高中數(shù)學文化校本選修課的基本樣態(tài)

華志遠

摘要：數(shù)學文化校本選修課，可以選擇承載較多數(shù)學文化的知識內(nèi)容（課題），與新授課同步，讓學生及時了解相關的數(shù)學史，體驗數(shù)學與社會、生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，從而理解相關內(nèi)容在數(shù)學以及人類文化中的地位和作用;通過一些經(jīng)典案例中問題的解決，幫助學生領悟數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想，進一步感受數(shù)學的價值;通過相關人物事跡的了解，讓學生認識數(shù)學發(fā)展的迂回曲折，感受數(shù)學家的探索精神以及理性思維的重要價值。以《函數(shù)與數(shù)學文化》一課為例，呈現(xiàn)其基本樣態(tài)。

關鍵詞：數(shù)學文化;校本課程;教學樣態(tài);函數(shù)

本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度重點資助課題“以高中數(shù)學為主導的跨學科教學研究”（編號：Ba/2020/02/47）的階段性研究成果。《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“課程結構”中提出“數(shù)學文化融入課程內(nèi)容”，并說明“數(shù)學文化是指數(shù)學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學相關的人文活動”。

為了更好地在教學中滲透數(shù)學文化，我校自2019年起，主要面向高一學生，開設數(shù)學文化校本選修課：選擇承載較多數(shù)學文化的知識內(nèi)容（課題），與新授課同步，讓學生及時了解相關的數(shù)學史，體驗數(shù)學與社會、生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，從而理解相關內(nèi)容在數(shù)學以及人類文化中的地位和作用;通過一些經(jīng)典案例中問題的解決，幫助學生領悟數(shù)學知識中蘊含的數(shù)學思想，進一步感受數(shù)學的價值;通過相關人物事跡的了解，讓學生認識數(shù)學發(fā)展的迂回曲折，感受數(shù)學家的探索精神以及理性思維的重要價值。

下面以《函數(shù)與數(shù)學文化》一課為例，呈現(xiàn)數(shù)學文化校本選修課的基本樣態(tài)。

一、解決現(xiàn)實問題，引出知識主題

因為學生已經(jīng)在新授課上學過相關知識，所以數(shù)學文化選修課的一開始，可以通過現(xiàn)實問題引出本節(jié)課的知識主題?，F(xiàn)實問題能讓學生感受到知識的應用價值，同時能讓以歷史文化為主的課堂獲得現(xiàn)代感，實現(xiàn)歷史與現(xiàn)實的交融。

《函數(shù)與數(shù)學文化》一課，筆者首先通過兩個現(xiàn)實問題，讓學生感知函數(shù)模型的實際存在與現(xiàn)實應用。這兩個問題中的函數(shù)關系分別可以與不可以用解析式表示，能讓學生充分體會函數(shù)的本質(zhì)是兩個變量的對應關系。

【教學片段1】

（教師出示問題1：“學校游泳池長50米、寬21米，使用時水深1.8米以上。上課時，當我們問管理老師游泳池蓄水多少時，為什么他只要看一下水面的高度，就能報出蓄水量？”）

生因為游泳池蓄水量y是關于水深 h的函數(shù)。

師你能將該函數(shù)表示出來嗎？

生y=50×21×h，即y=1050h，h>0。

師實際問題要注意單位。

生y的單位是立方米，h的單位是米。

（教師出示問題2：“如果今天記作第一天，第n天走路的步數(shù)記為y，則y是否為關于n的函數(shù)？如果是，如何表示？”）

生第n天走路的步數(shù)是確定的，故y是關于n的函數(shù)。一般來說，這一函數(shù)很難用解析式表示，而可以用列表法或圖像法表示。

師函數(shù)模型可以描述兩個變量間的對應關系，常用解析式、列表法和圖像法來表示。本節(jié)課，讓我們穿越時空隧道，經(jīng)歷函數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展之旅，領略數(shù)學家、科學家們的勵志故事，探索函數(shù)概念的本質(zhì)，體驗函數(shù)在社會、生產(chǎn)、生活以及科學技術中的廣泛應用，了解函數(shù)對我們今后的學習會產(chǎn)生的影響。

