非線性動(dòng)態(tài)突變系統(tǒng)的多模型自適應(yīng)執(zhí)行器故障補(bǔ)償設(shè)計(jì)

文利燕 陶 鋼 姜 斌 楊 杰

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步,性能關(guān)鍵的新型應(yīng)用系統(tǒng)相繼而出,如:航空器、航天器及智能電網(wǎng)系統(tǒng)等.由于新型應(yīng)用系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)特性及其復(fù)雜的工作環(huán)境,其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型具有多變量、強(qiáng)耦合、快時(shí)變、強(qiáng)非線性等特點(diǎn).特別地,當(dāng)系統(tǒng)元部件發(fā)生故障時(shí),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)大幅度的參數(shù)或結(jié)構(gòu)不確定,進(jìn)而引起系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性突變.若控制器無法有效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)突變,則會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降,甚至不穩(wěn)定,從而引發(fā)安全事故.例如:1986 年,大力神火箭因推進(jìn)器破裂而發(fā)生爆炸;1989 年,聯(lián)合航空232 號(hào)航班因機(jī)件失靈致“蘇城空難”等.因此,如何增強(qiáng)控制系統(tǒng)有效處理動(dòng)態(tài)突變的能力,以提高系統(tǒng)的安全性能尤為重要.

目前,為了提高實(shí)際系統(tǒng)的安全性和可靠性,在系統(tǒng)容錯(cuò)控制領(lǐng)域出現(xiàn)了諸多研究成果[1?5].典型的方法有:基于故障診斷與估計(jì)的方法[6?14]、基于自適應(yīng)控制的方法[15?19]、基于魯棒控制的方法[20]、基于滑模變結(jié)構(gòu)控制的方法[21]、基于模糊控制的方法[22]、基于最優(yōu)控制的方法[23?24]、基于概率的控制方法[25]等.這些方法往往可以應(yīng)用于執(zhí)行器故障補(bǔ)償、傳感器故障補(bǔ)償、結(jié)構(gòu)性損傷故障補(bǔ)償?shù)?且在一定程度上解決了因系統(tǒng)故障而產(chǎn)生的系統(tǒng)不確定性問題.文獻(xiàn)[26]基于近空間飛行器的T-S 模糊模型,分別采用自適應(yīng)控制和滑?？刂萍夹g(shù),研究執(zhí)行器故障補(bǔ)償控制方法.文獻(xiàn)[27]針對(duì)含執(zhí)行器故障的切換多胞模型的飛行器系統(tǒng),設(shè)計(jì)自適應(yīng)補(bǔ)償控制策略;文獻(xiàn)[28]針對(duì)高超聲速飛行器飛行中遇到的部分作動(dòng)器故障問題,提出基于非線性觀測(cè)器與控制器一體化設(shè)計(jì)的自適應(yīng)反演容錯(cuò)控制方法.文獻(xiàn)[29]針對(duì)含不匹配執(zhí)行器故障和擾動(dòng)的系統(tǒng),研究了一種基于滑模控制的容錯(cuò)控制方法.然而,當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)出現(xiàn)大幅度不確定變化而導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)突變時(shí),卻很難快速精確地實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的可靠控制.

作為一種處理系統(tǒng)不確定性的有效工具,自適應(yīng)控制得到廣泛研究[2?3,30?32],且用于解決各種實(shí)際工程問題.如:文獻(xiàn)[33]針對(duì)具有參數(shù)大范圍變化的高超聲速飛行器系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種新型強(qiáng)魯棒自適應(yīng)控制器.然而,對(duì)于常規(guī)的自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)而言,系統(tǒng)的跟蹤誤差通常會(huì)出現(xiàn)振蕩特性,這一特征往往導(dǎo)致常規(guī)的自適應(yīng)控制方法很難直接應(yīng)用于解決許多復(fù)雜的且對(duì)于系統(tǒng)性能要求很高的控制系統(tǒng)的控制問題.此外,就復(fù)雜的控制系統(tǒng)而言,系統(tǒng)中多種不同類型的故障可能導(dǎo)致系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)特征的改變,從而導(dǎo)致系統(tǒng)由一種模態(tài)跳變到另一種模態(tài).基于此,我們?nèi)孕枰芯扛佑行У娜蒎e(cuò)控制方法,以有效應(yīng)對(duì)因控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)的不確定性而導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)突變的問題,從而提高系統(tǒng)應(yīng)對(duì)突變的能力,同時(shí)實(shí)現(xiàn)更快更準(zhǔn)確的輸出跟蹤.

目前,為了處理系統(tǒng)多重大不確定故障問題,如:執(zhí)行器故障、結(jié)構(gòu)性損傷故障以及傳感器故障,已取得了一些初步的研究成果,包括多模型自適應(yīng)控制[34?36]、多設(shè)計(jì)融合控制[37]等.文獻(xiàn)[38]針對(duì)具有不確定控制方向和無限數(shù)目不確定執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種新的自適應(yīng)補(bǔ)償控制方法.文獻(xiàn)[39]針對(duì)含多重執(zhí)行器故障的不確定非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種基于切換的自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方法.文獻(xiàn)[40]針對(duì)一類嚴(yán)格反饋的非線性大系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種基于自適應(yīng)模糊的分散容錯(cuò)控制方法.文獻(xiàn)[41]針對(duì)一類具有不確定參數(shù)和執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng),提出一種基于切換策略的自適應(yīng)容錯(cuò)控制方案.文獻(xiàn)[42]針對(duì)一類下三角非線性系統(tǒng),設(shè)計(jì)一種基于自適應(yīng)模糊的執(zhí)行器失效補(bǔ)償控制器.與現(xiàn)有成果不同,本文針對(duì)一般的不確定非線性系統(tǒng),考慮系統(tǒng)因發(fā)生多重不確定執(zhí)行器故障(故障發(fā)生的時(shí)間、故障值、發(fā)生故障的執(zhí)行器數(shù)量及哪一個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障均不確定)而引起不確定的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)突變問題時(shí),如何設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)補(bǔ)償控制策略,以提高系統(tǒng)應(yīng)對(duì)動(dòng)態(tài)突變的能力,同時(shí)實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的不確定執(zhí)行器故障補(bǔ)償和期望的漸近輸出跟蹤.

