基于Van der Pol方程的雙脈沖射流控制機(jī)理研究

陸惟煜，李秋鋒，傅 鑫

(1.南京工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)學(xué)院, 南京 211800; 2.中國飛行試驗(yàn)研究院, 西安 710089; 3.南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院, 南京 210016)

壓氣機(jī)是航空發(fā)動(dòng)機(jī)中的核心部件之一，提高壓氣機(jī)負(fù)荷是提高航空發(fā)動(dòng)機(jī)推重比的有效途徑。在目前的材料及氣動(dòng)設(shè)計(jì)水平下，提高壓氣機(jī)負(fù)荷面臨著流動(dòng)分離風(fēng)險(xiǎn)，需要引入高效的流動(dòng)控制手段對流動(dòng)分離加以抑制。

由于非定常流動(dòng)控制相比定常方法能大幅節(jié)約能量注入[1]，因此其作為流動(dòng)控制領(lǐng)域的前沿方向，受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。針對非定常流動(dòng)控制技術(shù)的研究主要分為3個(gè)方面：一是流動(dòng)控制措施的研究，目前的流動(dòng)控制措施主要包括聲波激勵(lì)[2]、合成射流[3]、脈沖射流[4]、振動(dòng)壁面[5]、等離子體激勵(lì)[6]等，這部分研究主要針對激勵(lì)器(產(chǎn)生非定常激勵(lì)的裝置)結(jié)構(gòu)形式、自身特性進(jìn)行研究；二是針對各種流動(dòng)控制方式參數(shù)的優(yōu)化及流場相應(yīng)特性的研究[1]，研究通常將流場視為黑盒子，采用數(shù)值模擬(如采用URANS[7])或?qū)嶒?yàn)的手段獲取流場控制的總體效果(總壓損失、升阻比等參數(shù))與激勵(lì)參數(shù)間現(xiàn)象層面的關(guān)系，并對激勵(lì)參數(shù)進(jìn)行定量層面的優(yōu)化；三是針對非定常流動(dòng)控制更深層次的機(jī)理研究，若將非定常激勵(lì)視為對流動(dòng)不穩(wěn)定性的利用，通?？梢圆捎镁€性穩(wěn)定性理論中的經(jīng)典穩(wěn)定性分析(平行流O-S方程)[8]或二維全局不穩(wěn)定性(bi-global)分析[9]預(yù)測最佳激勵(lì)頻率，若將非定常激勵(lì)視為與流動(dòng)非定常擬序結(jié)構(gòu)發(fā)生了相干作用，通常可以采用POD[10]或DMD[11]方法分析激勵(lì)作用前后流動(dòng)擬序結(jié)構(gòu)的變化，這些基于簡化模型或擬序結(jié)構(gòu)分析的方法不再將流場視為黑盒子，從而能夠獲得一定的流場控制內(nèi)在機(jī)理。

本文研究針對上述非定常流動(dòng)控制技術(shù)的第二、三方面展開。即針對現(xiàn)存非定常流動(dòng)控制技術(shù)進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，以期提升控制效果；以及針對非定常流動(dòng)控制理論模型欠缺及流動(dòng)控制機(jī)理不明的問題，發(fā)展簡化的非定常流動(dòng)控制模型，揭示流動(dòng)控制機(jī)制。具體而言，在常規(guī)的單脈沖射流技術(shù)的基礎(chǔ)上，探索了雙脈沖射流的參數(shù)選取規(guī)律，并基于流動(dòng)的弱非線性穩(wěn)定性理論，發(fā)展了適合于雙脈沖射流的受迫Van der Pol模型，以用于初步解釋雙脈沖射流流動(dòng)控制特性，揭示雙脈沖射流流動(dòng)控制的機(jī)制，為后續(xù)非定常流動(dòng)控制技術(shù)的參數(shù)設(shè)計(jì)及機(jī)理研究提供理論參考。

1 理論模型與數(shù)值模擬方法

1.1 理論模型推導(dǎo)

首先針對雙脈沖射流流動(dòng)控制建立簡化的理論分析模型，用于指導(dǎo)雙脈沖射流的參數(shù)設(shè)計(jì)并揭示流動(dòng)控制機(jī)理。由于非定常流動(dòng)控制與流動(dòng)不穩(wěn)定性密切相關(guān)[12]，線性穩(wěn)定性理論盡管發(fā)展較為成熟，卻只能反映不穩(wěn)定波演化的初始階段，不能反映不穩(wěn)定波的飽和階段和旋渦卷起的過程。采用弱非線性流動(dòng)穩(wěn)定性理論中的S-L模型，該模型能近似反映不穩(wěn)定波的飽和及受外界激勵(lì)作用下的響應(yīng)[13]。