二、選取典型材料，體現(xiàn)歷史脈絡

數(shù)學文化選修課的教學要讓學生了解有關知識產(chǎn)生、發(fā)展的歷史。為此，可以梳理、重構歷史過程，選取典型的背景材料，體現(xiàn)歷史的大致脈絡;同時，可以設計有關問題，引導學生思考，提升學生的參與度，幫助學生充分理解歷史背景，感受文化底蘊。

《函數(shù)與數(shù)學文化》一課，筆者通過四段典型的背景材料，帶領學生回到第一次工業(yè)革命時代，經(jīng)歷函數(shù)形態(tài)從曲線、一個解析式到多個解析式、對應關系的發(fā)展過程，深刻體驗函數(shù)概念不斷抽象和升華的發(fā)展過程，并且領悟數(shù)學應用是推動函數(shù)概念內(nèi)涵和外延發(fā)展的原動力，數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)形結合、對應等是形成函數(shù)概念的核心思想。

【教學片段2】

（教師出示背景材料1：“隨著工業(yè)的發(fā)展，到了17世紀，為了尋找原料、尋求通商，歐洲人已經(jīng)從事大規(guī)模、長距離的航海。在沒有GPS導航的年代，航海家們在茫茫大海中看不到任何標識，只能通過觀測日月星辰來判斷位置，從而決定航向。這需要更精確地測定經(jīng)緯度、測量時間，而現(xiàn)在的經(jīng)典幾何和代數(shù)很難解決當時的生產(chǎn)和自然科學提出的眾多新問題?！比缓蟪鍪締栴}3：“在地圖上，如何表示出東偏南60°且離港口100海里的船只？在數(shù)學上，如何研究船只航行時形成的曲線？”）

生將港口抽象為坐標原點，根據(jù)地圖上約定的“上北下南，左西右東”，以正東為x軸正方向、正北為y軸正方向，建立平面直角坐標系，則船只的位置可看成從原點出發(fā)、在第四象限、與x軸正半軸夾角為60°的射線上的點，于是可用一個有序?qū)崝?shù)對（坐標）來表示，船只航行時形成的曲線可用一個二元方程來表示。

師很好！同學們用坐標，即解析幾何的思想描述了這一幾何問題。其實，一般來說，如果將二元方程寫成用一元（一個變量）表示另一元（另一個變量）的形式，就得到了函數(shù)的解析式。

[教師出示背景材料2：“在17世紀，函數(shù)概念沒有被充分認識之前，多數(shù)函數(shù)是被當作曲線研究的。而法國數(shù)學家、科學家和哲學家笛卡兒創(chuàng)建了解析幾何，將代數(shù)和幾何聯(lián)系在了一起，為利用函數(shù)思想研究曲線提供了可能性。后來，由于17世紀的科學家們致力于運動的研究，如炮彈的初速度對高度和射程的影響，船只及天體的位置等，尤其是德國數(shù)學家萊布尼茨在1692年使用fuction（作用）表示隨曲線的變化而改變的幾何量，如坐標、切線等，極大地推動了函數(shù)概念及思想的形成與發(fā)展。1718年，萊布尼茨的學生瑞士數(shù)學家約翰·伯努利強調(diào)了函數(shù)要用公式表示?！盷

師由此，問題1中的變量關系是函數(shù)嗎？

生是的。

師那問題2中的呢？

生不是。

師可見，這樣的定義仍具有一定的局限性。

[教師出示背景材料3：“1755年，瑞士數(shù)學家歐拉抽象地指出，‘如果某些變量，以一種方式依賴于另一些變量，我們就將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)’，并將函數(shù)記作‘f（x）’，拓展了函數(shù)的意義。但是，他在《無窮小分析引論》中仍強調(diào)了公式的重要性，并明確規(guī)定：一個給定的函數(shù)在它的整個定義域內(nèi)只能由一個解析式來表示?！比缓蟪鍪締栴}4：“無錫市出租車收費標準如下：3 km以內(nèi)（含3 km）的路程，按起步價10元收費;超過3 km的路程，按2.8元/km收費。問：收費額y是否為路程x的函數(shù)？如果是，怎樣表示？”]

