(diào)節(jié)。如果增大比例系數(shù)Kp，可對出現(xiàn)的誤差做出更為迅速的反應，從而加快系統(tǒng)的整體響應速度；其次，積分項Ki的主要作用是在系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，對其進行調(diào)節(jié)。當系統(tǒng)存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差時，由于積分項的累加性質(zhì)，輸出誤差逐漸減小，最終減小到0，從而提高了系統(tǒng)穩(wěn)定的精度；Ki值的大小直觀地反應出了積分作用的強度，如果積分作用太弱，對系統(tǒng)的影響就會太小，增加系統(tǒng)消除靜差的時間，而作用過大可能會導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，故Ki的大小對系統(tǒng)性能的影響有著兩面性。對于分數(shù)階次λ，使用濾波算法程序，進行如下化簡：

算法中參數(shù)為：λ、N、ωω、T，l表示分數(shù)階的階次，N為所需逼近的精度，ωω表示擬合頻率的上下限。由于算法可能具有一定的局限性，選擇ωb·ωh=1。

按照上述理論設計分數(shù)階模塊，同時進行控制變量使得Kp=0.1，Ki=2，與PI控制中參數(shù)相同。Fractiona模塊是將濾波算法的M文件進行調(diào)用，加入一個Saturation模塊，目的是將輸入信號限制在飽和上限和下限。

分數(shù)階次為l，下文將對其取值進行仿真研究；逼近階設置為0.92；頻率范圍滿足ωb·ωh=1。分數(shù)階仿真同樣采用id=0的控制策略。

2 結(jié)果

2.1 PI控制階躍響應結(jié)果

經(jīng)仿真后，PI控制階躍響應曲線如圖3所示，電磁轉(zhuǎn)矩波形如圖4所示。

圖3 PI控制階躍響應曲線

圖4 PI控制器階電磁轉(zhuǎn)矩波形

2.2 PI分數(shù)階控制階躍響應結(jié)果

通過上述計算得l=-0.01，在MATLAB中運行該程序，并在Simulink中仿真后，得響應曲線如圖5所示，電磁轉(zhuǎn)矩波形如圖6所示。

圖5 分數(shù)階控制階躍響應曲線

圖6 分數(shù)階控制電磁轉(zhuǎn)矩波形

3 討論

3.1 PI控制分析

PI控制仿真數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 PI控制響應數(shù)據(jù)

經(jīng)過仿真計算，轉(zhuǎn)速最大值為5 086 rmp，上升時間為0.085 s，最大轉(zhuǎn)速到給定轉(zhuǎn)速的調(diào)節(jié)時間為233.333 ms，超調(diào)量為2.727%，轉(zhuǎn)速從0到穩(wěn)定在5 000 rmp的時間為311.961 ms。電磁轉(zhuǎn)矩在電機啟動時間較大，在0.1 s以后，逐步趨于穩(wěn)定，表明電機轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在5 000 rmp。三相電流在啟動時較大，運行在-10～10，當轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定時，電流減小，運行在-3～3。d軸電流基本穩(wěn)定在0附近，符合預設控制策略，這就保證了輸出轉(zhuǎn)矩最大化，且只與定子電流（iq）的幅值成正比。

由于反電動勢代表了轉(zhuǎn)速輸出對電流環(huán)的影響，它與轉(zhuǎn)速成正比關系。通常系統(tǒng)的電磁時間常數(shù)Tl遠小于機電時間常數(shù)Tm，所以電流環(huán)的變化比轉(zhuǎn)速環(huán)快得多，而且反電動勢對電流環(huán)來說，是個較慢的擾動。綜上，在電流的瞬時變化中，反電動勢基本不變。

3.2 分數(shù)階控制分析

分數(shù)階控制響應數(shù)據(jù)如圖8所示。

圖8 分數(shù)階控制響應數(shù)據(jù)

經(jīng)過仿真計算，數(shù)據(jù)結(jié)果如圖8所示。分數(shù)階控制轉(zhuǎn)速最大值為5 022 rmp，上升時間為0.08 s，轉(zhuǎn)速從0到穩(wěn)定在5 000 rmp的時間為1s，盡管相比PI控制的311.961 ms延長到了1 s，但超調(diào)量為0.909%。電磁轉(zhuǎn)矩在電機啟動時間較大，在0.1 s以后，逐步趨于穩(wěn)定，表明電機轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在5 000 rmp。三相電流在啟動時較大，運行在-10～10，當轉(zhuǎn)速趨于穩(wěn)定時，電流減小，運行在-3～3。d軸電流基本穩(wěn)定在0附近，符合預設控制策略，這就保證了輸出轉(zhuǎn)矩最大化，且只與定子電流（iq）的幅值成正比。通過對比電磁轉(zhuǎn)矩波形，可以看出較PI控制，電機的啟動轉(zhuǎn)矩波形更為規(guī)則連續(xù)，突變程度小，更快趨于穩(wěn)定，使轉(zhuǎn)矩更緊湊地保持在0附近。

兩種仿真均采用的是id=0的控制策略。這是一種轉(zhuǎn)子磁鏈定向控制，實現(xiàn)較為容易。因為電樞反應中，直軸部分沒有產(chǎn)生去磁分量和去磁效應，所以沒有出現(xiàn)退磁而損壞電機。對于永磁同步電機來說，id=0的控制即為最大轉(zhuǎn)矩電流比控制。由轉(zhuǎn)矩公式可以看出，永磁同步電機在運行過程中，保證id=0，使定子電流產(chǎn)生的電樞磁動勢與轉(zhuǎn)子勵磁磁場間的角度為90°，且只與定子電流（iq）的幅值成正比，這就保證了輸出轉(zhuǎn)矩可以達到最大值。