流動(dòng)分離中的大尺度分離渦由流動(dòng)不穩(wěn)定性產(chǎn)生，主導(dǎo)頻率不穩(wěn)定波的演化方程可表達(dá)為：

u(t)=A(t)sin(ω0t)

(1)

式中，A(t)為擾動(dòng)幅值，ω0為擾動(dòng)波頻率。根據(jù)S-L理論[14]，擾動(dòng)幅值的演化方程為：

(2)

(3)

將式(2)及其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)代入式(3)可得：

(4)

(5)

該方程即為自由Van der Pol方程[15]，其在初始擾動(dòng)下能產(chǎn)生一定頻率的自激運(yùn)動(dòng)，和流動(dòng)不穩(wěn)定性的物理本質(zhì)相一致。對于雙脈沖射流而言，擾動(dòng)波的演化發(fā)展受外界周期性激勵(lì)的作用，該作用可等效為在自由Van der Pol方程中增加2個(gè)受迫項(xiàng)，如下所示：

(6)

其中：Ae、ωe和φe分別表征外界周期性激勵(lì)(此處為脈沖射流)的幅值、角頻率和相位，下標(biāo)1、2則用于區(qū)分雙脈沖射流。為了便于分析，可將上式無量綱化，得到：

(7)

2.2 模型參數(shù)與評價(jià)指標(biāo)

最后，為了將模型和實(shí)際流動(dòng)控制相聯(lián)系，需要引入模型的評價(jià)指標(biāo)。通常在實(shí)際流場中引入總壓損失系數(shù)評價(jià)流動(dòng)品質(zhì)，由于該模型具有不穩(wěn)定性，在以K-H流動(dòng)不穩(wěn)定性為主導(dǎo)特征的自由剪切流中，常用卷入比衡量剪切流主導(dǎo)渦結(jié)構(gòu)對高、低速主流間動(dòng)量的傳遞率[1]。參考卷入比的概念，本文引入擾動(dòng)波的有效值(均方根)的概念，其定義如下：

(8)

該式反映了利用流動(dòng)不穩(wěn)定性對動(dòng)量的輸送程度。該值越高，通常流動(dòng)控制效果越好(分離區(qū)的低能流得到更多主流的動(dòng)量補(bǔ)充)，為了和實(shí)際流動(dòng)的總壓損失系數(shù)變化趨勢相一致，模型采用δ的相對減少量作為評價(jià)指標(biāo)：

(9)

式中：δn和δc分別為無控和有控情形下模型的δ值。δ的具體計(jì)算首先利用Matlab軟件求解不同參數(shù)下式(7)所示非線性常微分方程，再依據(jù)式(8)計(jì)算δ的具體數(shù)值，從而制作δ隨各個(gè)激勵(lì)參數(shù)的變化曲線。

2.3 物理模型與計(jì)算方法

本文基于典型具有分離流動(dòng)的二維擴(kuò)壓通道，對雙脈沖射流流動(dòng)控制下通道內(nèi)部流動(dòng)進(jìn)行了非定常數(shù)值模擬研究，以獲得不同射流參數(shù)下雙脈沖射流的流動(dòng)控制特性，并與基于Van der Pol方程的理論模型進(jìn)行對比分析。

擴(kuò)壓通道的幾何造型如圖1所示，其包含進(jìn)口段、彎曲擴(kuò)張段(仿葉片段)及出口段，進(jìn)、出口寬度分別為34.3 mm和55 mm，彎曲段長(仿葉片弦長)為80 mm。在通道進(jìn)口馬赫數(shù)為0.1時(shí)，彎曲段背風(fēng)側(cè)出現(xiàn)流動(dòng)分離，雙脈沖射流即針對該流動(dòng)分離進(jìn)行抑制。

此外，本文在數(shù)值模擬中采用相對總壓損失系數(shù)評價(jià)流動(dòng)控制效果(與模型的評價(jià)指標(biāo)-δ相對應(yīng))。其中，通道的總壓損失系數(shù)的定義為：

(10)

(11)

其中：ωn和ωc分別為無控和有控情形下通道的總壓損失系數(shù)。

圖1 擴(kuò)壓通道及雙脈沖射流示意圖

2 結(jié)果分析與討論

2.1 無控特性

無控情形擴(kuò)壓通道的瞬時(shí)渦量云圖如圖2所示。

圖2 無控情形下具有流動(dòng)分離彎曲擴(kuò)壓通道模型

此外，無控狀態(tài)下理論模型與擴(kuò)壓通道分離區(qū)數(shù)值模擬監(jiān)測點(diǎn)處靜壓的FFT(快速傅里葉變換)頻譜圖如圖3所示。其中，數(shù)值模擬結(jié)果已進(jìn)行了無量綱處理?？梢钥闯?，理論模型與數(shù)值模擬結(jié)果都具有一個(gè)突出的主頻(無量綱頻率為1)，但數(shù)值模擬中除主頻外的雜頻相對理論模型更為突出。這是由于實(shí)際流動(dòng)的復(fù)雜性所致，理論模型的模化作用則起到過濾這些雜頻，僅保留與非定常流動(dòng)控制密切相關(guān)的主導(dǎo)流動(dòng)模式的目的。