本文將考慮采用常規(guī)自適應(yīng)控制與多模型切換控制相結(jié)合的策略,旨在設(shè)計(jì)一種穩(wěn)定、快速、準(zhǔn)確的控制算法,以提高系統(tǒng)應(yīng)對(duì)因不確定執(zhí)行器故障而引發(fā)的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)突變的能力.基本思路為:1) 針對(duì)一般的非線性系統(tǒng),考慮所有可能的系統(tǒng)執(zhí)行器故障模式,以構(gòu)造執(zhí)行器故障模式集;2) 針對(duì)所有可能的執(zhí)行器故障模式,分別設(shè)計(jì)與其匹配的自適應(yīng)控制器,以構(gòu)造自適應(yīng)控制器組;3) 設(shè)計(jì)一種新的控制切換機(jī)制,用于從所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器組中選擇與實(shí)際運(yùn)行系統(tǒng)執(zhí)行器故障模式最匹配的控制器,用于控制非線性系統(tǒng),以達(dá)到期望的控制系統(tǒng)性能.下面,將具體給出本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)和貢獻(xiàn):

1) 針對(duì)因多重不確定執(zhí)行器故障而引發(fā)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)突變的非線性系統(tǒng),采用基于多模型切換的控制策略,設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)執(zhí)行器故障補(bǔ)償控制方案,其不僅可以應(yīng)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)突變,而且可實(shí)現(xiàn)快速準(zhǔn)確的執(zhí)行器故障補(bǔ)償和輸出跟蹤.

2) 所考慮的多重不確定執(zhí)行器故障是指系統(tǒng)運(yùn)行中執(zhí)行器故障發(fā)生的時(shí)間、故障值、發(fā)生故障的執(zhí)行器數(shù)量及哪一個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障都是未知的.為此,將常規(guī)自適應(yīng)控制與“多模型”、“控制切換”相結(jié)合,設(shè)計(jì)了一種基于多模型切換的自適應(yīng)控制算法,其不僅可解決執(zhí)行器故障值的不確定性問題,而且可有效解決執(zhí)行器故障模式的不確定性問題,從而大幅度提高了非線性系統(tǒng)的快速精確故障補(bǔ)償和輸出跟蹤的能力.

3) 將基于多模型切換的自適應(yīng)控制算法用于解決非線性系統(tǒng)中發(fā)生有限數(shù)目多重不確定執(zhí)行器故障模式和無限數(shù)目多重不確定執(zhí)行器故障模式(持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障)的補(bǔ)償問題;進(jìn)而分析了兩種情況下非線性閉環(huán)自適應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸近輸出跟蹤性能.

本文的結(jié)構(gòu)安排為:第1 節(jié)給出非線性系統(tǒng)模型及相應(yīng)的控制問題.第2 節(jié)考慮系統(tǒng)參數(shù)已知的情況,設(shè)計(jì)與任意一種確定執(zhí)行器故障模式相對(duì)應(yīng)的標(biāo)稱控制器.第3 節(jié)考慮系統(tǒng)參數(shù)均未知的情況,設(shè)計(jì)基于多模型切換的自適應(yīng)執(zhí)行器故障補(bǔ)償控制方法,并分析有限數(shù)目執(zhí)行器故障下的系統(tǒng)性能.第4 節(jié)考慮系統(tǒng)存在持續(xù)間歇性執(zhí)行故障時(shí)的自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)及性能分析.第5 節(jié)采用雙水獺飛行器動(dòng)力學(xué)模型,進(jìn)行仿真驗(yàn)證.第6 節(jié)給出主要結(jié)論.

1 問題描述

本節(jié)給出含有不確定執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)模型,同時(shí)給出本文所要解決的控制問題.

1.1 系統(tǒng)模型和執(zhí)行器故障模型

考慮如下含不確定系統(tǒng)參數(shù)的非線性系統(tǒng)模型:

其中,x ∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量,y ∈R 為系統(tǒng)輸出,uj(t),j=1,2,···,m,為系統(tǒng)輸入,其在系統(tǒng)運(yùn)行過程中可能會(huì)發(fā)生未知的執(zhí)行器故障(執(zhí)行器故障模式、故障發(fā)生時(shí)間及故障值均是不確定的),從而導(dǎo)致所設(shè)計(jì)的控制信號(hào)無法作用于被控系統(tǒng)中;此外,fi(x)∈Rn,i=0,1,···,l,gj(x),j=1,2,···,m和h(x) 均為已知的光滑函數(shù),而θi,i=1,2,···,l和μj,j=1,2,···,m均為未知的系統(tǒng)常值參數(shù).

本文所考慮的執(zhí)行器故障是指執(zhí)行器卡死在某一未知的固定位置或者某一未知的時(shí)變位置,且一旦發(fā)生執(zhí)行器故障,所設(shè)計(jì)的控制信號(hào)將無法影響執(zhí)行器的偏轉(zhuǎn).基于此,我們考慮一個(gè)實(shí)用的執(zhí)行器故障表達(dá)式:

1.2 含執(zhí)行器故障的系統(tǒng)模型

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生執(zhí)行器故障時(shí),系統(tǒng)的控制輸入u(t)可表示為如下形式:

其中,v(t)=[v1(t),v2(t),···,vm(t)]T∈Rm是待設(shè)計(jì)的控制信號(hào),且

需要注意的是,σ表示執(zhí)行器的故障模式,用于表征所有執(zhí)行器的當(dāng)前工作狀況(故障狀態(tài)或正常狀態(tài)),即:σj=1 表征第j個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障,而σj=0表征第j個(gè)執(zhí)行器正常工作(無故障),其中,j ∈{1,2,···,m}.將控制輸入(4)代入系統(tǒng)模型(1)中,則對(duì)于一個(gè)固定的執(zhí)行器故障模式σ而言,含執(zhí)行器故障(2)的非線性系統(tǒng)模型可表示為

其中,

由式(7)可知,在單一執(zhí)行器故障模式下,系統(tǒng)所發(fā)生的不確定執(zhí)行器故障不僅會(huì)帶來不確定的系統(tǒng)擾動(dòng),同時(shí)也會(huì)引起系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)的改變(系統(tǒng)動(dòng)態(tài)函數(shù)突變),進(jìn)而誘發(fā)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)特征的突變,比如:系統(tǒng)相對(duì)階結(jié)構(gòu)突變.

1.3 系統(tǒng)故障模式的集合

為了保證非線性系統(tǒng)(1)發(fā)生執(zhí)行器故障后仍能正常運(yùn)行,則在任一特定時(shí)間段內(nèi),至少有一個(gè)執(zhí)行器正常工作或者最多有m ?1 個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障.由此,就含m個(gè)輸入的非線性系統(tǒng)(1)而言,理論上最多會(huì)存在N0=個(gè)可能的執(zhí)行器故障模式,然而在實(shí)際工程中往往只發(fā)生其中的幾種常見的執(zhí)行器故障模式.下面,將考慮幾種常見的執(zhí)行器故障模式,定義執(zhí)行器故障模式集合 Σ,即:

此外,針對(duì)每一種執(zhí)行器故障模式矩陣σ(k),我們定義一些執(zhí)行器故障指示數(shù)用于表征發(fā)生故障的執(zhí)行器,即

式中,σj=1 表示第j個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障.需注意的是整數(shù)j=稱為執(zhí)行器故障指示數(shù),用于表征執(zhí)行器故障模式σ(k)下發(fā)生故障的執(zhí)行器.

