信貸資產(chǎn)證券化的模糊隨機(jī)定價(jià)模型*

張錦倫，張 勇

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

近年來(lái)，信貸資產(chǎn)證券化(Asset-Backed Securities，ABS)因具有盤活存量、擴(kuò)寬債券市場(chǎng)廣度、促進(jìn)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)調(diào)整等積極功效，在政策上得到了我國(guó)金融管理體系的大力支持.在信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)研究方面，學(xué)者主要通過(guò)對(duì)信貸資產(chǎn)支持證券資產(chǎn)池未來(lái)現(xiàn)金流的大小和分布的預(yù)測(cè)，來(lái)確定信貸資產(chǎn)支持證券的理論價(jià)格[1-4].主流的定價(jià)理論模型主要通過(guò)構(gòu)造隨機(jī)微分方程的形式描述資產(chǎn)價(jià)格的不確定變化[5].但實(shí)際上，由于市場(chǎng)波動(dòng)和信息不對(duì)稱、不充分等，金融市場(chǎng)的不確定性包含了模糊性與隨機(jī)性兩方面，且二者不能相互替代，因此單憑隨機(jī)性難以全面刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格的變化過(guò)程[5-10].筆者考慮將模糊隨機(jī)理論與傳統(tǒng)的資產(chǎn)定價(jià)理論相結(jié)合，構(gòu)造金融市場(chǎng)不確定性環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型，以期為投資者的交易決策提供理論借鑒.

1 信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)值分析

ABS產(chǎn)品的價(jià)值取決于資產(chǎn)池未來(lái)現(xiàn)金流的大小，而資產(chǎn)池未來(lái)現(xiàn)金流因受貸方的還款行為影響而具有不確定性.還款人選擇在利率較低時(shí)提前還款，并以當(dāng)前市場(chǎng)利率再次融資的行為，會(huì)造成資產(chǎn)池回籠資金提前，信貸資產(chǎn)支持證券未來(lái)現(xiàn)金流減少.貸款人提前還款行為會(huì)導(dǎo)致信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的不確定性，而是否提前償還又取決于利率的變化，因此本研究將考慮基礎(chǔ)資產(chǎn)的早償特征，并構(gòu)造不確定環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型.

1.1 傳統(tǒng)隨機(jī)環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)

是否提前還款關(guān)鍵在于當(dāng)前利率與借貸利率的差異，當(dāng)前利率小于借貸利率時(shí)，借款方有權(quán)提前還款，利率大于借貸利率時(shí)則不提前還款，這契合期權(quán)的內(nèi)涵.因此，筆者將信貸資產(chǎn)支持證券的價(jià)格P1分2個(gè)部分進(jìn)行討論，一是純債價(jià)格P0，二是提前還款行為隱含的提前還款期權(quán)價(jià)格.

(1)純債價(jià)格.純債價(jià)格是在不考慮提前還款的情況下普通債券的價(jià)格.價(jià)格的大小取決于折現(xiàn)因子的大小，即

其中：C為固定債券的利息；B為最后償還的本金；d為貼現(xiàn)率；t為期初至利息支付日的時(shí)間；n為剩余到期日的年限.

(2)提前還款期權(quán)價(jià)格.Cox等[11]認(rèn)為債券價(jià)格是利率的遞減函數(shù)，當(dāng)市場(chǎng)利率上漲時(shí)，信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格會(huì)下跌，貸款人不會(huì)選擇提前還款；反之，貸款人提前還款.也就是說(shuō)，投資者賣出了一份美式看漲期權(quán)給貸款人，貸款人選擇提前還款，表示該看漲期權(quán)被執(zhí)行.但因?yàn)槊朗娇礉q期權(quán)價(jià)格近似等于歐式看漲期權(quán)[12-13]，且Black-Scholes期權(quán)定價(jià)相較于蒙特卡洛模擬、二叉樹(shù)等方法的計(jì)算更簡(jiǎn)便，所以筆者考慮運(yùn)用Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式對(duì)信貸資產(chǎn)支持證券所包含的提前還款期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，定價(jià)公式為

f=SBN(d1)-Xe-rTN(d2).

(3)信貸資產(chǎn)支持證券的價(jià)格.信貸資產(chǎn)支持證券的價(jià)格等于純債價(jià)格與提前還款期權(quán)價(jià)格的差，即

(1)

(1)式給出了傳統(tǒng)隨機(jī)環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)，但由于傳統(tǒng)的隨機(jī)定價(jià)模型不能充分反映資產(chǎn)價(jià)格的不確定性，因此筆者嘗試引入模糊理論[14]，基于信貸資產(chǎn)支持證券的提前還款特征，構(gòu)造模糊隨機(jī)環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型.

1.2 模糊隨機(jī)環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)

(2)

圖1 隸屬函數(shù)

(3)

這里：

2 算法分析

假設(shè)對(duì)投資者來(lái)說(shuō)，信貸資產(chǎn)支持證券有一參考價(jià)格P1，希望得到對(duì)應(yīng)參考價(jià)格的隸屬度γ，投資者再根據(jù)自身對(duì)隸屬度的要求，確定是否接受信貸資產(chǎn)支持證券的價(jià)格.

在隸屬度函數(shù)已知的情況下，求價(jià)格P1對(duì)應(yīng)的隸屬度，實(shí)際上就是求包含P1的最小模糊價(jià)格區(qū)間.由模糊數(shù)的性質(zhì)可知，γ越大，價(jià)格P1的模糊區(qū)間越小，所以求解信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格對(duì)應(yīng)的隸屬度問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求解最大γ問(wèn)題.最優(yōu)化求解如下：

(4)

maxγ

s.t.P1≤g(γ)，P1≥d(γ) 0≤γ≤1.

