Lingo軟件在整數(shù)規(guī)劃教學過程中的應用

賓茂君，施翠云

摘要：運籌學是一門研究生產(chǎn)經(jīng)營過程中目標達到最優(yōu)的課程，該文通過借助Lingo優(yōu)化軟件，把運籌學中整數(shù)規(guī)劃問題進行研究，揭示整數(shù)規(guī)劃問題的本質，從而讓學生更容易理解運籌學的本質和內涵，使得學生對運籌學這門課程產(chǎn)生濃厚的興趣。

關鍵詞：Lingo軟件；最優(yōu)化；運籌學

中圖分類號：G642? ? ? ? 文獻標識碼：A

文章編號：1009-3044（2022）35-0106-03

1 引言

運籌學[1-4]是研究目標過程最優(yōu)的數(shù)學基礎學科，它的背景問題來源于我們的實際生活，包括生產(chǎn)經(jīng)營、經(jīng)濟管理、金融決策等內容。它是經(jīng)濟學、管理學和自然科學學科的學生一門專業(yè)必須課程，因此研究如何用通俗易懂的語言來教授運籌學就顯得十分必要。另外，Lingo優(yōu)化軟件[5]是由美國LINDO系統(tǒng)公司（Lindo System Inc.）推出的，可以用于求解非線性規(guī)劃，也可以用于一些線性和非線性方程組的求解等[6-7]，功能十分強大，是求解優(yōu)化模型[8]的最佳選擇。相對于其他優(yōu)化軟件來說，Lingo優(yōu)化軟件的編譯語言比較簡單通俗易懂，學生更容易掌握。因此，運用Lingo優(yōu)化軟件來講授運籌學知識，就具有重要的研究意義。

由于運籌學的知識點比較多，涉及的面比較廣，本文通過最具代表性的整數(shù)規(guī)劃問題來介紹Lingo軟件在運籌學教學過程中的應用。

2 整數(shù)規(guī)劃問題的Lingo軟件教學

整數(shù)規(guī)劃是指規(guī)劃中的變化量（部分或全部）是整數(shù)。在規(guī)劃問題中，有的決策變量是小數(shù)或者是分數(shù)的形式，但是涉及機器的臺數(shù)，工作的人數(shù)或者裝卸物資的車輛數(shù)，都涉及整數(shù)的概念。人們?yōu)榱藵M足這些整數(shù)的要求，通常通過將所得到的數(shù)值進行四舍五入方法取得整數(shù)，但是這樣的方法未必是可行解或最優(yōu)解。現(xiàn)在研究者們通常通過分支定界法或割平面法來求最優(yōu)解，這兩種方法主要針對決策變量是少數(shù)幾個的情形，對于決策變量是多個的情形就很難求解最優(yōu)解。

例1 某鐵器加工廠要制作100套鋼架，每套要用長為2.9米，2.1米和1.5米的圓鋼各一根。已知原料長為7.4米，問應如何下料，可使材料最??？

分析：在長度確定的原料上截取三種不同規(guī)格的圓鋼，可以歸納出8種不同的下料方案：

[圓鋼（米） Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ Ⅶ 2．9 1 2 0 1 0 1 0 0 2．1 0 0 2 2 1 1 3 0 1．5 3 1 2 0 3 1 0 4 料頭（米） 0 0.1 0.2 0.3 0.8 0.9 1.１ 1.4 ]

該問題歸納為如何混合使用這8種不同的下料方案，來制造100套鋼架，且要使剩余的料頭總長為最短。不妨設[xi]表示用第[i]種下料方案下料的原料根數(shù)，[i=1，2，…，8]，有目標函數(shù)：使圓鋼料頭總長度達到最小值

[min z=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5+0.9x6+1.1x7+1.4x8]

約束條件：三種規(guī)格圓鋼根數(shù)都是100根，則

[x1+2x2+x4+x6=1002x3+2x4+x5+x6+3x7=1003x1+x2+2x3+3x5+x6+4x8=100]

由于圓鋼是整數(shù)，不能取小數(shù)，因此有非負取整條件約束[xi≥0（i=1，2，…，8）]且取整數(shù)。

對于這個問題，如果運用分支定界法或割平面法來求解，就顯得比較困難。而運用Lingo軟件來求解就比較方便快捷。該問題的Lingo程序如下：

min Z=0.1*x2+0.2*x3+0.3*x4+0.8*x5+0.9*x6+1.1*x7+1.4*x8

s.t.

x1+2*x2+ x4+ x6 =100;

2*x3+2*x4+x5+ x6+3*x7=100;

3*x1+x2+2*x3+3*x5+x6+4*x8=100;

@gin（x1）; @gin（x2）; @gin（x3）; @gin（x4）; @gin（x5）; @gin（x6）; @gin（x7）; @gin（x8）;