本文所考慮的多重不確定執(zhí)行器故障是指系統(tǒng)中執(zhí)行器故障發(fā)生的時(shí)間、故障值、執(zhí)行器發(fā)生故障的數(shù)量及哪一個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障都是未知的.由此,所帶來的另一個(gè)問題是:在系統(tǒng)運(yùn)行過程中,執(zhí)行器故障模式不是固定不變的,而是伴隨著新的不確定執(zhí)行器故障的發(fā)生,執(zhí)行器故障模式也發(fā)生不確定的變化.因此,非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)特性也將伴隨著不確定執(zhí)行器故障模式的改變而發(fā)生不確定的改變.

1.4 控制問題描述

本文所考慮的控制問題一個(gè)主要特征是:在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí),非線性系統(tǒng)所發(fā)生的執(zhí)行器故障模式、執(zhí)行器的故障時(shí)間、及故障值均是未知的.由于系統(tǒng)參數(shù)θ和μ是不確定的、所發(fā)生的執(zhí)行器故障模式σ ∈Σ 以及執(zhí)行器故障值(t) 也是不確定的,非線性系統(tǒng)模型(7)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可能會(huì)產(chǎn)生突變.為了有效處理不確定的多重執(zhí)行器故障及其所引發(fā)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性突變,本文將基于多模型的控制思想,設(shè)計(jì)一種基于多模型的自適應(yīng)控制方法,以實(shí)現(xiàn)理想的故障補(bǔ)償和輸出跟蹤性能.

1) 控制目標(biāo).針對(duì)含多重不確定執(zhí)行器故障的不確定非線性系統(tǒng)(7),設(shè)計(jì)一種基于多模型的自適應(yīng)控制器,以產(chǎn)生一個(gè)自適應(yīng)控制輸入v(t),從而保證閉環(huán)控制系統(tǒng)的所有信號(hào)均是有界的,且系統(tǒng)輸出y(t) 漸近跟蹤參考輸出信號(hào)ym(t) .

2) 參考模型.參考輸出信號(hào)由參考模型產(chǎn)生,即

其中,Pm(s)=sρ+α1sρ?1+···+αρ是一個(gè)穩(wěn)定的多項(xiàng)式,r(t) 是一個(gè)選定的已知有界信號(hào),符號(hào)ρ為非線性系統(tǒng)(1)的控制相對(duì)階.因?yàn)镻m(s) 為穩(wěn)定的多項(xiàng)式,且輸入信號(hào)r(t) 有界,故參考輸出信號(hào)ym(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)k=1,2,···,ρ,均有界.

此處,我們給出一個(gè)基本假設(shè)條件,其可以保證控制信號(hào)的存在性.

假設(shè) 1.當(dāng)任意m ?q(1≤q ≤m) 個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障時(shí),其余正常工作的執(zhí)行器都可以保證非線系統(tǒng)系統(tǒng)(1)實(shí)現(xiàn)期望的控制目標(biāo).

3) 多模型自適應(yīng)控制的基本框架.a) 構(gòu)造執(zhí)行器故障模式集:考慮實(shí)際系統(tǒng)中可能發(fā)生執(zhí)行器故障的情況,構(gòu)造式(13)中所定義的執(zhí)行器故障模式集合 Σ .b) 設(shè)計(jì)自適應(yīng)控制器組:針對(duì)每一種執(zhí)行器故障模式σ ∈Σ 下的非線性系統(tǒng)模型(7),分別設(shè)計(jì)一種與之匹配的自適應(yīng)控制器,實(shí)現(xiàn)執(zhí)行器故障補(bǔ)償和輸出跟蹤;進(jìn)而,考慮所有可能的執(zhí)行器故障模式,則可得到自適應(yīng)控制器組(共N個(gè)控制器).c) 設(shè)計(jì)控制切換機(jī)制:在系統(tǒng)運(yùn)行過程,控制器組中的所有控制器均同時(shí)運(yùn)行,然而只有其中的一個(gè)控制器作為當(dāng)前控制器被應(yīng)用于控制系統(tǒng)中;為了合理選擇實(shí)際應(yīng)用于控制系統(tǒng)中的控制器,將設(shè)計(jì)一個(gè)有效的控制切換機(jī)制,選擇與當(dāng)前系統(tǒng)執(zhí)行器故障模式最為匹配的控制器作為當(dāng)前控制器.

4) 執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)策略.為了處理具有相似物理特性執(zhí)行器的冗余問題,選擇下面的執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)策略以產(chǎn)生每一個(gè)有效的控制輸入信號(hào)vj(t) :

其中,v0(t) 為所設(shè)計(jì)的控制器中產(chǎn)生的控制信號(hào),bj(x)是關(guān)于狀態(tài)x的非線性函數(shù),用于表征第j個(gè)正常工作執(zhí)行器的控制作用.此處,需選擇bj(x) 以保證對(duì)于所有的x ∈Rn,均有其中,具體可見第2.1 節(jié)中式(22).

2 任意確定故障模式的標(biāo)稱(Nominal)控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)θ,μ及執(zhí)行器故障信息均已知的情況,設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)稱控制器.執(zhí)行器故障信息已知是指執(zhí)行器故障發(fā)生的時(shí)間、故障值、執(zhí)行器發(fā)生故障的數(shù)量及哪一個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障都是已知的.

考慮任意一種確定的執(zhí)行器故障模式σ=σ(k)∈Σ(σ(k)是已知的),此時(shí)非線性系統(tǒng)模型可表征為

為保證有效的執(zhí)行器故障補(bǔ)償,針對(duì)非線性系統(tǒng)模型(18)給出基本的系統(tǒng)相對(duì)階條件1針對(duì)單輸入單輸出的非線性系統(tǒng):則此非線性系統(tǒng)的控制相對(duì)階為 ρ;若對(duì)所有的0, 則此非線性系統(tǒng)的擾動(dòng)相對(duì)階為 ν. 關(guān)于李導(dǎo)數(shù)的定義參見腳注2..

假設(shè) 2.控制輸入信號(hào)v0到系統(tǒng)輸出y的相對(duì)階ρ小于或等于到y(tǒng)的相對(duì)階νj,即:對(duì)所有的j=均有ρ ≤νj.

