基于集對分析的SFT特征函數(shù)重構(gòu)及性質(zhì)研究

崔鐵軍，李莎莎

（1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 安全科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 葫蘆島 125105; 2.遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院, 遼寧葫蘆島 125105）

任何系統(tǒng)存在的意義在于完成規(guī)定時間內(nèi)、規(guī)定條件下的預(yù)定功能。完成該功能的能力稱為可靠性，反之為失效。系統(tǒng)具有可靠性的狀態(tài)稱為可靠狀態(tài)，反之稱為失效狀態(tài)?？煽颗c失效是對于系統(tǒng)功能而言的，可靠和失效狀態(tài)組成了系統(tǒng)功能狀態(tài)；兩者組成了功能狀態(tài)的全集，之間沒有交集，但可相互轉(zhuǎn)化。因此系統(tǒng)可靠性的變化可理解為系統(tǒng)功能狀態(tài)在不同因素影響下可靠狀態(tài)與失效狀態(tài)的轉(zhuǎn)化過程。系統(tǒng)功能狀態(tài)至少包括可靠和失效兩種狀態(tài)。進(jìn)一步的，在實(shí)際的系統(tǒng)功能狀態(tài)研究中，更多的是難以判斷的功能狀態(tài)，無法確定功能狀態(tài)歸屬，即未知或不確定狀態(tài)。這種情況下系統(tǒng)功能狀態(tài)至少包括可靠、不確定和失效3種狀態(tài)。雖然將系統(tǒng)功能狀態(tài)表示為多狀態(tài)的疊加方式更具靈活性且反映了真實(shí)情況，但如何表示這種系統(tǒng)功能狀態(tài)成為首要問題。

關(guān)于系統(tǒng)功能狀態(tài)、可靠和失效的表示和研究已有一些。這些研究包括：車輛系統(tǒng)機(jī)電設(shè)備故障監(jiān)測及診斷[1]、電池儲能系統(tǒng)BMS的功能安全分析[2]、惡劣環(huán)境風(fēng)光互補(bǔ)電路故障診斷[3]、城市軌道交通應(yīng)急指揮系統(tǒng)功能研究[4]、飛行器電源系統(tǒng)故障可觀測性研究[5]、列控系統(tǒng)等級轉(zhuǎn)換場景功能安全分析[6]、控制功能失效的微電網(wǎng)系統(tǒng)可靠性評估[7]、智能變電站保護(hù)與控制障礙診斷與預(yù)測[8]、核電廠安全級儀控系統(tǒng)設(shè)計(jì)[9]、設(shè)臺車液壓系統(tǒng)動態(tài)特性及故障診斷[10]等。這些研究一般針對具體行業(yè)，由于這些行業(yè)各具特點(diǎn)，因此方法缺乏通用性，難以形成連貫的理論方法體系。

綜上所述，系統(tǒng)功能狀態(tài)至少存在2種或3種狀態(tài)的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，這些狀態(tài)既對立又統(tǒng)一，同時動態(tài)轉(zhuǎn)化。這些特征與集對分析思想是相同的。因此基于集對分析的聯(lián)系數(shù)對SFT[11-12]的特征函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，形成SFT可用的聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)，從而得到元件故障概率分布和系統(tǒng)故障概率分布。最終討論了這些分布性質(zhì)及特征函數(shù)運(yùn)算方式和法則，為基于集對分析重構(gòu)SFT奠定基礎(chǔ)。

1 集對思想與系統(tǒng)功能的同構(gòu)關(guān)系

集對分析是處理系統(tǒng)確定性與不確定性相互作用的數(shù)學(xué)理論，是我國學(xué)者趙克勤[13-14]于 1989年提出的。若用集合表示成對事物中的雙方，則該事物就是由兩個集合組成的對子，即具有一定聯(lián)系的兩個集合組成的系統(tǒng)稱為集對[13-14]。

集對分析建立在兩個原理之上，即成對原理和系統(tǒng)不確定性原理。成對原理認(rèn)為事物成對存在[13-14]，是事物普遍聯(lián)系和對立統(tǒng)一的另一種說法。系統(tǒng)不確定性原理認(rèn)為同一事物的宏觀層面與微觀層面聯(lián)系在一起進(jìn)行系統(tǒng)性的研究時將出現(xiàn)不確定性。不確定性首先源于層次劃分的相對性和層次邊界的模糊性，其次源于系統(tǒng)層次的變化和轉(zhuǎn)化[13-14]。進(jìn)一步的，確定性和不確定性很可能存在于同一層面中。這樣即使研究一個系統(tǒng)的一個層次也會面對確定性和不確定性。在該層之上的層次中，該層次的確定性增加，不確定性降低；下層次中，該層次的不確定性增加，確定性降低。

