基于伯努利定理的流水法測量水流速度

宋連鵬，孫 瑜，周 麗

(海軍大連艦艇學(xué)院 基礎(chǔ)部，遼寧 大連 116018)

水流速度是常用物理量，在生產(chǎn)生活中發(fā)揮著重要作用，如在防洪抗災(zāi)和洋流的研究中都離不開水流速度的測量. 對于重力場中不可壓縮的均質(zhì)流體，滿足伯努利方程[1]

(1)

其中，p為流體壓強(qiáng)，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為流體高度(從某參考點(diǎn)計)，v為流體速度.在沿流線運(yùn)動過程中，流體的能量總和保持不變，即總能量守恒．由式(1)可知，流速大處壓強(qiáng)低，流速小處壓強(qiáng)高[2]，因此可以通過水流壓強(qiáng)的相關(guān)測量來測量水流的速度.

1 流水法測量水流速度的設(shè)計

1.1 測量裝置

測量裝置如圖1所示，在礦泉水瓶底部的側(cè)面打一小孔，插入細(xì)導(dǎo)管，并用熱熔膠密封，在與細(xì)導(dǎo)管等高處用記號筆做標(biāo)記1，再向上方10 cm處,做標(biāo)記2，細(xì)導(dǎo)管的自由端口與待測流速的水流連通.

圖1 測量裝置

1.2 測量原理

文獻(xiàn)[3]通過實驗得到空氣中小孔的水流速度，文獻(xiàn)[4]利用流體運(yùn)動的連續(xù)性方程進(jìn)一步論證了上述結(jié)果.現(xiàn)將圖1所示的測試裝置置入待測水流中，使細(xì)導(dǎo)管指向與待測水流方向垂直，形成如圖2 所示的測量系統(tǒng).在細(xì)導(dǎo)管自由端口兩水流交匯的界面處，待測水流方向與界面平行，產(chǎn)生的沖量不會影響界面的壓強(qiáng).因此，在忽略黏性阻力時，界面受到向左的壓強(qiáng)即為待測水流在此處產(chǎn)生的壓強(qiáng)p，滿足

(2)

其中，v為待測水流速度.

圖2 測量水流速度的系統(tǒng)示意圖

在測量裝置內(nèi)水流出的過程中，根據(jù)伯努利定理可得

(3)

其中，p0為大氣壓強(qiáng)，h為測試瓶內(nèi)液面高度，v1為液面處水流速度，v2為細(xì)導(dǎo)管中的水流速度.將式(2)代入式(3)得

(4)

由于測試瓶中水減少的體積與細(xì)導(dǎo)管口處水流出的體積相同，因此

(5)

其中，S1和S2分別為測試瓶和出水口的橫截面積，令

(6)

其中D為常量[4]，將式(6)代入式(4)，聯(lián)立式(5)，可解得

(7)

(8)

因此測試瓶中水下降的時間為

(9)

則液面下降高度為H的水流出的總時間為

(10)

因此，根據(jù)式(10)，測量出瓶中水流出的時間t即可得到待測水流速度v.

2 實驗測量與分析

2.1 測量方法及數(shù)據(jù)處理

圖3 為測量水流速度的實物裝置圖，在連結(jié)加氧泵(出水量為1 000 L/h)的出水口處，接入調(diào)流閥，將測試裝置中細(xì)導(dǎo)管的自由端接入加氧泵的進(jìn)氣口. 由于加氧泵進(jìn)氣口與出水口是呈“⊥”形的三通結(jié)構(gòu)，因此2個水流方向垂直，通過測量測試瓶中水流出的時間，即可得出加氧泵出水管中的水流速度.