需要注意的是,隨著系統(tǒng)執(zhí)行器故障模式的改變,系統(tǒng)控制子系統(tǒng)相對(duì)階ρ及故障子系統(tǒng)相對(duì)階μj可能會(huì)發(fā)生改變,但是假設(shè)1 是始終滿足的.這一假設(shè)條件對(duì)于執(zhí)行器故障補(bǔ)償設(shè)計(jì)是很關(guān)鍵的.

下面將基于假設(shè)2,針對(duì)故障模式σ(k)下非線性系統(tǒng)模型(18),采用反饋線性化的方法,設(shè)計(jì)標(biāo)稱控制信號(hào)

2.1 反饋線性化

基于假設(shè)2,可以得到系統(tǒng)輸出y(t)的ρ階時(shí)間導(dǎo)數(shù)為2若

從而得到如下線性化的系統(tǒng)模型

對(duì)于ξ ∈Rρ和η ∈Rn?ρ,存在微分同胚[ξ,η]T=T(x)=[Tc(x),Tz(x)]T可將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為線性化的系統(tǒng)模型.所選定的ξ(x)和η(x) 為

采用上式中的微分同胚關(guān)系可將非線性系統(tǒng)(18)轉(zhuǎn)化為線性化的系統(tǒng)模型

其中

且矩陣A,B,C為

并且

此處需指出,參考輸出ym(t) 為參考系統(tǒng)模型ym(t)=Wm(s)[r](t)的輸出.為了使系統(tǒng)輸出y(t)漸近跟蹤參考輸出ym(t),將設(shè)計(jì)線性反饋控制策略下面先給出一個(gè)基本假設(shè),以保證期望的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能.

假設(shè) 3.本文所考慮的系統(tǒng)在任意的故障模式?σ(k)∈Σ下均為最小相位系統(tǒng),即:對(duì)于任意的故障模式σ(k),零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)(31)的狀態(tài)相對(duì)于輸入ξ和均是輸入狀態(tài)穩(wěn)定的(Input-to-state stable,I SS).

2.2 線性反饋控制設(shè)計(jì)

基于上文中線性化的輸入?輸出模型(27),設(shè)計(jì)一個(gè)線性反饋信號(hào)

其中,α1,α2,···,αρ,均為參考模型(16)中穩(wěn)定多項(xiàng)式Pm(s) 的已知系數(shù).下面給出定理1 證明所設(shè)計(jì)的線性反饋信號(hào)可以保證系統(tǒng)的輸出跟蹤性能.

定理 1.基于假設(shè)2 和假設(shè)3,對(duì)于存在故障模式σ(k)的系統(tǒng)(18),基于標(biāo)稱反饋線性化的故障補(bǔ)償控制設(shè)計(jì)式(24)和式(40)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定以及系統(tǒng)輸出y(t) 漸近跟蹤參考輸出ym(t),即

證明.將控制器(24)和(40)代入模型(21),可得

其中,e(t)=y(t)?ym(t) .因?yàn)镻m(s)=sρ+α1sρ?1+···+αρ是指數(shù)穩(wěn)定的,故limt→∞e(t)=0,且 limt→∞e(i)(t)=0,i=1,2,···,ρ.因?yàn)閥m(t),是有界的,則y(t),也是有界的,進(jìn)而基于假設(shè)3,ξ和η有界.□

從上述控制器設(shè)計(jì)可知,對(duì)于任意確定的執(zhí)行器故障模式σ(k),式(24)及式(40)中所設(shè)計(jì)的標(biāo)稱控制器均可實(shí)現(xiàn)期望的故障補(bǔ)償及輸出跟蹤性能.下面將設(shè)計(jì)基于多模型的自適應(yīng)控制策略.

3 基于多模型的自適應(yīng)控制設(shè)計(jì):有限數(shù)目執(zhí)行器故障

本節(jié)針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)θ,μ及執(zhí)行器故障信息未知的情況,將設(shè)計(jì)一種基于多模型切換的自適應(yīng)控制器.執(zhí)行器故障未知是指執(zhí)行器故障發(fā)生的時(shí)間、故障值、執(zhí)行器發(fā)生故障的數(shù)量及哪一個(gè)執(zhí)行器發(fā)生故障都是不確定的;同時(shí)也意味著系統(tǒng)運(yùn)行中執(zhí)行器故障模式σ會(huì)發(fā)生不確定的改變.

首先考慮發(fā)生有限數(shù)目執(zhí)行器故障的情況,即:系統(tǒng)運(yùn)行過程中執(zhí)行器故障模式σ將會(huì)發(fā)生不確定改變,但在一個(gè)有限的時(shí)間T之后,執(zhí)行器故障模式σ將不再改變,即:經(jīng)過有限時(shí)間T之后,σ為未知常值矩陣.

3.1 自適應(yīng)控制器組

基于上文所設(shè)計(jì)的標(biāo)稱控制器(24)和(40)的結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)一組自適應(yīng)控制器

下面將推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)的誤差模型并且對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化,進(jìn)而設(shè)計(jì)自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器.此為自適應(yīng)控制的關(guān)鍵.

3.2 閉環(huán)系統(tǒng)的誤差模型及其參數(shù)化

將所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制信號(hào)(42)和式(43)代入系統(tǒng)輸出的ρ階導(dǎo)數(shù)式(21)中,可得閉環(huán)系統(tǒng)的輸入?輸出模型(控制信號(hào)v?0(k)(t) 與執(zhí)行器故障模式σ(k)相匹配的情況):

式(47)可進(jìn)一步寫成

進(jìn)而可推導(dǎo)出其參數(shù)化的模型

下面在設(shè)計(jì)自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器前,先給出一個(gè)基本假設(shè),其對(duì)自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器組設(shè)計(jì)尤為重要.

假設(shè) 4.對(duì)于每一個(gè)故障模式σ(k)∈Σ,閉環(huán)誤差系統(tǒng)模型(49)均具有參數(shù)化形式(50).

3.3 自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器組設(shè)計(jì)

本節(jié)將設(shè)計(jì)自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器以獲得未知參數(shù)的估計(jì)值,從而有效設(shè)計(jì)首先,假設(shè)非線性系統(tǒng)當(dāng)前的執(zhí)行器故障模式為σ(k),則在自適應(yīng)控制信號(hào)作用下,可得系統(tǒng)跟蹤誤差模型(50).

1) 增廣誤差模型.基于參數(shù)化誤差系統(tǒng)模型(50),可得如下表達(dá)式

基于此,定義增廣誤差為

將誤差模型(51)代入增廣誤差(52)中,可得

定義?k(t)=Wm(s)[ωk](t),可得增廣誤差方程為

顯然,增廣誤差模型(54)是一個(gè)完全參數(shù)化的模型.基于此參數(shù)化的增廣誤差系統(tǒng)模型,將設(shè)計(jì)自適應(yīng)律以估計(jì)系統(tǒng)中的未知參數(shù).