集對分析中使用聯(lián)系數(shù)表示集對的特征函數(shù)，是一種結(jié)構(gòu)函數(shù)[13-14]。二元聯(lián)系數(shù)表示為μ=a+bi，其中a+b=1，i∈[?1,1]。a和b稱為二元聯(lián)系數(shù)的聯(lián)系分量，前者為確定聯(lián)系分量，后者為不確定聯(lián)系分量，i為b的不確定系數(shù)。三元聯(lián)系數(shù)表示為μ=a+bi+cj，其中a+b+c=1，i∈[?1,1]，j=?1。a、b和c稱為三元聯(lián)系數(shù)的聯(lián)系分量，分別為同分量、異分量和反分量，i為b的異分量系數(shù)，j為c的反分量系數(shù)。進(jìn)一步可得到無窮元聯(lián)系數(shù)，可參考文獻(xiàn)[13-14]的論述。

SFT用于研究系統(tǒng)可靠性與故障之間關(guān)系，包括空間故障樹理論基礎(chǔ)[11-12]、智能化空間故障樹[15-17]、空間故障網(wǎng)絡(luò)[18-22]、系統(tǒng)運(yùn)動空間與系統(tǒng)映射論[23]。SFT的核心是確定系統(tǒng)中元件故障概率或稱為事件發(fā)生概率，這里的事件指元件故障，兩種說法等效，論文使用元件故障概率（分布）和系統(tǒng)故障概率（分布）表示。確定元件故障概率分布的方法很多，在SFT中主要通過特征函數(shù)解決。SFT中的特征函數(shù)表示單一因素變化后影響元件故障發(fā)生概率的變化規(guī)律，再將所有特征函數(shù)疊加確定多因素影響下該元件故障概率分布。因此元件故障概率分布表示了該元件的安全與不安全狀態(tài)、可靠與不可靠狀態(tài)、非故障與故障狀態(tài)等的變化特征。考慮元件組成系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，可得到系統(tǒng)故障概率分布，同樣可表示系統(tǒng)的安全與不安全狀態(tài)變化特征。

進(jìn)一步的，系統(tǒng)功能即為系統(tǒng)預(yù)定的能力，為保持系統(tǒng)在預(yù)定時間內(nèi)完成預(yù)定功能的能力即為可靠性。因此任何系統(tǒng)完成預(yù)定功能稱為可靠，不能完成或者完成能力下降稱為失效。同時考慮到存在即為系統(tǒng)的哲學(xué)觀點(diǎn)，而系統(tǒng)存在的意義就是為了完成功能，那么系統(tǒng)存在的關(guān)鍵就是維持可接受的可靠性。這種保持可接受可靠性的狀態(tài)稱為系統(tǒng)功能狀態(tài)的可靠狀態(tài)，對應(yīng)的狀態(tài)為失效狀態(tài)。因此系統(tǒng)功能狀態(tài)是在不同因素影響下可靠狀態(tài)與失效狀態(tài)的相互轉(zhuǎn)化。其具有如下特點(diǎn)：可靠狀態(tài)和失效狀態(tài)組成了功能狀態(tài)的全域；可靠狀態(tài)與失效狀態(tài)沒有交集；可靠狀態(tài)和失效狀態(tài)是相互動態(tài)轉(zhuǎn)化的。

將系統(tǒng)功能表示為二元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi，a表示可靠與失效的確定性分量，b表示功能狀態(tài)的不確定性分量?；蛘邔表示成可靠狀態(tài)分量，b表示失效狀態(tài)分量。這兩種表示都可使用聯(lián)系數(shù)對系統(tǒng)功能狀態(tài)進(jìn)行表示。但使用三元聯(lián)系數(shù)更為恰當(dāng)，即μ=a+bi+cj。文獻(xiàn)[18-22]研究表明，系統(tǒng)功能狀態(tài)的確定實(shí)際是困難的，即使在因素確定的情況下也較為困難。考慮如下情況，在測試軍用移動通信設(shè)備時，100套設(shè)備被分配給作戰(zhàn)人員同時部署。這些設(shè)備相當(dāng)于同時使用，使用環(huán)境相差不多，但不同人員對系統(tǒng)的功能性有不同評價(jià)。80人認(rèn)為系統(tǒng)可靠穩(wěn)定，5人認(rèn)為系統(tǒng)功能缺失無法使用，剩余15人則難以判斷。這就明顯的形成了一種三態(tài)系統(tǒng)功能狀態(tài)空間，即可靠狀態(tài)、不確定狀態(tài)和失效狀態(tài)。因此使用三元聯(lián)系數(shù)更為清晰，a、b和c分別為可靠狀態(tài)分量、不確定狀態(tài)分量和失效狀態(tài)分量。在該例子中，a=80/100=0.8、b=15/100=0.15、c=5/100=0.05，三元聯(lián)系數(shù)為μ=0.8+0.05i+0.15j，二元聯(lián)系數(shù)為μ=0.95+0.05i。當(dāng)然也可以將可靠與失效狀態(tài)劃分更多層次使用多元聯(lián)系數(shù)描述。

