基于響應(yīng)曲面法優(yōu)化振蕩天平諧振元件的結(jié)構(gòu)

劉丹丹， 代英鵬， 單 馳， 李德文， 湯春瑞

(1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院， 哈爾濱 150022； 2.中煤科工集團重慶研究院有限公司， 重慶 400037)

0 引 言

目前，在國外振蕩天平主要實時監(jiān)測空氣顆粒物、煤礦粉塵、工業(yè)廢氣，以及尾氣粉塵濃度和蒸汽沉積等[1]。國內(nèi)振蕩天平法尚應(yīng)用于大氣PM2.5監(jiān)測中，而振蕩天平應(yīng)用于煤礦粉塵檢測時，其諧振元件靈敏度受材料的品質(zhì)因數(shù)、結(jié)構(gòu)形狀及質(zhì)量等因素影響，無法保證濃度檢測時的測量準(zhǔn)確性。國內(nèi)學(xué)者對振蕩天平有諸多研究，李志磊[2]優(yōu)化復(fù)合雙管成為整體管型，流通煙塵。李金平等[3]提出利用光散射法輔助提高測量的準(zhǔn)確性和有效性。李德文等[4]研究了品質(zhì)因數(shù)對振蕩天平測量的重要性。暴翔[5]仿真分析諧振元件不同大小截面，確定振蕩特性較高的諧振元件結(jié)構(gòu)。劉丹丹等[6]分析了諧振元件的結(jié)構(gòu)尺寸，優(yōu)化了微量振蕩天平諧振模塊，隨著煤礦粉塵安全性要求的提高，現(xiàn)有振蕩天平的精度已無法滿足要求，因此，筆者仿真研究諧振元件的不同結(jié)構(gòu)，利用響應(yīng)曲面法分析各影響因素對質(zhì)量靈敏度的影響強度，以保證振蕩天平測量裝置的精度。

1 振蕩天平測量原理

20世紀(jì)80年代，振蕩天平由美國R&P公司應(yīng)用于環(huán)境顆粒物自動監(jiān)測領(lǐng)域，其優(yōu)點為測量原理簡單，精度高，可實現(xiàn)連續(xù)在線稱量[7]。振蕩天平法測量原理如圖1所示。

圖1 振蕩天平測量方法Fig. 1 Measurement method of oscillating balance

振蕩天平的核心組件包括諧振元件、檢測電路及采樣放大電路等，其原理如下：通過使用諧振元件，在裝置中將其一端進(jìn)行固定，另一端實現(xiàn)自由振蕩；濾膜設(shè)置在自由振蕩端的一側(cè)，其作用為能夠使含塵氣體在通過濾膜時將粉塵顆粒收集起來。利用濾膜和諧振元件能夠組成一個較為簡便的振蕩系統(tǒng)，若測量裝置內(nèi)有含塵氣流通過，采樣器能夠分離特定直徑的粉塵，粉塵顆粒將聚集于錐形元件振蕩端的濾膜上。當(dāng)含有粉塵的氣體尚未通過時，振蕩元件與其兩側(cè)的電極板共同組成的電場始終保持特定的頻率振蕩；若含有粉塵的氣體通過后，濾膜質(zhì)量不斷上升，使振蕩頻率發(fā)生相應(yīng)的變化，利用振蕩頻率變化能夠?qū)V膜上顆粒物對應(yīng)的質(zhì)量進(jìn)行較為準(zhǔn)確的計算，以質(zhì)量和氣體體積之間的比值為依據(jù)，計算得出這一時段顆粒物所對應(yīng)的質(zhì)量濃度，振蕩天平法對應(yīng)的計算公式為

(1)

ρ=Δm/V，

(2)

式中：Δm——濾膜質(zhì)量，mg；

k0——恢復(fù)力常數(shù),mg/Hz；

f1——空載頻率,Hz；

f2——載荷頻率,Hz；

ρ——質(zhì)量濃度,mg/m3；

V——氣體體積,m3。

2 諧振元件靈敏度的影響因素

諧振元件稱重顆粒物質(zhì)量時，可以視為變截面懸梁的梁面橫向振動，取距諧振元件固定端高度為x，則橫向振動的振動方程為

(3)

