泰勒公式在一類高考試題中的應(yīng)用方法探究

黃淑珍

人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊三角函數(shù)課后作業(yè)拓廣探索部分題26給出了泰勒公式，提到“這些公式還被編入計(jì)算工具，當(dāng)計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯示值的精確性。比如，計(jì)算前三項(xiàng)，可以得到cos0.3≈0.9553375”。泰勒公式用函數(shù)逼近的思路求解近似值。

泰勒公式在高等數(shù)學(xué)中是一個(gè)非常重要的定理，計(jì)算函數(shù)數(shù)列極限、中值問題、不等式證明、近似計(jì)算和函數(shù)的無窮級數(shù)展開，都需要使用泰勒公式，所以在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中拓廣探索泰勒公式，讓學(xué)生初步理解并掌握其應(yīng)用能更好地進(jìn)行高中與大學(xué)知識銜接。泰勒公式的逼近思想在計(jì)算機(jī)、建筑設(shè)計(jì)、保險(xiǎn)精算、風(fēng)險(xiǎn)評估等領(lǐng)域也有重要作用，了解和探索泰勒公式，能讓學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)來解決實(shí)際問題，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的魅力。

一、 常見的泰勒公式

泰勒公式，也叫泰勒展開式，是一個(gè)用函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的信息來描述它附近取值的公式，如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值當(dāng)作系數(shù)來構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式用于近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)，主要是用于求某一個(gè)復(fù)雜函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值。高中數(shù)學(xué)中更多的是使用泰勒公式在x0=0時(shí)的特殊形式。

二、 應(yīng)用泰勒公式比較函數(shù)值大小

2022年高考結(jié)束，輿論都在討論“史上最難”的數(shù)學(xué)試題，其中選擇第7題考倒了不少學(xué)生，下面提供2022年高考題的兩種解法對比：

( )

A.a

C.c

小結(jié)：此解法中，a，c大小比較是關(guān)鍵，需要二次求導(dǎo)，在考場緊張的時(shí)間中學(xué)生難以精心計(jì)算。

小結(jié)：運(yùn)用泰勒展開式，近似取值到小數(shù)點(diǎn)后三位即可比較大小，相對解法一運(yùn)算量小。

無獨(dú)有偶，在2023屆廣州市高三年級階段訓(xùn)練中也有這樣一道題，在這提供三種解法對比。

( )

A.a

C.a

小結(jié)：上述解法需要熟悉構(gòu)造函數(shù)證明常見不等式，在考場短時(shí)間內(nèi)完成，計(jì)算量還是挺大的。

小結(jié)：上述解法是利用泰勒公式計(jì)算近似值，過程簡單明了。需要對新教材內(nèi)容中高等數(shù)學(xué)背景的知識點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)拓展。

小結(jié)：客觀題解答中，通過構(gòu)造函數(shù)連續(xù)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，可以基本判斷大小，只是要考慮x=0.1是否足夠小，在所需單調(diào)區(qū)間內(nèi)還得具體判斷，對客觀題來說，結(jié)合具體選項(xiàng)，選出正確答案也不失為省時(shí)高效的好解法。

泰勒公式的應(yīng)用挺廣泛，并不是首次出現(xiàn)在高考題和各地模擬試題中，在新教材作業(yè)題出現(xiàn)后，我們回顧往年高考題會發(fā)現(xiàn)泰勒公式的應(yīng)用還是多次出現(xiàn)的。

( )

A.a

C.b

小結(jié)：a，b大小容易比較，排除A，D選項(xiàng)后，可用泰勒公式計(jì)算a，c大小即可。

( )

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

泰勒公式用函數(shù)逼近的思想來求近似值，我們聯(lián)想起二項(xiàng)式定理也可以求解近似值題目，而(1+x)α的泰勒公式中取了特殊值，余項(xiàng)是0就是二項(xiàng)式定理的形式，可見泰勒公式比二項(xiàng)式定理更具有一般性。當(dāng)遇到指數(shù)對數(shù)不容易取值時(shí)，以上方法能夠轉(zhuǎn)變成無窮級數(shù)，代入具體數(shù)值即可比較大小，對比構(gòu)造函數(shù)證明，泰勒公式更容易被學(xué)生接受。泰勒公式在考試題命制中作用是架起了超越函數(shù)與初等函數(shù)之間的橋梁，讓高等數(shù)學(xué)問題找到了初等解法，也讓高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間有了更多的銜接。

三、 由泰勒公式得到的常用不等式

利用泰勒公式，我們截取前幾項(xiàng)，就可以得到導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中常見的不等式。如：

(10)α≤0或α≥1，(1+x)α≥1+αx(x>-1)；0<α<1，(1+x)α≤1+αx(x>-1)；

【例5】(2013年陜西高考數(shù)學(xué)試題，22)已知函數(shù)f(x)=ex，x∈R。

【例6】(2014年陜西高考數(shù)學(xué)試題，21)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。(3)設(shè)n∈N+，比較g(1)+g(2)+…+g(n)與n-f(n)的大小，并加以證明。

可見泰勒公式能將復(fù)雜函數(shù)近似表示為簡單的多項(xiàng)式，在分析和研究數(shù)學(xué)問題時(shí)起到化繁為簡的作用。泰勒公式和常見不等式是需要記憶的，我們在高考復(fù)習(xí)過程中，歸納好題型，遇到能使用泰勒公式的題目時(shí)多鞏固加強(qiáng)記憶，熟練后就可以得心應(yīng)手了。

四、 結(jié)語

2021年和2022年的高考題中，不少題源自新舊教材變化內(nèi)容及新教材拓廣探索題目，如2022年高考試題中第7題出現(xiàn)泰勒公式的應(yīng)用，第20題概率統(tǒng)計(jì)解答題可運(yùn)用貝葉斯公式。新高考注重在學(xué)科知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)和跨學(xué)科知識的綜合點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，注重創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，緊密聯(lián)系社會生產(chǎn)實(shí)踐、生活實(shí)際與科學(xué)研究的應(yīng)用型試題增加，將學(xué)科的基本思想與方法、原理融合于試題之中，注重考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題。在新課程新教材“雙新”背景下，新高考備考更需要研究新教材內(nèi)容如章節(jié)編排、欄目設(shè)置、課后習(xí)題、概念闡述等，研究新舊教材差異，從新舊教材變化中設(shè)置情景命題，提高高考備考效果。