綜上可知，集對分析與系統(tǒng)功能分析是同構(gòu)關(guān)系。它們都是兩個集合之間的關(guān)系，具有全域、不相交和動態(tài)轉(zhuǎn)化特征。因此使用聯(lián)系數(shù)描述系統(tǒng)功能狀態(tài)是可行的。具體的可用聯(lián)系數(shù)重構(gòu)SFT的特征函數(shù)，進(jìn)而疊加形成元件故障概率分布，最終得到系統(tǒng)故障概率分布。在得到分布后就可通過數(shù)學(xué)方法研究系統(tǒng)故障的變化規(guī)律，即系統(tǒng)功能狀態(tài)特征和規(guī)律。以三元聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)為例，其優(yōu)點(diǎn)在于，特征函數(shù)形成期間就將可靠狀態(tài)、不確定狀態(tài)和失效狀態(tài)分開。借助三元聯(lián)系數(shù)運(yùn)算方法，在合成及分析元件和系統(tǒng)故障概率分布時三者特征是分開運(yùn)算的，所得結(jié)果也可以清晰地分辨出不同狀態(tài)對應(yīng)結(jié)果的影響程度；以往方法則容易混淆在一起。

2 聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)重構(gòu)

首先給出SFT中元件故障的特征函數(shù)Pi(xn)、元件故障概率分布Pi(x1,x2,···,xN)、系統(tǒng)故障概率分布PT(x1,x2,···,xn)。

式中：xn表示第n個因素；N為因素總數(shù)；i表示第i個元件。

式(1)是重構(gòu)研究的基礎(chǔ)，實(shí)際上確定某元件對于某因素的特征函數(shù)的方法很多，包括簡單的擬合方法[11-12]、因素投影擬合法[24]、模糊結(jié)構(gòu)元方法[25]、云模型方法[13]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[26]等。這些方法各具特點(diǎn)，根據(jù)不同數(shù)據(jù)使用不同方法，但它們都使用了復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型并需要大量數(shù)據(jù)。這對于實(shí)際，特別是現(xiàn)場數(shù)據(jù)的收集提出了很高要求。

由第1節(jié)論述可知，集對分析方法的基本思想與系統(tǒng)功能狀態(tài)是同構(gòu)的，可使用聯(lián)系數(shù)表示系統(tǒng)功能狀態(tài)，即使用聯(lián)系數(shù)表示可靠狀態(tài)、不確定狀態(tài)和失效狀態(tài)。而第1節(jié)實(shí)例也表明這3種狀態(tài)分量的具體數(shù)據(jù)是較容易獲得的。因此可使用聯(lián)系數(shù)重構(gòu)SFT的特征函數(shù)，形成聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)。這種特征函數(shù)具備了集對分析的同異反狀態(tài)，分別對應(yīng)了可靠、不確定和失效狀態(tài)，具體定量化也相對簡單。使用聯(lián)系數(shù)重構(gòu)特征函數(shù)為

式中：Rn表示可靠的元件數(shù)；Fn表示失效的元件數(shù)；Un表示不確定狀態(tài)的元件數(shù)；Nn表示元件總數(shù)，Nn=Rn+Fn+Un；ln表 示 不 確 定分 量系 數(shù) ，ln∈[?1,1]；jn表示失效分量系數(shù)，jn=?1。

考慮多因素同時作用于單一元件，將式(4)代入式(2)，得到元件故障概率分布的聯(lián)系數(shù)表示為

進(jìn)一步的，將式(5)代入式(3)得到系統(tǒng)故障概率分布的聯(lián)系數(shù)表示為

式(4)~(6)是重構(gòu)的基于集對分析方法的SFT特征函數(shù)（聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)）、元件故障概率分布和系統(tǒng)故障概率分布，是構(gòu)建基于集對分析的SFT方法的基礎(chǔ)。

3 聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)的性質(zhì)與基本運(yùn)算

如式(5)所示，可知元件故障概率分布使用聯(lián)系數(shù)表示后，其分布與可靠分量系數(shù)無關(guān)，同時失效分量系數(shù)變?yōu)?倍，又因?yàn)閘n∈[-1,1]，因此有