2) 自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器組.基于此參數(shù)化的誤差模型(54),采用改進(jìn)的梯度算法,設(shè)計(jì)一組自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器(自適應(yīng)參數(shù)投影算法)為

其中,κ>0 是一個(gè)待設(shè)計(jì)的參數(shù).

下面介紹修正項(xiàng)f(k)m(t) 的設(shè)計(jì).首先根據(jù)先驗(yàn)知識(shí),定義已知的參數(shù)區(qū)間j=1,2,···,nθ,此區(qū)間具有如下性質(zhì):

基于此,設(shè)計(jì)自適應(yīng)參數(shù)投影修正項(xiàng)為

3) 性能分析.就基于多模型的自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)而言,在任何時(shí)刻t,盡管當(dāng)非線性系統(tǒng)的執(zhí)行器故障模式為σ(k) 時(shí),僅有一個(gè)最匹配的自適應(yīng)控制器及自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器即式(55),已應(yīng)用于非線性系統(tǒng)的執(zhí)行器故障補(bǔ)償;然而,其他的不匹配自適應(yīng)控制器 (N ?1 個(gè)控制器)也都處于工作狀態(tài).因此,在任意時(shí)刻,研究?jī)深愖赃m應(yīng)參數(shù)估計(jì)器的性能:匹配的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器的性能和不匹配的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器的性能.

a) 匹配的情況.當(dāng)系統(tǒng)的故障模式為σ(k)時(shí),選擇v0(k)(t)作為當(dāng)前的自適應(yīng)控制器,則有引理1成立[30].

引理 1.自適應(yīng)參數(shù)更新律(55)具有如下性質(zhì):

b) 不匹配的情況.當(dāng)系統(tǒng)的故障模式為σ(k)時(shí),所運(yùn)行的控制器為v0(j)(t),盡管t時(shí)刻控制器均處于工作狀態(tài),但是可能該控制器并不適用于具有當(dāng)下的故障模式的系統(tǒng).

在這種情況下,系統(tǒng)的跟蹤誤差方程可改寫為

其中,δj(t) 表示因運(yùn)行的控制器與系統(tǒng)當(dāng)前故障模式σ(k)不匹配而產(chǎn)生的誤差.基于此,可得增廣誤差方程為

3.4 控制切換策略

在上面的研究中,基于“多模型”的思想,已經(jīng)設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)控制器組(N個(gè)自適應(yīng)控制器).下面,將設(shè)計(jì)一個(gè)控制切換策略以選擇實(shí)際作用于系統(tǒng)的控制信號(hào),即:如何從運(yùn)行的自適應(yīng)控制器組中,快速有效地選擇一個(gè)與當(dāng)前控制系統(tǒng)故障模式相匹配的控制器,以實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)執(zhí)行器故障的快速補(bǔ)償及漸近輸出跟蹤.

針對(duì)自適應(yīng)控制器組中的每一個(gè)控制器,分別引入相應(yīng)的系統(tǒng)性能指標(biāo),以構(gòu)成性能指標(biāo)集;進(jìn)而基于所定義的性能指標(biāo),設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制切換機(jī)制.考慮到引理1 中標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)誤差具有L2的性質(zhì),定義一組新的性能指標(biāo)函數(shù):

其中,k=1,2,···,N,λ>0 是一個(gè)待設(shè)計(jì)的常值.由引理1 可知,當(dāng)執(zhí)行器故障模式與選定的自適應(yīng)控制器(含自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器)相匹配時(shí),L2,此信號(hào)的L2的性質(zhì),可以保證limt→∞J(k)(t)=0.這一性質(zhì)有利于實(shí)現(xiàn)控制信號(hào)的快速切換,對(duì)于實(shí)現(xiàn)不確定非線性系統(tǒng)的快速故障補(bǔ)償至關(guān)重要.

在任意時(shí)刻t,計(jì)算所有性能指標(biāo)函數(shù)J(k)(t),k=1,2,···,N的值,進(jìn)而定義k=argmink=1,2,···,NJ(k)(t).基于此,將選擇當(dāng)前的控制信號(hào)v0(t) 為

即在任意時(shí)刻,分別計(jì)算每個(gè)性能指標(biāo)函數(shù)的值,以確定性能指標(biāo)函數(shù)值中的最小值;進(jìn)而,選擇與最小性能指標(biāo)函數(shù)相對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)控制信號(hào)作為當(dāng)前系統(tǒng)的控制信號(hào).預(yù)先設(shè)定一個(gè)任意小的量?0>0,當(dāng)J(k)(t)≤?0時(shí),控制切換停止(具體可參考文獻(xiàn)[36]),其保證了控制切換經(jīng)過一個(gè)有限時(shí)間后停止.此外,為了防止任意的快速切換,每次切換時(shí),均引入一個(gè)非零的等待時(shí)間Tmin>0,這一技術(shù)在基于多模型的自適應(yīng)控制中很常見,可參見文獻(xiàn)[34?36].

3.5 閉環(huán)系統(tǒng)性能分析

下面將分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能,具體可見以下分析.

1) 常規(guī)自適應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.當(dāng)所選擇的自適應(yīng)控制信號(hào)v0(t)=與當(dāng)前系統(tǒng)的執(zhí)行器故障模式σ(k)相匹配時(shí),則可以得到一個(gè)常規(guī)的非線性閉環(huán)自適應(yīng)控制系統(tǒng).此時(shí),基于引理1中的性質(zhì),很容易證明閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)均是有界的,且系統(tǒng)輸出跟蹤誤差漸近收斂于零,即:limt→∞e(t)=0.具體證明可參見附錄A.

2) 控制切換的影響.隨著執(zhí)行器故障模式的改變,除了出現(xiàn)不確定的系統(tǒng)參數(shù)和不確定的執(zhí)行器故障外,控制信號(hào)v0(t) 中也引入了不確定的切換變化.此外,在控制切換機(jī)制的設(shè)計(jì)中,J(k)(t) 收斂于零,同時(shí)引入?0和一個(gè)非零的等待時(shí)間Tmin>0,其保證了控制切換的平均頻率是小的3在自適應(yīng)控制系統(tǒng)中,平均小(Small in the mean)是很常用的概念,其是保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件..假設(shè)非線性系統(tǒng)因執(zhí)行器故障模式的改變,由J(j)(t)

其中,δ(t)為因切換而引起的系統(tǒng)攝動(dòng)項(xiàng)

因?yàn)橄到y(tǒng)經(jīng)過一個(gè)有限的時(shí)間T之后,其執(zhí)行器故障模式將保持不變,進(jìn)而控制信號(hào)也將最終不再切換.這就保證了因切換所引起的閉環(huán)自適應(yīng)控制系統(tǒng)參數(shù)變化及信號(hào)ωj(t)?ωk(t) 變化的平均突變頻率是足夠小的,且當(dāng)t>T時(shí),此突變頻率將最終收斂到零.此外,

基于上述討論的閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)的L2和有界性及控制切換的收斂性,可以證明閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,且輸出跟蹤誤差能收斂到零,即limt→∞e(t)=0.