當l增大時，系統(tǒng)的超調(diào)量相應減少，穩(wěn)定性持續(xù)提升，但是上升時間變長。l過大時，系統(tǒng)將出現(xiàn)失控，穩(wěn)定性差。l減小時，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間會變長，但是響應速度比較快。因此，要使系統(tǒng)的動態(tài)性能較好，l的值需合適。當l=-0.001時，超調(diào)量在3次實驗中最小，調(diào)節(jié)時間最短，系統(tǒng)穩(wěn)定性最好，所以將l定為-0.001。轉(zhuǎn)速最大值為5 006 rmp，上升時間為0.08 s，此時超調(diào)量僅為0.12%。

將該動力系統(tǒng)兩種控制模式應用于切割骨模型實驗。對材質(zhì)、形狀等參數(shù)相同的兩塊骨模型同時進行切割，完成后利用3D激光測量顯微鏡觀測銑削加工后的骨模型表面質(zhì)量以及利用LEXT軟件測量銑削槽進給方向上的線粗糙度，兩種控制下的切削表面形貌模型如圖9所示。

圖9 切削表面形貌模型

圖9（a）為PI控制下的切削表面形貌，其表面有不同程度的凹凸以及積屑產(chǎn)生；圖9（b）為分數(shù)階控制下的切削表面形貌，切削紋理清晰可見，有明顯的切削紋理方向。由此可以得出，不同的控制系統(tǒng)，切削表面質(zhì)量明顯不同，分數(shù)階控制系統(tǒng)的切削情況更為理想。

接下來，對分數(shù)階控制進行優(yōu)化。經(jīng)計算，如圖10所示：中由上到下依次為紅線l=-0.01、紫線l=-0.007、藍線l=-0.001。當l增大時，調(diào)節(jié)時間逐漸減少，跟蹤加快，波形更加平穩(wěn)，快速趨于穩(wěn)定。

圖10 l取不同值時分數(shù)階控制階躍相應曲線

4 結(jié)論

兩種控制模式主要性能參數(shù)對比見表1所列。

表1 兩種控制模式參數(shù)對比

表1分別對兩種情況下的仿真曲線及其特性曲線參數(shù)作了對比，直觀地反映出了后者較前者而言更為理想，與本論述研究結(jié)論一致。兩種情況相比較，分數(shù)階控制的超調(diào)量較PI控制減少了2.067%，上升時間下降了0.005 s，基于更加穩(wěn)定的響應，調(diào)節(jié)時間卻延長了688.039 ms。

如圖11所示，P、I參數(shù)相同的情況下，將分數(shù)階控制參數(shù)l設置為-0.01，使兩種控制方法同時實現(xiàn)。首先PI控制的超調(diào)量遠高于分數(shù)階控制，高達2.067%；其次，在穩(wěn)定性方面，分數(shù)階控制很快就穩(wěn)定在給定的5 000 rmp。整數(shù)階在相比之下，恢復穩(wěn)定所需要的時間大大延長，分數(shù)階整定控制的優(yōu)勢非常明顯。綜上，分數(shù)階PIl控制器的3個參數(shù)整定為Kp=0.1、Ki=2、l=0.001。

圖11 P、I參數(shù)相同整數(shù)階與分數(shù)階階躍響應曲線比較

通過對比，對動力系統(tǒng)的電機進行替換并采取分數(shù)階調(diào)速控制，從分數(shù)階積分項sλ的特性可以看出，通過不斷改變該項取值，分數(shù)階積分項越小，它對系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為較強的比例作用和較弱積分特征。同樣分數(shù)階積分項越大，就導致越偏向分數(shù)階積分多一些，故對其影響越大，該系統(tǒng)將表現(xiàn)出積分較強但比例較弱的特點。最終，使超調(diào)量、調(diào)節(jié)時間減少，電機運轉(zhuǎn)更加穩(wěn)定，響應迅速，獲得更為理想的控制效果。

考慮到各種各樣的阻力和擾動，所以在電機的控制仿真時，假設在第0.5 s時同時給兩種控制模式下的電機Tm輸入端加入負載擾動，此時響應曲線如圖12所示。

圖12 加入擾動后兩種控制響應曲線

可以看出在受到同樣的擾動后，二者皆有一定程度的偏離。圖12中紅色曲線為分數(shù)階控制響應。在受到擾動后，轉(zhuǎn)速響應曲線在發(fā)生很小的下降后以極快的速度使電機趨于穩(wěn)定運行；而整數(shù)階PI控制，先經(jīng)過很大的下降波動，才較為緩慢地恢復穩(wěn)定。

對分數(shù)階控制器基于濾波算法、期望的幅值裕量Am和相位裕量φm設計最優(yōu)PIλ控制器。經(jīng)過分數(shù)階近似優(yōu)化，計算調(diào)節(jié)該模型的分數(shù)階控制器的階次，得到不同的轉(zhuǎn)速響應結(jié)果。選擇系統(tǒng)階躍響應動、靜態(tài)特性相對最好的曲線，從而確定最后的分數(shù)階模型。

我國動力系統(tǒng)方面的發(fā)展剛剛起步，技術尚不成熟，相關研究資料及文獻較為匱乏，目前國內(nèi)市場上多為動力系統(tǒng)的維修、保養(yǎng)。底層核心技術主要還是以國外引進為主，缺乏國內(nèi)的創(chuàng)新與研發(fā)，本論述正是基于此，對動力系統(tǒng)的核心進行了研究。