式中：V(x)——微元段的體積質(zhì)量,g；

H(x)——微元段的橫截面積,m2；

I(x)——微元段橫截面抗彎剛度,N/mm；

E——諧振元件材料的彈性模量,Pa；

Y(x)——振動時微元段的橫向移動位移,m；

ω——微元段的振動角頻率,rad/s。

式(3)中均為x的函數(shù)，方程整體為四階變系數(shù)微分方程，難以求解。由式(3)可知，諧振元件的振動頻率與其材料彈性模量、體積質(zhì)量和截面壁厚有關(guān)。文中將對國內(nèi)學(xué)者所研究不同形狀結(jié)構(gòu)的諧振元件，采用相同材料在Solidworks中建模，導(dǎo)入ANSYS軟件中以0.1 mg載荷條件為約束進(jìn)行模態(tài)分析。對文獻(xiàn)[3]改進(jìn)復(fù)合雙管仿真，得出諧振頻率為408.082 Hz，其施加在載荷后的質(zhì)量靈敏度為0.1 Hz/mg。對文獻(xiàn)[6]諧振元件模型進(jìn)行模態(tài)分析，得出諧振頻率為790.164 Hz，其質(zhì)量靈敏度為0.21 Hz/mg；同時，對固定端及振蕩端內(nèi)徑分別為4.0和1.5 mm，壁厚為0.5 mm的空心錐形管進(jìn)行仿真，其質(zhì)量靈敏度為0.23 Hz/mg對比復(fù)合管結(jié)構(gòu)對空心錐形管進(jìn)行改進(jìn)，固定端截面的長軸為4.0 mm，短軸為2.0 mm的橢圓結(jié)構(gòu)，其他條件不變進(jìn)行仿真，四種模型的結(jié)構(gòu)見圖2。圖中，模型高度H，振蕩端內(nèi)徑R，固定端內(nèi)徑短軸長度L。其仿真數(shù)據(jù)如表1所示。其中，S為顆粒物測量裝置靈敏度;μ為頻降比，數(shù)值越大諧振元件對質(zhì)量越敏感。

圖2 不同模型的結(jié)構(gòu)Fig. 2 Structure of different models

表1 不同模型的仿真數(shù)據(jù)

由表1可以看出，改進(jìn)后模型Ⅳ的諧振頻率較低，但是其靈敏度及頻降比最高，表明此結(jié)構(gòu)對微量顆粒物的分辨率更高，因此，筆者將以其為參考模型，研究高度、固定端內(nèi)徑和振蕩端內(nèi)徑對諧振元件靈敏度的影響。

2.1 高度

諧振元件材料相同的情況下，不同高度導(dǎo)致諧振元件的體積質(zhì)量不同，影響諧振元件的振蕩頻率，以結(jié)構(gòu)鋼制成的參考模型，其他尺寸不變，研究不同高度對質(zhì)量靈敏度的影響。設(shè)置初始高度為100 mm，改變高度對振蕩頻率進(jìn)行仿真實驗。其實驗仿真數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 不同高度的仿真數(shù)據(jù)

由表2可知，材料相同的情況下不同高度的諧振元件對微量顆粒物的分辨率不同，隨著高度增加，諧振元件的靈敏度降低，因此，在設(shè)計諧振元件時高度應(yīng)在80～100 mm之間，從而保證諧振元件對顆粒物有較高的分辨率。

2.2 固定端內(nèi)徑

通過仿真分析固定端截面為橢圓時能夠有效抑制二維振蕩，以提高振蕩頻率。在對其內(nèi)徑設(shè)計時，為抑制其二維振蕩，保持其內(nèi)徑長軸為3.5 mm，改變其短軸長度，初始為1.5 mm，保持其他條件不變進(jìn)行仿真分析，其仿真數(shù)據(jù)如表3所示。

表3 固定端內(nèi)徑短軸不同長度仿真數(shù)據(jù)

由表3可知，當(dāng)保持圓面、高度不變時，隨著橢圓短軸內(nèi)徑尺寸的增加，靈敏度并未發(fā)生變化，根據(jù)頻降比設(shè)計橢圓內(nèi)徑短軸長度，獲得1.5～1.9 mm之間為最優(yōu)選擇。

2.3 振蕩端內(nèi)徑

保持模型其他條件不變的前提下，改變振蕩端圓面內(nèi)徑大小，其仿真數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 振蕩端圓面不同內(nèi)徑仿真數(shù)據(jù)

由表4可知，若高度保持穩(wěn)定的情況下，振蕩端圓面內(nèi)徑處于1.2～1.4 mm 的范圍內(nèi)，靈敏度及頻降比變化較大。

根據(jù)上述三種影響因素的仿真結(jié)果，高度及振蕩端內(nèi)徑對諧振元件的靈敏度影響較大，利用響應(yīng)曲面法以靈敏度為因變量比較三種因素的影響強度，同時，運用響應(yīng)曲面法計算獲得結(jié)構(gòu)的最優(yōu)尺寸。

3 響應(yīng)曲面法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

響應(yīng)曲面法是利用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計分析進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的方法，基本過程是：首先，確定可能含有最佳區(qū)域的條件，然后，擬合響應(yīng)函數(shù)與影響因素之間的一階或二階模型作為真實響應(yīng)函數(shù)的一個近似，最后，利用一階或二階模型得到最優(yōu)工藝參數(shù)[8-10]。

