一類非齊次A-調和方程雙障礙問題弱解的存在唯一性與收斂性

李小歡，呂月明

(哈爾濱理工大學 理學院， 哈爾濱 150080)

0 引 言

A-調和方程是非線性橢圓型偏微分方程的一個重要組成部分，在許多領域都有十分廣泛的應用，例如物理、彈性理論、非線性分析及位勢理論等。2009年，Afrouzi等定義了算子J,G,F,T[1]：

T=J+λG-F

2011年,李貫鋒等由一類A-調和方程-divA(x,?u(x))=f引出了對應的單障礙問題[2]。定義映射：K→X′為

(u,?u)=(-f,A(x,?u))

式中：(u,?u)∈K，X=Lp(Ω)×Lp(Ω,n)；X為自反的Banach空間，其對偶空間為n)。進一步通過單調算子理論證明了單障礙問題解的存在唯一性，從而得到A-調和方程弱解的存在唯一性。2019年,Kratou等在函數(shù)f適當假設下，對算子A、B進行條件限制，構造算子T=J+G-F[3]，其中J、G、F定義如下：

證明算子T是單調的、弱下半連續(xù)的和強制的，利用Browder定理給出了一類非齊次A-調和方程

弱解的存在唯一性。

基于以上研究，本文將利用單調算子理論討論一類具有一般形式的非齊次A-調和方程divA(x,u,?u)=B(x,u)雙障礙問題弱解的存在唯一性，并在弱解存在唯一性的基礎上研究弱解的梯度估計以及弱解的收斂性。目前，已有很多關于A-調和方程解的性質的研究成果，相關內容可參閱文獻[4-10]。

總假定1

divA(x,u,?u)=B(x,u)

(1)

式中，算子A(x,u,?u):Ω××n→n關于x是可測的，關于u是連續(xù)的，且算子A、B滿足如下結構條件：

A-調和方程的弱解概念被提出之后，為A-調和方程的理論發(fā)展奠定了基礎。本文主要基于上述算子條件的非齊次A-調和方程雙障礙問題弱解的存在唯一性，研究雙障礙問題弱解的梯度估計以及弱解的收斂性。

設φ(x)、ψ(x)為Ω上取值于R∪{+∞}的任意函數(shù)，函數(shù)θ(x)∈W1,p(Ω)，定義雙障礙集合

成立。

成立。

成立。

1 雙障礙問題弱解的存在唯一性

本節(jié)主要討論非齊次A-調和方程弱解的存在性。這里設X=Lp(Ω)×Lp(Ω,n),則X為自反的Banach空間，其對偶空間為n)。任意取g=(g1,g2)∈X，定義