圖3 流水法測量水流速度的實物裝置圖

打開加氧泵，調(diào)節(jié)調(diào)流閥，用電子稱稱量單位時間內(nèi)水管中流出水的質(zhì)量，利用密度公式計算對應(yīng)的體積，再除以出水口的橫截面積得到水的流速即為實際水流速度——稱重法. 由于加氧泵的總功率保持不變，從而可以提供穩(wěn)定的水流. 在待測加氧泵出水管中的水流速度較小時，根據(jù)伯努利定理可知水流會產(chǎn)生較大壓強(qiáng)，當(dāng)該壓強(qiáng)大于測試瓶內(nèi)水所產(chǎn)生的壓強(qiáng)時，會出現(xiàn)加氧泵出水管中的水倒向流入測試瓶中的現(xiàn)象. 隨著測試瓶內(nèi)水壓不斷增加，最終會達(dá)到壓強(qiáng)相等，形成平衡態(tài).

使測試瓶中液面保持不變，通過測試發(fā)現(xiàn)當(dāng)加氧泵出水管中水流速度為1.56 m/s時，測試瓶中的液面恰好穩(wěn)定在與細(xì)導(dǎo)管等高的標(biāo)記1處，可知此時加氧泵水管中的水流壓強(qiáng)p等于大氣壓強(qiáng)p0.將式(2)代入式(6)，得到D=-2.43 m2/s2.

另外，測量出測試瓶的直徑d1=60.0 mm，細(xì)導(dǎo)管出口的內(nèi)徑d2=2.5 mm，測試瓶中水下降的高度H=100.0 mm.將測量結(jié)果代入式(10)，其中g(shù)=9.8 m/s2，得

(11)

當(dāng)加氧泵出水管中水流速度增大時，測試瓶中水流出的速度也加快，分別測量不同水流速度下測試瓶中水流出的時間，如表1所示.每個數(shù)據(jù)都是5次測量取平均值的結(jié)果.

表1 不同水流速度下的水流出時間(稱重法)

借助Matlab軟件，利用式(11)得到水流速度，如表2所示.

表2 不同流出時間下的水流速度(流水法)

2.2 數(shù)據(jù)分析

以測試瓶中水流出的時間t為橫坐標(biāo)，以水流速度v為縱坐標(biāo)，將流水法的測量結(jié)果(表2)和稱重法(表1)的測量結(jié)果描點(diǎn)進(jìn)行比較，如圖4所示.

圖4 流水法和稱重法測量值比較

從圖4中可見，流水法與稱重法在低流速區(qū)吻合得非常好，說明流水法測量水流速度的理論完全正確，測量方法切實可行. 但在流速大時流水法偏差較大，流水法測量結(jié)果明顯比稱重法測量結(jié)果大，分析形成這種結(jié)果的原因如下：

1)流水法測水流速度時，采用的加氧泵是固定的三通結(jié)構(gòu)，2個水流的截面面積差別不足夠大，所以當(dāng)瓶中水以較大流速匯入待測水流時，形成了由于射流沖擊橫流產(chǎn)生的螺旋渦[6]，導(dǎo)致待測水流的流線發(fā)生畸變，從而破壞了模型中理想情況的假設(shè). 螺旋渦加速了瓶中水流出的速度，使水流速度的測量結(jié)果產(chǎn)生了正偏差.

2)稱重法測量水流速度時，由于引流管太細(xì)太長導(dǎo)致黏性阻力較大，且流速越大，黏性阻力影響越大，造成稱重法水流速度的測量結(jié)果偏小，形成負(fù)偏差.

綜合以上原因，在水流速度大時，2種測量方法的測量結(jié)果都產(chǎn)生了較大的相對偏差. 通過改進(jìn)、優(yōu)化三通匯流處的結(jié)構(gòu)，減小水流的相互沖擊，可以提升流水法在水流速度較大時的測量精度. 另外，采用增加引流水管的直徑并減小其長度的方法可改善引流條件.

3 結(jié)束語

本文利用伯努利方程將對水流速度的測量轉(zhuǎn)換為對水流壓強(qiáng)的測量，再利用測試瓶將對水流壓強(qiáng)的測量轉(zhuǎn)換為對測試瓶中水流出時間的測量. 該方法所用儀器結(jié)構(gòu)簡單、操作簡便，實驗結(jié)果表明該測量方法穩(wěn)定可靠、有效可行.