在SFT的基本運(yùn)算中，涉及特征函數(shù)的加法、乘法、積分和微分等形式。

聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)的加法為

轉(zhuǎn)化為確定不確定的表達(dá)方式為

聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)的乘法為

轉(zhuǎn)化為確定不確定的表達(dá)方式為

上述的計(jì)算方法來源于三元聯(lián)系數(shù)的計(jì)算法則，讀者可參考文獻(xiàn)[13-14]確定進(jìn)一步的運(yùn)算規(guī)則和法則。對于聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)的積分和微分可按照一般代數(shù)形式處理，異分量系數(shù)i和反分量系數(shù)j在運(yùn)算過程中不變。甚至可以對i和j求偏導(dǎo)研究系統(tǒng)功能狀態(tài)隨著不確定性變化的變化規(guī)律。

將上述理論應(yīng)用于實(shí)際問題的過程，較原有方法更為簡單。應(yīng)用的關(guān)鍵是確定式(4)中的各參數(shù)，而不需要使用解析方法確定函數(shù)。式中l(wèi)n和jn是固定的 或 具 有范圍值；Rn、Fn和Un分 別 表示可靠、失效和不確定狀態(tài)的元件數(shù)，可通過對元件故障過程的統(tǒng)計(jì)獲得，例如第1節(jié)給出的例子；Nn為Rn、Fn和Un之和。所以只要掌握故障元件分類后各狀態(tài)的數(shù)量即可實(shí)施上述分析過程。

本文論述了使用集對分析的聯(lián)系數(shù)重構(gòu)SFT特征函數(shù)的方法。從確定和不確定角度，可表示為二元聯(lián)系數(shù)，前項(xiàng)為可靠和失效分量系數(shù)和，后項(xiàng)為不確定狀態(tài)分量系數(shù)。從系統(tǒng)功能狀態(tài)角度，可表示為三元聯(lián)系數(shù)，前項(xiàng)為可靠分量系數(shù)、中項(xiàng)為不確定分量系數(shù)，后項(xiàng)為失效分量系數(shù)。對于系統(tǒng)功能狀態(tài)的研究，二元聯(lián)系數(shù)具有理論研究意義，研究確定與不確定性關(guān)系；三元聯(lián)系數(shù)具有實(shí)際研究意義，研究3種功能狀態(tài)關(guān)系。

特征函數(shù)是SFT理論的基礎(chǔ)。以往特征函數(shù)一般通過解析獲得，從而建立解析表示方式的SFT。但對于更為廣泛的實(shí)際故障過程和數(shù)據(jù)使用解析方法是困難的，而集對分析提供了對故障數(shù)據(jù)的分類方法，進(jìn)而確定具有統(tǒng)計(jì)意義的特征函數(shù)。這種特征函數(shù)雖然不及解析方法準(zhǔn)確，但蘊(yùn)含了故障數(shù)據(jù)的不確定性。因此通過集對分析構(gòu)造的特征函數(shù)更具有統(tǒng)計(jì)意義，基于此重構(gòu)SFT可使原有各種方法具有該能力，進(jìn)一步解決系統(tǒng)功能狀態(tài)的矛盾關(guān)系。這些方法的重構(gòu)也是進(jìn)一步需要展開的研究內(nèi)容。

4 結(jié)束語

利用集對分析的聯(lián)系數(shù)重構(gòu)了SFT特征函數(shù)，為使用集對分析思想研究系統(tǒng)功能狀態(tài)及建立適應(yīng)的SFT理論奠定基礎(chǔ)。

1）研究了集對分析思想與系統(tǒng)功能狀態(tài)的關(guān)系，認(rèn)為兩者是同構(gòu)的，集對分析可用于系統(tǒng)功能狀態(tài)的研究。二元聯(lián)系數(shù)表示系統(tǒng)的確定和不確定功能狀態(tài)關(guān)系；三元聯(lián)系數(shù)表示系統(tǒng)可靠、不確定和失效的功能狀態(tài)關(guān)系。

2）建立了基于聯(lián)系數(shù)的特征函數(shù)。使用三元聯(lián)系數(shù)重構(gòu)了SFT特征函數(shù)，并得到了元件故障概率分布的聯(lián)系數(shù)表示及系統(tǒng)故障概率分布的聯(lián)系數(shù)表示。

3）研究了特征函數(shù)的性質(zhì)與基本運(yùn)算，包括聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)、元件故障概率分布和系統(tǒng)故障概率分布的一些性質(zhì)。聯(lián)系數(shù)特征函數(shù)的各種運(yùn)算可參照集對分析中三元聯(lián)系數(shù)的運(yùn)算方法和法則。