生y是x的函數(shù)。當03時，y=10+2.8（x-3）。即y=10，0

2.8x+1.6，x>3。

師這里的變量關系用到了幾個解析式來表示？

生2個。

師可見，歐拉的定義仍具有一定的局限性。

[教師出示背景材料4：“在當時的背景下，數(shù)學家們不接受這類分段函數(shù)。但是，對物理弦振動問題的研究引發(fā)了數(shù)學家們對函數(shù)概念的爭論，迫使他們接納了分段函數(shù)。1822年，法國數(shù)學家、物理學家傅里葉發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可以用曲線表示，也可以用一個或多個式子表示，從而將對函數(shù)的認識又推進了一個層次。1823年，法國數(shù)學家、物理學家柯西從定義變量開始，得出了更為抽象的函數(shù)定義：若對x的每一個值，都有完全確定的y 值與之對應，則稱y是關于x的函數(shù)。隨著微積分研究的深入，到了18世紀末19世紀初，人們對函數(shù)的認識又向前推進了。1837年，德國數(shù)學家狄利克雷利用“對應說”徹底掙脫了解析式的束縛，其中特別強調(diào)了，只要有一個法則使得取值范圍中的每一個x都有一個確定的y和它對應即可，無論該法則是用公式還是用圖像、表格等形式表示。該定義突出了函數(shù)的本質(zhì)——對應思想。19世紀70年代以后，隨著集合概念的出現(xiàn)，函數(shù)概念用更加嚴謹?shù)募虾蛯Z言表述，甚至推廣到“關系說”（集合函數(shù)），從而為研究函數(shù)的性質(zhì)及應用提供了更廣闊的思維空間。” ]

師函數(shù)概念在數(shù)學家們以運動的視野研究曲線的過程中誕生，一開始更多地用來表示兩個變量之間的關系，是用代數(shù)方法研究幾何問題所采用的手段;社會、科學技術以及數(shù)學本身的發(fā)展，尤其是微積分的應用，推動數(shù)學家通過不斷抽象和完善，深化對函數(shù)概念本質(zhì)的認識，拓展函數(shù)思想應用的領域。

三、研究經(jīng)典問題，領悟思想方法

有了“面”，還要有“點”。數(shù)學史是數(shù)學家不斷研究的過程。數(shù)學文化選修課的教學還要讓學生經(jīng)歷經(jīng)典案例中具體問題的解決過程，從中充分感受數(shù)學家原創(chuàng)性的思考，領悟數(shù)學思想方法。教師可以對經(jīng)典案例做適當?shù)母木?，提出學生能夠解決的問題，體現(xiàn)基本的數(shù)學思想方法。

《函數(shù)與數(shù)學文化》一課，筆者選取拋物線的方程和狄利克雷函數(shù)兩個經(jīng)典案例，呼應歷史脈絡中函數(shù)概念的“變量說”和“對應說”，引導學生解決能夠解決的問題，深入體會函數(shù)思想。

【教學片段3】

[教師出示經(jīng)典案例1：“意大利科學家伽利略的近代力學著作《關于兩門新科學的對話》（1638年）從始至終貫穿著“變化”是自然界的本質(zhì)的思想。比如，書中他通過“自相似性”，得出了運動與位移之間的關系，并用文字敘述如下：從靜止狀態(tài)開始以勻加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用的時間的平方成正比，用符號表示就是s=12gt2。因此，有人認為他是創(chuàng)造函數(shù)概念的先驅(qū)之一。”然后提出問題：利用運動學知識，你能否證明扔出去的小石頭的飛行軌跡是二次函數(shù)表示的拋物線？]

生（同步板書符號與公式）記小石頭的初速度為v0，它與水平方向的夾角為θ，設初始位置為坐標原點，設當時間為t時，飛行軌跡上任意一點P的坐標為（x，y），則利用運動的獨立性和分解性，得x=v0tcos θ，y=v0tsin θ-12gt2，消去t，得y=-g2v20cos 2θx2+xtan θ，因此，小石頭的飛行軌跡是開口向下的拋物線。

師同學們用運動學知識嚴格論證了拋物線是二次函數(shù)曲線，溝通了數(shù)學與物理之間的聯(lián)系，也體會到函數(shù)中蘊含的變量相關思想。

[教師出示經(jīng)典案例2：“狄利克雷的‘對應說’定義掙脫了公式法的束縛，突出了函數(shù)概念的本質(zhì)——對應思想，使之具有更加豐富的科學內(nèi)涵。他曾用對應的語言描述了以下函數(shù)：當自變量取有理數(shù)時，函數(shù)值為1;當自變量取無理數(shù)時，函數(shù)值為0。該函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，從形式上看，它是一個分段函數(shù)：D（x）=1，x為有理數(shù);