通過對程序進行求解可以得到當?shù)冖?、Ⅱ、Ⅳ種方案分別取30、10、50根時，所剩余的圓鋼是16米。同時，計算結果也給出了每個變化量之間變化范圍，這極大方便了生產(chǎn)者在生產(chǎn)經(jīng)營過程中根據(jù)市場經(jīng)濟情況對生產(chǎn)進行及時調整。

另外，在整數(shù)規(guī)劃中還有一類比較常見的模型——0-1整數(shù)規(guī)劃問題，它在我們的生活當中經(jīng)常見到。例如下面的例子：

例2 某游泳隊擬選用甲、乙、 丙、丁 四名游泳運動員組成一個 4×100 m 混合泳接力隊， 參加今年的錦標賽。他們的 100 m 自由泳、蛙泳、蝶泳、仰泳的成績如表所示：

甲、 乙、丙、丁 四名隊員各自游什么姿勢 ， 才最有可能取得好成績？

由于游泳運動員每人只能參加四種泳姿的其中一種，這表明該問題是典型的0-1整數(shù)規(guī)劃問題。為此，不妨設這四名運動員參加4種泳姿的變量為[xij（i，j=1，...，4）]，由目標是要求總花費時間最短，則目標函數(shù)為：

[min? f=56x11+74x12+61x13+63x14+63x21+69x22+65x23+71x24 +57x31+77x32+63x33+67x34+55x41+76x42+62x43+62x44]

又由于每個運動員只參加1種泳姿并且每種泳姿只由其中1名運動員參加，因此，可知[xij（i，j=1，...，4）]只能取0或1。于是，問題的約束條件為

[x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1;x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1;x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1;x13+x23+x33+x43=1; x14+x24+x34+x44=1;xij=0或1，? i，j=1，2，3，4.]

對于這問題，如果用枚舉法是比較困難的，又由于涉及多個變量，用分支定界法或割平面法來求解也是不可行的，但是Lingo優(yōu)化軟件就比較便捷，它的Lingo程序如下：

sets：

ren/A，B，C，D /：rent;

job/1..4/：jobt;

link（ren，job）：time，x;

endsets

data：

time=

56，74，61，63

63，69，65，71

57，77，63，67

55，76，62，62;

enddata

min=@sum（link：time*x）;

@for（ren（i）：@sum（job（j）：x（i，j））=1）;

@for（job（j）：@sum（ren（i）：x（i，j））=1）;

@for（link：@bin（x））;

end

通過運行程序可得：

甲游蝶泳，乙游蛙泳，丙游自由泳，丁游仰泳的方式下，比賽的時間達到最短249秒。

體育競技比賽是為了獲取更好的成績，如果不是利用Lingo優(yōu)化軟件計算，而是人工用筆計算或讓比賽選手去實踐計算結果，這將會耗費大量的人力物力和財力。

從例1和例2可以看出，生產(chǎn)問題和體育競技比賽都離不開整數(shù)規(guī)劃。在整數(shù)規(guī)劃教學過程中引入Lingo優(yōu)化軟件進行教學，可以將較為復雜的整數(shù)規(guī)劃問題快速解決計算，并將有助于拓寬學生的學習視野，提高學生們的求知欲望，提高學生們的實踐動手能力，讓學生懂得將所學習的知識應用到生活實際當中去。

3 結語

在智能信息時代的今天，運籌學是實用性較強的新興學科，社會對運籌優(yōu)化問題要求也越來越高，這迫使相關專業(yè)的學生學習好運籌學也帶來了一定的挑戰(zhàn)。而運籌學的優(yōu)化理論、優(yōu)化方法越來越精細，但書本的知識有點陳舊、枯燥乏味，如果只用傳統(tǒng)的黑白與課本教學，將無法滿足智能信息時代對學生越來越高的要求。為此，利用Lingo優(yōu)化軟件來幫助運籌學的教學，并加入生活生產(chǎn)元素也許會給學生學習運籌學帶來一條寬廣的道路。通過運用Lingo優(yōu)化軟件的引入，可以將復雜問題簡單化，拓寬學生的知識面，拓展學生的動手能力，提高課堂學生的學習效率，激發(fā)新一代大學生的學習潛能，也為未來的學習工作提供能力擔當感和責任感。

參考文獻：

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[4] Wayne L.Winston.運籌學應用范例與解法[M]. 楊振凱，等譯.北京：清華大學出版社，2006.

[5] 謝金星，薛毅.優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件[M].北京：清華大學出版社，2005.

[6] 李林曙.線性代數(shù)與線性規(guī)劃[M].北京：中國人民大學出版社，2010.

[7] 許紹吉.線性規(guī)劃[Ｍ]. 北京：科學技術出版社，1997.

[8] 黃平， 孟永鋼.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：清華大學出版社，2009.

【通聯(lián)編輯：王力】