3) 在基于多模型的自適應(yīng)控制中,盡管僅其中的一個(gè)控制信號(hào)被選擇用于實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的快速執(zhí)行器故障補(bǔ)償和輸出跟蹤,然而自適應(yīng)控制器組中的其他N ?1個(gè)控制器也都處于工作狀態(tài).因此,盡管已經(jīng)證明了被選中的自適應(yīng)控制信號(hào)可以保證期望的執(zhí)行器故障補(bǔ)償和輸出跟蹤,但是仍需要進(jìn)一步分析其他N ?1個(gè)自適應(yīng)控制信號(hào)的有界性.對(duì)于自適應(yīng)控制信號(hào)而言,所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)參數(shù)投影算法保證了中相關(guān)參數(shù)估計(jì)值的有界性,同時(shí)所選擇的自適應(yīng)控制信號(hào)保證了系統(tǒng)所有信號(hào)的有界性,二者相結(jié)合進(jìn)而可以保證其他N ?1 個(gè)自適應(yīng)控制信號(hào)的有界性.

基于以上3 方面的研究分析,將建立定理2.

定理 2.針對(duì)含有限數(shù)目的多重不確定執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)(7),基于假設(shè)2～ 4,所設(shè)計(jì)的基于多模型的自適應(yīng)控制器(42)和(43)、自適應(yīng)參數(shù)更新律(55)以及控制切換策略(61)保證了所有閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)都是有界的,且系統(tǒng)輸出跟蹤誤差漸近收斂到零,即:limt→∞e(t)=0,其中,e(t)=y(t)?ym(t).

上面的研究主要考慮非線性系統(tǒng)中發(fā)生有限數(shù)目的不確定多重執(zhí)行器故障的情況,也就說在經(jīng)過一段有限的時(shí)間T之后,系統(tǒng)的執(zhí)行器故障模式將不再發(fā)生改變.在接下來的研究中,將考慮系統(tǒng)發(fā)生無限數(shù)目的不確定多重執(zhí)行器故障的情況,即系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)間歇性的執(zhí)行器故障.

4 基于多模型的自適應(yīng)控制系統(tǒng):無限數(shù)目的多重不確定執(zhí)行器故障

本節(jié)將上述所提出的基于多模型的自適應(yīng)控制應(yīng)用于解決系統(tǒng)中發(fā)生不確定的持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障(無限數(shù)目執(zhí)行器故障)時(shí)的補(bǔ)償控制問題.

與第3 節(jié)的情況不同,本節(jié)考慮發(fā)生不確定持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障的情況.此時(shí),執(zhí)行器故障模式σ將不可能固定于一個(gè)常值上,隨著執(zhí)行器故障的持續(xù)間歇性發(fā)生,其值也將持續(xù)間歇性地改變.

4.1 不確定的持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障

由上述可知,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障時(shí),執(zhí)行器故障模式矩陣σ ∈Σ 將會(huì)發(fā)生持續(xù)間歇性的改變,但是滿足如下條件:

假設(shè)5.在任意時(shí)間 [ti,ti+T) 內(nèi),執(zhí)行器故障模式的切換次數(shù)ni滿足ni ≤νT+c0,其中,c0>0是一常數(shù),ν >0 是一個(gè)測(cè)度參數(shù)且其上限為足夠小.

此假設(shè)條件保證了上述基于多模型切換自適應(yīng)控制的有效性,其將在下面的性能分析中具體研究.

4.2 基于持續(xù)間歇性切換的多模型自適應(yīng)控制設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)運(yùn)行過程中執(zhí)行器發(fā)生持續(xù)間歇性故障,執(zhí)行器故障模式值σ總是會(huì)發(fā)生改變.但就非線性系統(tǒng)(1)而言,其所有可能發(fā)生的執(zhí)行器故障模式是不變的,也就是說式(13)所定義的執(zhí)行器故障模式集 Σ 是固定不變的.因此,針對(duì)非線性系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)間歇性故障的情況,采用基于多模型自適應(yīng)控制進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí),所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)控制器組及自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器組與第3.1節(jié)和第3.3 節(jié)中的自適應(yīng)控制器組設(shè)計(jì)和自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器組設(shè)計(jì)是相同的.假設(shè)在時(shí)間區(qū)間 [ti,ti+1)內(nèi),非線性系統(tǒng)所發(fā)生的執(zhí)行器故障模式為σ=σ(k),則通過第3.4 節(jié)所設(shè)計(jì)的控制切換策略,仍可以選擇相匹配的自適應(yīng)控制器及式(55)所述的自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)器應(yīng)用于系統(tǒng).

然而,由于執(zhí)行器故障模式σ∈Σ 發(fā)生持續(xù)間歇性改變,因此,為了選擇相匹配的自適應(yīng)控制器作為當(dāng)前系統(tǒng)的控制信號(hào),則基于第3.4 節(jié)所設(shè)計(jì)的控制切換策略(60),控制信號(hào)v0(t) 也將發(fā)生持續(xù)間歇性的控制切換.假設(shè)5 也保證了控制信號(hào)不會(huì)因?yàn)閳?zhí)行器故障模式的頻繁改變而引起頻繁切換.

4.3 閉環(huán)系統(tǒng)性能分析

本節(jié)分析含持續(xù)間歇性故障的非線性自適應(yīng)控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性能和輸出跟蹤性能.

1) 根據(jù)第3.5 節(jié)中的分析1),我們知道每個(gè)自適應(yīng)控制器對(duì)于一個(gè)特定的故障模式σ(k)是有效的,即閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,且跟蹤誤差e(t) 漸近收斂到零.這將確保在任意時(shí)間段 [ti,ti+1) 內(nèi),系統(tǒng)均是穩(wěn)定的,且隨著時(shí)間的推移,系統(tǒng)輸出跟蹤誤差e(t) 逐漸收斂,并當(dāng)t →∞時(shí),e(t)→0.當(dāng)然,在有限時(shí)間區(qū)間 [ti,ti+1) 內(nèi),通?？梢缘玫秸`差信號(hào)的振蕩幅度逐漸變小.