0，x為無理數(shù)?！比缓筇岢鰡栴}：（1）能否作出該函數(shù)的圖像？（2）試求出該函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性;（3）是否存在非零常數(shù)T，使得D（x+T）=D（x）恒成立？證明你的結論。]

生該函數(shù)的圖像作不出，但可以想象出類似于許多點構成的“電子云”。該函數(shù)的定義域為R，值域為{0，1};利用定義可以證明它是偶函數(shù)，但無單調(diào)性。同時，所有非零有理數(shù)都是符合題設要求的常數(shù)T。

師狄利克雷函數(shù)是一個非常特別的函數(shù)，它能幫助我們充分理解函數(shù)中蘊含的對應思想。

[教師出示變式練習：對于任意實數(shù)x，[x]是不超過x的最大整數(shù)，我們將y=[x]稱為高斯函數(shù)，試針對函數(shù)f（x）=x-[x]，研究上述三個問題。學生完成。]

四、了解研究故事，體會數(shù)學精神

數(shù)學研究的過程并不總是一帆風順，經(jīng)常會遇到挫折、出現(xiàn)錯誤，但是具有探索精神和理性思維的數(shù)學家們不會放棄或迷信，而會不斷研究，直到成功。讓學生了解經(jīng)典案例中曲折生動的研究故事，特別是對那些學生目前還不能解決的問題，可以讓學生充分感受到數(shù)學精神的力量，獲得人生的啟迪。

《函數(shù)與數(shù)學文化》一課，筆者選擇懸鏈線方程的研究這一經(jīng)典案例，讓學生感受數(shù)學研究的艱難與堅持。

【教學片段4】

師小石頭飛過天空，其軌跡是什么曲線？固定繩索的兩端，在重力場中讓繩索自然垂下，則繩索表示的懸鏈線是什么曲線？

生小石頭的軌跡是拋物線，懸鏈線形狀好像也是拋物線。

師同學們犯了一個科學家也犯過的直覺錯誤。

（教師出示經(jīng)典案例3：“古希臘哲學家亞里士多德根據(jù)其‘有機目的觀’的物理學和哲學，得出地面上的‘自然運動’是直線運動，所以石頭飛出去的運動軌跡是直線。兩千多年后，這一結論才由伽利略加以修正：軌跡的方程為二次函數(shù)y=ax2+bx+c。此時，伽利略從繩索的外表作出猜測：懸鏈線也是拋物線。1646年，荷蘭物理學家惠更斯經(jīng)由物理的論證發(fā)現(xiàn)伽利略的猜測有誤，但是他求不出正確答案。到了17世紀后半葉，牛頓與萊布尼茨分別獨立地發(fā)明了微積分。由此，可以將一條未知曲線“網(wǎng)”在一個微分方程式中，再利用積分法解開“網(wǎng)子”，求得未知曲線。1690年，瑞士數(shù)學家雅各布·伯努利重提懸鏈線問題。第二年，惠更斯、萊布尼茨以及雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利都利用微積分這一利器，求得正確答案為y=eax+e-ax2a。至此，懸鏈線的懸案才得以真正告破?！保?/p>

師可見，獲得真理常常是一個艱難的過程，大師也可能犯錯，我們要有系統(tǒng)、有方法地去懷疑沒有確認的判斷。數(shù)學和科技發(fā)展史表明：一切成功都是踏著錯誤前進的，科學方法就是“嘗試改錯”;有時，前人的錯誤經(jīng)驗往往對后人更具有啟發(fā)性與教育性。（稍停）就讓我們以一首有關函數(shù)的打油詩結束本課：我講課，你學習，你是我的定義域;我啟發(fā)，你思考，相互交流得值域;數(shù)學史，有情趣，學習熱情單調(diào)增;我搜集，你鉆研，數(shù)學文化有解析。

最后需要指出的是，在數(shù)學文化的教學中，應注意思考性與故事性、系統(tǒng)性與情境性、真實性與趣味性、思維價值與人文價值等方面的有機統(tǒng)一，以增強教學效果，促進文理貫通。

參考文獻：

[1] 張奠宙，王善平.數(shù)學文化教程[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2] 《中小學學科文化叢書》編寫組.高中數(shù)學讀本1[M].北京：北京教育出版社，2015.

[3] 鐘萍，汪曉勤.函數(shù)概念：基于歷史相似性自然過渡[J].教育研究與評論（中學教育教學），2016（2）.