圖3 無控情形下數(shù)值模擬及模型產(chǎn)生的頻譜圖

因此，非受迫Van der Pol理論模型可以粗略地與實(shí)際非定常分離流發(fā)展的3個(gè)階段相對應(yīng)。這樣施加合理表征外激勵(lì)項(xiàng)的受迫Van der Pol理論模型有望描述脈沖射流流動(dòng)控制的現(xiàn)象及機(jī)制。

2.2 有控頻率特性

如圖4所示，數(shù)值模擬的結(jié)果表明：控制效果在脈沖射流折合頻率為1時(shí)最好，流動(dòng)損失減少量達(dá)到9.2%，而其他激勵(lì)頻率下，總壓損失變化量約在-3%～3%，控制效果較差，甚至有負(fù)效果。理論模型有著類似的預(yù)測結(jié)果，在激勵(lì)折合頻率為1時(shí)，損失減少量達(dá)到8.8%，而在其他激勵(lì)頻率下，損失變化量約在±1%之間。上述分析表明，脈沖射流的最佳激勵(lì)頻率與流場自然頻率或系統(tǒng)主頻密切相關(guān)，具有該頻率的激勵(lì)能更好地利用流動(dòng)不穩(wěn)定性達(dá)到流動(dòng)控制目的。

圖4 不同頻率下的相對損失系數(shù)(數(shù)值模擬及模型結(jié)果)

2.3 有控相位特性

如圖5所示，數(shù)值模擬與理論模型結(jié)果的總體趨勢吻合得較好，都反映出雙脈沖射流在同相時(shí)(Δφe=Δφe2-Δφe1≈0)控制效果最佳，而在反相時(shí)(Δφe≈±π)控制效果最差。在本文算例中，雙脈沖射流相距位置較近，該結(jié)果表明：脈沖射流存在類似波的干涉效應(yīng)，同相位脈沖射流能發(fā)生疊加，從而產(chǎn)生更好的控制效果，而反相位脈沖射流則發(fā)生相消，使激勵(lì)的非定常性減弱，從而無法利用非定常流動(dòng)控制“四兩撥千斤”的效應(yīng)。從數(shù)值模擬和理論模型中也可看出，在反相工況附近，控制效果接近零。

雙脈沖射流的相位特性表明了非定常流動(dòng)控制多個(gè)激勵(lì)作動(dòng)器間相位差控制的重要性，設(shè)計(jì)原則應(yīng)使激勵(lì)相疊加，而非抵消。

圖5 雙射流不同相位差下的相對損失系數(shù)(數(shù)值模擬及模型結(jié)果)

2.4 單、雙脈沖射流對比及機(jī)理分析

本節(jié)重點(diǎn)分析雙射流由于作用位置差異帶來的影響。如表1所示，分別布置于分離點(diǎn)前后、折合頻率為1的同相雙脈沖射流(如圖1所示)可產(chǎn)生9.2%的總壓損失減少。而布置于分離點(diǎn)處、動(dòng)量系數(shù)為雙脈沖射流之和、折合頻率為1的單脈沖射流只能產(chǎn)生5.4%的總壓損失減少。這說明，由于雙脈沖射流前后布置，其不能完全等效為單脈沖射流，雙脈沖射流前、后的布置關(guān)系會帶來額外的控制效果增益。

圖6 無控、單射流、雙射流情形下模型的時(shí)域曲線

表1 單射流與雙射流對比

3 結(jié)論

1) 提出了一種帶兩個(gè)受迫項(xiàng)的基于Van der Pol方法的理論模型，用以刻畫雙脈沖射流流動(dòng)控制的頻率特性及相位特性。理論和數(shù)值模擬均表明：布置于分離點(diǎn)附近的雙脈沖射流折合頻率為1，且相位相同時(shí)控制效果最佳。

2) 結(jié)合理論模型和數(shù)值模擬，本文認(rèn)為雙脈沖射流流動(dòng)控制機(jī)制如下：頻率特性表明，脈沖射流激勵(lì)需利用分離流主導(dǎo)頻率表征的不穩(wěn)定性增強(qiáng)不穩(wěn)定渦結(jié)構(gòu)；相位特性表明，雙脈沖射流間會發(fā)生相干作用，同相相疊加，異相相抵消；此外，雙脈沖射流依靠上游射流的預(yù)同步機(jī)制，使射流更高效地向不穩(wěn)定渦結(jié)構(gòu)注入能量，利用該渦結(jié)構(gòu)將主流動(dòng)量傳遞至分離區(qū)，以達(dá)到抑制流動(dòng)分離的目的。