2) 控制切換的影響與上面的有限數(shù)目執(zhí)行器故障的情況不同,當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)間歇性故障時(shí),其執(zhí)行器故障模式也相應(yīng)地發(fā)生持續(xù)間歇性改變.因此,自適應(yīng)控制信號(hào)v0(t)=也將出現(xiàn)持續(xù)間歇性地切換.與第3.5 節(jié)中類似,當(dāng)系統(tǒng)中因執(zhí)行器故障模式的改變而導(dǎo)致控制信號(hào)由切換為時(shí),閉環(huán)誤差控制系統(tǒng)模型也發(fā)生了突變,其可表征為

其中,攝動(dòng)項(xiàng)δ(t) 為

然而與第3.5 節(jié)有限數(shù)目執(zhí)行器故障的情況不同,隨著系統(tǒng)發(fā)生持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障時(shí),攝動(dòng)項(xiàng)δ(t)也將發(fā)生持續(xù)間歇性的改變,即和ωj(t)?ωk(t) 持續(xù)間歇性的發(fā)生突變.基于假設(shè)5 (執(zhí)行器故障模式改變的平均次數(shù)是足夠小的),可得δ(t) 的平均突變次數(shù)也是足夠小的.基于此,我們可以得到,在任意時(shí)間區(qū)間 [ti,ti+T) 內(nèi),基于多模型切換的自適應(yīng)控制系統(tǒng)中因執(zhí)行器故障模式改變而引起的控制切換所帶來的系統(tǒng)變化在平均意義下是小的.

基于上面的分析,結(jié)合系統(tǒng)在任意時(shí)間段[ti,ti+1)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性能和輸出跟蹤誤差的收斂特性,則仍然可以保證閉環(huán)自適應(yīng)控制系統(tǒng)在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)是系統(tǒng)所有信號(hào)是有界的,且系統(tǒng)輸出跟蹤誤差在平均意義下是小的,即:存在一個(gè)ν?>0,當(dāng)ν ∈(0,ν?)時(shí),有

3) 關(guān)于未被選中的N ?1 個(gè)控制器的有界性分析與第3.4 節(jié)相同,此處不再重復(fù).

基于上面的分析,可建立定理3.

定理 3.針對(duì)含持續(xù)間歇性多重不確定執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)(7),基于假設(shè)2～ 5,所設(shè)計(jì)的基于多模型的自適應(yīng)控制器(42)和(43)、自適應(yīng)參數(shù)更新律(55)以及持續(xù)間歇性的切換機(jī)制(61)保證了所有閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)都是有界的,且系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差滿足(63),即輸出跟蹤誤差是在平均意義下是小的.

當(dāng)非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)持續(xù)性的執(zhí)行器故障故障時(shí),上述設(shè)計(jì)的基于多模型的自適應(yīng)控制方案,除了保證定理3 中所述的閉環(huán)系統(tǒng)信號(hào)的有界性及跟蹤誤差平均小之外,還保證了系統(tǒng)的輸出跟蹤性能在任意執(zhí)行器故障模式固定的時(shí)間區(qū)間 [ti,ti+1) 內(nèi)將會(huì)持續(xù)改善,即:每次出現(xiàn)新的執(zhí)行器故障模式后,系統(tǒng)的輸出跟蹤誤差將隨著時(shí)間的推移逐漸收斂,這一結(jié)論可由本節(jié)的分析1)中得出.

上面定理3中的結(jié)果是考慮非線性系統(tǒng)中出現(xiàn)持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障的情況.假設(shè)系統(tǒng)中是存在有限數(shù)目的執(zhí)行故障,則攝動(dòng)信號(hào)δ(t) 將在一個(gè)有限時(shí)間內(nèi)變?yōu)?.此時(shí),基于定理3中的結(jié)果,可進(jìn)一步推導(dǎo)出定理2 的結(jié)果,即:limt→∞e(t)=0.顯然,定理3 是定理2 的一種推廣形式.

5 仿真研究

本節(jié),將采用雙水獺飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行仿真研究,以驗(yàn)證所提出控制策略的有效性及可行性.

5.1 飛行器動(dòng)力學(xué)模型

雙水獺飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)方程[2]可以表示為

其中,V為飛行速度,α為攻角,θ為俯仰角,q為俯仰角速率,m為飛行器質(zhì)量,Iy為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,M為俯仰力矩.作用于飛行器的力和力矩分別表示為

其中,δe1和δe2表示兩片升降舵的舵面偏轉(zhuǎn)角度.具體的飛行器飛行參數(shù)參見文獻(xiàn)[2].

1) 飛行器系統(tǒng)模型的狀態(tài)空間描述.選擇V,α,θ,q為系統(tǒng)狀態(tài),分別記為x1,x2,x3,x4.升降舵偏轉(zhuǎn)角δe1和δe2作為系統(tǒng)輸入u1和u2,則模型(64)表示為

選擇飛行器系統(tǒng)輸出為y=x3=θ.

2) 系統(tǒng)相對(duì)階.通過計(jì)算y=x3的時(shí)間導(dǎo)數(shù),可得

顯然,u1到y(tǒng)的相對(duì)階等于u2到y(tǒng)的相對(duì)階.由此可知:無論是u1發(fā)生故障還是u2發(fā)生故障,假設(shè)1 中的相對(duì)階條件總是可以滿足.

3) 零動(dòng)態(tài).基于式(67)及式(69),可引入坐標(biāo)變換η=[η1,η2]T=[T1(x),T2(x)]T,將零動(dòng)態(tài)方程轉(zhuǎn)化為

其中,ξ=[x3,x4]T.需要指出,零動(dòng)態(tài)的輸入輸出穩(wěn)定性分析在文獻(xiàn)[2]中已經(jīng)給出,此處不再贅述.

5.2 仿真結(jié)果:有限數(shù)目執(zhí)行器故障的情況

針對(duì)上述飛行器模型,考慮下面的執(zhí)行器故障:

選擇執(zhí)行器驅(qū)動(dòng)策略(17) 為bj(x)=1,其中j=1,2.此外,參考系統(tǒng)輸出為ym(t)=Wm(s)[r](t),其中,Wm(s)=1/(s2+5s+6),r(t)=sin(0.2t).

在仿真研究中,給定系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量為x0=[10,0.1,0.01,0.01]T,自適應(yīng)增益矩陣為Γ1=5I5,Γ2=5I6,常值參數(shù)λ=0.5,κ=1.自適應(yīng)參數(shù)估計(jì)初值設(shè)定為其真值的90%.