首先，證明與非齊次A-調和方程相關的雙障礙問題弱解的存在性，為此引入如下的定義及引理。

定義4[12]設:K→X′為一映射，若對于任意的u,v∈K，都有

〈u-v,u-v〉≥0

〈uj,v〉→〈u,v〉

引理1[12]設K是X的一個非空閉凸子集，映射:K→X′在K上單調、強制、弱連續(xù)，則存在u∈K，對任意的v∈K，都有

〈u,v-u〉≥0

成立。

命題1K是X的一個非空閉凸子集。

證明(1) 對(u,?u)∈K，(v,?v)∈K，0<λ<1 ，有

λu+(1-λ)v≥λφ+(1-λ)φ=φ

λu+(1-λ)v≤λψ+(1-λ)ψ=ψ

故

φ≤λu+(1-λ)v≤ψ

從而

λ(u,?u)+(1-λ)(v,?v)∈K

即K是凸集。

設(vi,?vi)為K中的一個序列并且X中收斂到(v,φ)，其中φ=(φ1,…,φn)∈Lp(Ω,n),即

從而

并且

對任意的(v,?v)∈K，定義映射：K→X′為(u,?u)=(B(x,u),A(x,u,?u))，從而可得

〈(u,?u)-(v,?v),(u,?u)-(v,?v)〉

=〈(B(x,u)-B(x,v),A(x,u,?u)-A(x,v,?v)),(u-v,?u-?v)〉

命題2在K上是單調的。即對于任意的(u,?u),(v,?v)∈K，有

〈(u,?u)-(v,?v),(u,?u)-(v,?v)〉≥0

證明

=〈(B(x,u)-B(x,v),A(x,u,?u)-A(x,v,?v)),(u-v,?u-?v)〉

命題3在K上是強制的，即存在(u,?u)∈K，使得當‖(vi,?vi)‖→+∞時，總有

證明固定(vj,?vj)∈K,?(u,?u)∈K，有

〈(u,?u)-(vj,?vj),(u,?u)-(vj,?vj)〉

≥c2-p(‖u-vj‖p+‖?u-?vj‖p)p=c1‖(vj-?vj)-(u-?u)‖p

(2)

由式(2)可知

(3)

由式(3)可知命題得證。

命題4在K上是弱連續(xù)的。

證明設(uj,?uj)∈K為一序列且在X中收斂到(u,?u)∈K,只需證明(uj,?uj)在X′中弱收斂到(u,?u)，即對任意的(v1,v2)∈X，都有

〈(uj,?uj)-(u,?u),(v1,v2)〉→0

〈(uj,?uj)-(u,?u),?uj)-A(x,u,?u))v2+(B(x,uj)-B(x,φ))v1dx

已知在X中(uj,?uj)→(u,?u)，因此?uj在Lp(Ω,n)中總是收斂到?u，由此可知存在子列ujk使得?ujk→?u在Ω中總是幾乎處處成立。由A算子的結構條件，則有

A(x,ujk,?ujk)→A(x,u,?u)

從而

又在Lp(Ω,n)中，?ujk→?u。于是在Lp(Ω)中uj→u，則A(x,uj,?uj)在n)中總是一致有界的。根據(jù)定義3，A(x,uj,?uj)在n)中弱收斂到A(x,u,?u)。

〈(uj,?uj)-〈(u,?u),(v1,v2)〉

定理1由引理1可知，存在(u,?u)∈K，使得對任意的(v,?v)∈K，都有

〈(u,?u),((v,?v)-(u,?u))〉≥0

成立。

為證明弱解的存在唯一性，給出如下比較引理。

又因為v∈W1,p(Ω)是方程(1)的一個上解，故

結合上式，令min(u,v)=h，

根據(jù)引理2可知u-h=0，因此u=h=min(u,v)≤va.e.于Ω。故u≤va.e.于Ω。

2 雙障礙問題弱解的梯度估計

v-θ=(1-ηp)u+ηpw-θ=(1-ηp)(u-θ)+ηp(w-θ)

因為

?(v-u)=?((w-u)ηp)=(?w-?u)ηp+p(w-u)ηp-1?η

從而有

?I1+I2+I3+I4

首先，

(4)

估計I1，由函數(shù)w的定義可知，|w|≤|φ|+|ψ|,|?w|≤|?φ|+|?ψ|，借助于Young不等式，則有

式中c5=c5(τ1，τ2，τ3，c1)。

下面估計I2，根據(jù)函數(shù)w的定義、條件(A1)以及Young不等式，有

式中c6=c6(τ4，τ5，τ6，c1)。

下面估計I3，根據(jù)函數(shù)η的定義、條件(A1)以及Young不等式，有

式中c7=c7(τ7，τ8，τ9，c1,C)。

下面估計I4，根據(jù)函數(shù)w的定義、條件(B1)以及Young不等式，可得

式中c8=c8(τ10，τ11，c3)。

結合式(4)與上述I1、I2、I3、I4的估計可得

式中：c9=c9(τ2,τ5，τ10，τ12，c1，c3，p,R)；c10=c10(c5，c8，p,R,C)。

選擇合適的τ1、τ6、τ7，使得c1τ1+c1pτ6+c1pτ7遠小于1，于是可得

定理證畢。

3 雙障礙問題弱解的收斂性

為證明雙障礙問題弱解的收斂性，給出如下引理。

引理4[2]設xi≥0為n中的一個點列，存在正常數(shù)M1>0與M2>0且0

證明已知

根據(jù)算子A、B的結構條件及H?lder不等式，可得

于是

其中

因為

=H1+H2

其中

下面估計H1和H2。

因為?φi在Lp(Ω)中收斂到?φ，

因為

所以

即有