接下來(lái)分3種情況討論信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格對(duì)應(yīng)的隸屬度：

(1)當(dāng)d(1)≤P1≤g(1)時(shí)，資產(chǎn)支持證券價(jià)格P1對(duì)應(yīng)的隸屬度等于1.

(2)當(dāng)P1

maxγ

s.t.P1≥d(γ) 0≤γ≤1.

(3)當(dāng)P1>g(1)時(shí)，有P1≥g(1)≥d(1)≥d(γ)，即約束條件P1≥d(γ)必然成立.此時(shí)信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的隸屬度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如下最優(yōu)化問(wèn)題：

maxγ

s.t.P1≤g(γ) 0≤γ≤1.

以上最優(yōu)化問(wèn)題可采用對(duì)分算法[7]進(jìn)行求解.

3 數(shù)值算例與比較靜態(tài)分析

3.1 數(shù)值算例

接下來(lái)結(jié)合數(shù)值算例驗(yàn)證信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型(3)的實(shí)用性.

信貸資產(chǎn)支持證券的價(jià)格包含普通債券的價(jià)格與提前還款期權(quán)價(jià)格.假設(shè)普通債券的面值為100元，票面利率為2.7%，到期期限為5年，每年付一次利息.提前還款期權(quán)的到期期限為2年，當(dāng)前債券價(jià)格為102元，執(zhí)行價(jià)格為103元，貼現(xiàn)率與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率分別為0.03，0.02，波動(dòng)率為0.3，模糊因子為0.05，0.1，那么純債價(jià)格

取不同置信水平γ與模糊因子c，利用MATLAB軟件計(jì)算得到信貸資產(chǎn)支持證券所包含的提前還款期權(quán)價(jià)格(表1).

表1 提前還款期權(quán)不同隸屬度的價(jià)格區(qū)間

由表1可知，當(dāng)c=0時(shí)，模糊數(shù)等于清晰數(shù)，信貸資產(chǎn)支持證券所包含的期權(quán)價(jià)格為18.44.此時(shí)模糊隨機(jī)環(huán)境下的定價(jià)等于傳統(tǒng)隨機(jī)環(huán)境下的定價(jià)，這吻合傳統(tǒng)隨機(jī)環(huán)境下的定價(jià)是模糊隨機(jī)環(huán)境下的定價(jià)特例的結(jié)論.

將純債價(jià)格和提前還款期權(quán)價(jià)格(表1)代入模型(3)，可得信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格(表2).

表2 信貸資產(chǎn)支持證券不同隸屬度的價(jià)格區(qū)間

表3給出了模糊因子為0.1時(shí)不同信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的隸屬度.若此時(shí)信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格為80.73，投資者能夠接受隸屬度為0.911 76，則可以將80.73視為其投資決策的參考價(jià)格.

表3 不同信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格對(duì)應(yīng)的隸屬度

投資者進(jìn)行投資決策的具體步驟如下：

(ⅰ)投資者選擇一個(gè)自己能夠接受的隸屬度水平.

3.2 比較靜態(tài)分析

為了進(jìn)一步探究模糊參數(shù)c，γ的敏感性，筆者通過(guò)控制變量的方法展開(kāi)穩(wěn)健性分析.取隸屬度為0.9，分析模糊因子對(duì)信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的影響，結(jié)果如圖2所示.

圖2 模糊因子與信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的關(guān)系

取模糊因子為0.1，其他參數(shù)不變，分析隸屬度與信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的關(guān)系，結(jié)果如圖3所示.

圖3 隸屬度與信貸資產(chǎn)支持證券價(jià)格的關(guān)系

4 結(jié)語(yǔ)

本研究考慮了信貸資產(chǎn)支持證券的基礎(chǔ)資產(chǎn)(貸款)可能存在的提前還款風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了受提前還款行為影響的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型.為了使模型更能適應(yīng)不確定的市場(chǎng)環(huán)境，筆者引入模糊理論，構(gòu)建了模糊隨機(jī)環(huán)境下信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型，并通過(guò)算法分析、數(shù)值算例對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

(1)通過(guò)建立理論模型發(fā)現(xiàn)，模糊隨機(jī)環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)模型是傳統(tǒng)隨機(jī)定價(jià)模型的推廣，且相對(duì)于傳統(tǒng)定價(jià)模型，模糊隨機(jī)環(huán)境下的定價(jià)具有更一般的意義，適用性更廣.

(2)數(shù)值算例結(jié)果表明，對(duì)于投資者來(lái)說(shuō)，模糊隨機(jī)環(huán)境下的信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)相較于傳統(tǒng)定價(jià)更具有靈活性，投資者選取其能夠接受的置信水平，進(jìn)而得出投資者投資決策價(jià)格的區(qū)間，并通過(guò)比較市場(chǎng)價(jià)格與模糊價(jià)格的大小確定交易策略.

(3)通過(guò)靜態(tài)分析發(fā)現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)能力較大的投資者相較于風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)能力較小的投資者，投資決策的靈活性更大，承受市場(chǎng)不確定性的能力更強(qiáng).

筆者研究了基于提前還款問(wèn)題的信貸資產(chǎn)支持證券模糊隨機(jī)定價(jià)，發(fā)現(xiàn)模糊隨機(jī)定價(jià)模型是傳統(tǒng)定價(jià)模型的推廣，能更好地適用于信息不對(duì)稱、不確定的市場(chǎng)環(huán)境.本研究基于Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型下的模糊定價(jià)是一種近似定價(jià)，而模型參數(shù)的主觀性會(huì)對(duì)信貸資產(chǎn)支持證券定價(jià)的結(jié)果產(chǎn)生影響，因此更準(zhǔn)確的定價(jià)方法還有待后續(xù)探討.