基于以上設(shè)計(jì)的參數(shù),可得到圖1～ 3 所示的仿真結(jié)果.圖1 給出了當(dāng)參考輸入信號(hào)為時(shí)變信號(hào)r(t)=sin(0.2t)時(shí)的系統(tǒng)的響應(yīng),含控制信號(hào)u1(t) 和u2(t),系統(tǒng)輸出y(t) 及輸出跟蹤誤差信號(hào)e(t) 的響應(yīng)曲線.圖3 給出了性能指標(biāo)函數(shù)J1以及J2的仿真曲線,基于此,給出了控制切換指數(shù)k=argmink=1,2J(k)(t)隨時(shí)間的變化曲線.由圖1～ 3 知,基于多模型的自適應(yīng)控制器可保證當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生不確定的執(zhí)行器故障時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)可以保持穩(wěn)定及期望的漸近輸出跟蹤.

圖1 系統(tǒng)輸入:有限數(shù)目的執(zhí)行器故障Fig.1 System inputs:a finite number of actuator failures

圖2 系統(tǒng)輸出響應(yīng):有限數(shù)目的執(zhí)行器故障Fig.2 System output responses:a finite number of actuator failures

圖3 控制切換機(jī)制:有限數(shù)目的執(zhí)行器故障Fig.3 Control switching mechanism:a finite number of actuator failures

5.3 仿真結(jié)果:無限數(shù)目執(zhí)行器故障的情況

針對(duì)上面的飛行器系統(tǒng)模型(64),考慮一種無限數(shù)目執(zhí)行器故障的形式

其中,k=1,2,···.此故障的發(fā)生使得系統(tǒng)動(dòng)態(tài)在無故障和故障兩種動(dòng)態(tài)模態(tài)下無限依次跳變,隨之系統(tǒng)的相對(duì)階結(jié)構(gòu)也相應(yīng)的發(fā)生改變.在系統(tǒng)運(yùn)行過程中,時(shí)間常數(shù)T是未知的,可任意選擇,此處選擇T=30.選擇上一節(jié)的設(shè)計(jì)參數(shù)仍可得仿真圖4～ 6.由圖4～ 6 知,所設(shè)計(jì)的控制方法可保證系統(tǒng)期望的穩(wěn)定和跟蹤性能,且切換機(jī)制是有效的.

圖4 系統(tǒng)輸入:持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障Fig.4 System inputs:persistent actuator failures

圖5 系統(tǒng)輸出響應(yīng):持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障Fig.5 System output responses:persistent actuator failures

圖6 控制切換機(jī)制:持續(xù)間歇性執(zhí)行器故障Fig.6 Control switching mechanism:persistent actuator failures

6 結(jié)論

針對(duì)一類含不確定的多重執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng),本文提出了一種基于多模型的自適應(yīng)故障補(bǔ)償控制策略,其實(shí)現(xiàn)了執(zhí)行器故障的快速補(bǔ)償及期望的系統(tǒng)輸出跟蹤.基于多模型參數(shù)估計(jì),針對(duì)多個(gè)故障模式,設(shè)計(jì)了多個(gè)自適應(yīng)控制器.為了在出現(xiàn)不同的故障時(shí)選擇最合適的控制器進(jìn)行故障補(bǔ)償,還提出了一種控制切換策略進(jìn)行控制信號(hào)的選擇.本文所設(shè)計(jì)的多模型故障補(bǔ)償策略能夠保證在出現(xiàn)有限數(shù)量的不確定執(zhí)行器故障時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的并且能夠漸近地跟蹤所選擇的參考系統(tǒng)輸出.此外,也能保證在系統(tǒng)出現(xiàn)持續(xù)間歇性故障時(shí)輸出跟蹤誤差是平均小的.最后,采用高超聲速飛行器模型驗(yàn)證了所提控制策略的有效性及可行性.本文所提出的自適應(yīng)控制方法主要解決了最小相位非線性系統(tǒng)的多重不確定執(zhí)行器故障補(bǔ)償問題,而針對(duì)非最小相位非線性系統(tǒng)的多重不確定執(zhí)行器故障補(bǔ)償控制問題,仍有待進(jìn)一步研究.

附錄A 重要引理及其相關(guān)證明

A.1 重要引理

引理 A1 (BOBI (Bounded output and bounded input) 引理).令y(t)=H(s)[u](t),其中H(s) 是最小相位的傳遞函數(shù)真分式.若對(duì)所有的t ≥0,u,u˙∈L∞e,且u是正則的:∥u˙∥t ≤l∥u∥t+l,則∥u∥t ≤l∥y∥t+l,其中l(wèi)為一有界常值.

引理 A2.令y(t)=H(s)[u](t),其中H(s) 是穩(wěn)定的傳遞函數(shù)真分式.若∥u∥t ≤γ(t)∥q∥t+γ(t),則∥y∥t ≤γ(t)∥q∥t+γ(t),其中,γ(t)∈L2∩L∞.此外,若H(s)為嚴(yán)格真分式,則∥y∥t≤β(t)∥q∥t+β(t),其中β(t)∈L2∩L∞為一個(gè)可以趨于零的時(shí)間函數(shù).

引理 A3 (Swapping 引理).若H(s)=C(sI ?A)?1B+D是傳遞函數(shù)真分式的最小實(shí)現(xiàn),則

其中,HC(s)=C(sI ?A)?1,HB(s)=(sI ?A)?1B.

A.2 相關(guān)證明

下面給出常規(guī)非線性自適應(yīng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析的證明,類似證明可見文獻(xiàn)[30,43].

證明.

1) 增廣誤差信號(hào)的有界性.基于Swapping 引理(引理A3),可證明式(52)中增廣項(xiàng)滿足

其中,β(t) 為一個(gè)滿足L∞∩L2的函數(shù),且有l(wèi)imt→∞β(t)=0.

2) 信號(hào)ωk,的正則性5若對(duì)所有的 t ≥0,有 ≤k1∥zt∥∞+k2,其中 k1 ≥0,k2 ≥0,則信號(hào) z(t) 是正則的..基于信號(hào)ξ=[y,y˙,···,y(ρ?1)]T的形式,可以有如下微分方程:

其中,l為一有界常值.將式(A5)用于ISS 零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)(31),可得

因?yàn)閟kWm(s),k=0,1,2,···,ρ ?1 均為嚴(yán)格真分式,則信號(hào)也可以滿足類似式(A5)和式(A6)的不等式.考慮式(A5)和式(A6)及x是關(guān)于ξ和η的微分同胚,則

即信號(hào)ωk(t) 是正則的.因?yàn)閃m(s) 是穩(wěn)定的,則?k(t)=Wm(s)[ωk](t)也是正則的.類似地,也可推出是正則的.因?yàn)?/p>

3) 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析.將式(A3) 用于式(52)得

其中,limt→∞β(t)=0 .進(jìn)而,式(A13)可變?yōu)?/p>

因?yàn)?k(t)=Wm(s)[ωk](t),則

其中,l是一有界常值.將式(A16)應(yīng)用于式(A13),則有

將式(A11)用于式(A17),則得