此次研究所使用Box-Behnken設(shè)計需要利用的模型數(shù)量為13種，并且比完全分析設(shè)計所需的33=27種明顯較少。無論是擬合一階、二階及高階回歸方程，均需要對其回歸系數(shù)通過最小二乘法完成擬合的過程，并對各種變量進(jìn)行編碼化，為整個過程提供便利[11-14]。

(4)

Xih、Xil——第i個變量xi的最大值和最小值,mm。

表5給出了3個實驗變量的取值范圍。

表5 實驗參數(shù)范圍

由響應(yīng)曲面法的Box-Behnken設(shè)計方法，可以得到表6的計算工況，通過ANYSY的有限元分析模塊對計算工況進(jìn)行仿真，得出諧振元件空載與載荷頻率，以質(zhì)量靈敏度為因變量進(jìn)行最優(yōu)求解，如表6所示。

表6 計算工況

通過響應(yīng)曲面法分析，得到不同因素對因變量的響應(yīng)曲面，從而得出這三個因素各自對靈敏度的影響程度[15-16]，以及三者與靈敏度之間數(shù)學(xué)模型為

S=-0.325H-0.062 5L+0.437 5r-0.15HR+

0.025LR+0.087 5H2-0.087 5L2+0.212 5R2。

(5)

由式(5)可知，高度與振蕩段內(nèi)徑為諧振元件靈敏度的主要因素，各因素對靈敏度的影響如圖3所示。

由圖3a可知，當(dāng)橢圓內(nèi)徑短軸長度L不變時，質(zhì)量靈敏度隨著圓面內(nèi)徑r增大而增大；當(dāng)圓面內(nèi)徑r不變時，橢圓內(nèi)徑短軸長度L對質(zhì)量靈敏度影響較小，這表明圓面內(nèi)徑對質(zhì)量靈敏度影響顯著。

圖3 各因素對靈敏度影響Fig. 3 Effect of various factors on sensitivity

由圖3b可知，當(dāng)圓面內(nèi)徑r不變時，質(zhì)量靈敏度隨著諧振元件高度H增大而減?。划?dāng)諧振元件高度H不變時，質(zhì)量靈敏度也隨圓面內(nèi)徑r增大，但是影響較高度變化較小。

由圖3c可知，諧振元件高度H不變時，質(zhì)量靈敏度隨著橢圓內(nèi)徑短軸長度L變化并不明顯；當(dāng)圓內(nèi)徑短軸長度H不變時，質(zhì)量靈敏度隨諧振元件高度H減小而增大，結(jié)果表明，諧振元件高度對質(zhì)量靈敏度影響最為顯著。

通過對影響因素三維曲面的分析可知，測量裝置的靈敏度受諧振元件高度和圓面內(nèi)徑影響顯著，其最優(yōu)結(jié)構(gòu)尺寸如表7所示。

表7 最優(yōu)結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)

根據(jù)響應(yīng)曲面優(yōu)化處理后，得到的諧振元件尺寸為高度80 mm，橢圓面內(nèi)徑短軸為1.68 mm，圓面內(nèi)徑為1.4 mm，在載荷為 0.1 mg時的靈敏度為2.0 Hz/mg，其優(yōu)化后諧振元件的靈敏度曲線如圖4所示。

圖4 最優(yōu)結(jié)構(gòu)靈敏度曲線Fig. 4 Optimal structure sensitivity curve

4 結(jié) 論

(1)通過有限元仿真分析得出，振蕩天平四種不同模型的固定端截面為橢圓，其模型對微量煙塵感應(yīng)更為靈敏，質(zhì)量靈敏度為0.3 Hz/mg。

(2)分析和優(yōu)化了模型Ⅳ的高度、固定端內(nèi)徑橢圓長度和振蕩端內(nèi)徑三個影響因素，得出高度為主要影響因素，振蕩端內(nèi)徑為次要影響因素，固定端內(nèi)徑對其靈敏度影響最小。諧振元件的最優(yōu)結(jié)構(gòu)尺寸高度為80 mm，橢圓面內(nèi)徑短軸為1.68 mm，圓面內(nèi)徑為1.4 mm，與優(yōu)化前的模型Ⅳ相比，質(zhì)量靈敏度提升了6.6倍。

(3)在最優(yōu)結(jié)構(gòu)下仿真分析了質(zhì)量0.1～5.0 mg的載荷，得出最優(yōu)尺寸下的諧振元件在0.1～5.0 mg載荷內(nèi)具有較高的靈敏度均在1.94 Hz/mg以上，保證了振蕩天平測量裝置的精度。