基于粒子群算法的改進(jìn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

張錦東， 郭小農(nóng)， 羅曉群， 張玉建， 徐洪俊,2

(1. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092； 2. 國(guó)網(wǎng)江蘇省電力工程咨詢(xún)有限公司，南京 210000)

以研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性為目標(biāo)的振動(dòng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法是近年來(lái)工程領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。傳統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法通?；谝阎Y(jié)構(gòu)的輸入和輸出實(shí)現(xiàn)對(duì)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別，此類(lèi)方法受到現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)條件和結(jié)構(gòu)規(guī)模的限制。相對(duì)地，另一類(lèi)基于輸出的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法僅根據(jù)系統(tǒng)輸出進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，在交通、土木、機(jī)械、航空航天領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。

基于輸出的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法在近幾十年來(lái)快速發(fā)展，環(huán)境激勵(lì)下的基于輸出的頻域[2]和時(shí)域[3-4]模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法得到了廣泛的應(yīng)用并取得了良好的效果，此類(lèi)方法多用于激勵(lì)近似為白噪音或平穩(wěn)激勵(lì)的情況。近年來(lái)，一類(lèi)基于小波變換[5]或Hilbert變換的時(shí)頻分析方法被應(yīng)用于基于輸出的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中。Huang等[6]提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition，EMD)和Hilbert-黃變換(Hilbert-Huang transform,HHT)實(shí)現(xiàn)了對(duì)復(fù)雜信號(hào)的瞬時(shí)特征提取以及對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的分析，但是在處理密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的頻率混疊、窄帶信號(hào)以及信號(hào)間歇性波動(dòng)等方面仍有不足。Chen等[7]提出的解析模態(tài)分解(analytical mode decomposition，AMD)與經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解具有相同的功能，并克服了經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解中存在的不足，在結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別中得到一定應(yīng)用，并成功進(jìn)行了密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別[8]。

現(xiàn)有的基于Hilbert變換的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法通常將模態(tài)試驗(yàn)中處理得到的多模態(tài)振動(dòng)衰減信號(hào)進(jìn)行分離，得到一系列時(shí)域單模態(tài)衰減信號(hào)后進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。此類(lèi)方法中調(diào)用一次或多次Hilbert變換，存在邊界效應(yīng)明顯、對(duì)噪聲敏感、邊界分割頻率對(duì)單分量信號(hào)的分離效果影響較大等問(wèn)題。為此，本文結(jié)合奇異值分解、解析模態(tài)分解、自回歸功率譜和粒子群算法提出了一種可用于密集模態(tài)信號(hào)在強(qiáng)噪聲干擾下的改進(jìn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。

本文首先介紹了基于粒子群算法的改進(jìn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，并改變?cè)肼晱?qiáng)度、頻率密集程度、阻尼比對(duì)模擬多模態(tài)振動(dòng)衰減信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別來(lái)驗(yàn)證本文方法的有效性，最后采用本文提出的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法對(duì)數(shù)值模擬結(jié)構(gòu)和實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。結(jié)果表明，本文提出的方法具有較高的識(shí)別精度，可實(shí)現(xiàn)在強(qiáng)噪聲干擾下的大阻尼、密集頻率信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

1 模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法

1.1 奇異值分解降噪

結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別前，對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪以減小識(shí)別誤差。奇異值分解方法已被證明在信號(hào)降噪中是有效的，并且該方法可用于被白噪聲或者有色噪聲污染的信號(hào)降噪中。此方法的基本原理如下：

假設(shè)含有噪聲的信號(hào)如式(1)所示

y=[y1,y2,y3,…,yn]

(1)

基于相空間重構(gòu)理論，將式(1)的信號(hào)構(gòu)造為p×q階Hankel矩陣

(2)

式中，N為信號(hào)長(zhǎng)度，N=p+q-1，且p≥q。

對(duì)Hm進(jìn)行奇異值分解得到

Hm=UΣVT

(3)

式中，U和VT分別為p×p和q×q矩陣;Σ為式(4)所表達(dá)的p×q的對(duì)角矩陣

Σ=diag(λ1,λ2,…，λk)

(4)

式中，λ1,λ2,…,λk為矩陣Hm的奇異值，且λ1≥λ2≥…≥λk≥0。

采用奇異值分解降噪的關(guān)鍵問(wèn)題是選定重構(gòu)矩陣的維數(shù)和有效秩的階數(shù)。工程應(yīng)用中通常取重構(gòu)矩陣的維數(shù)p=N/2。土木工程結(jié)構(gòu)的自振頻率在振動(dòng)曲線的頻響函數(shù)中會(huì)出現(xiàn)明顯的峰值，根據(jù)此性質(zhì)和文獻(xiàn)[9]的研究成果，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行奇異值分解降噪時(shí)可取有效秩的階數(shù)等于源振動(dòng)信號(hào)中主頻個(gè)數(shù)的2倍。

1.2 解析模態(tài)分解法

Chen等提出的解析模態(tài)分解在處理密集模態(tài)結(jié)構(gòu)的頻率混疊、窄帶信號(hào)以及信號(hào)間歇性波動(dòng)等方面比經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解具有更好的效果。該方法結(jié)合Hilbert變換實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別和模態(tài)參數(shù)時(shí)變特性分析[10]，具有廣泛的應(yīng)用空間。

0≤ω1<ωb1<ω2<ωb2…<ωi<ωbi<ωi+1…<ωn-1<ωb(n-1)<ωn

(5)

由此，原始信號(hào)x(t)可分解為一系列單頻信號(hào)，分解過(guò)程由式(6)和式(7)給出

si(t)=sin(ωbit)H[x(t)cos(ωbit)]-

cos(ωbit)H[x(t)sin(ωbit)],

(i=1,2,3,…,n-1)

(6)

(7)

式中，H[·]為Hilbert變換。

對(duì)多個(gè)密集頻率信號(hào)疊加的復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解時(shí)，解析模態(tài)分解法首先構(gòu)造一對(duì)具有相同特定時(shí)變頻率的正交函數(shù)，并將該正交時(shí)變函數(shù)與原信號(hào)的乘積進(jìn)行Hilbert變換，分解出在頻率時(shí)間平面內(nèi)低于正交函數(shù)時(shí)變頻率的任意信號(hào)。利用AMD法可將多模態(tài)信號(hào)分解為一系列只含單模態(tài)特征的子信號(hào)。

在結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗(yàn)中，外界沖擊荷載激勵(lì)下多模態(tài)的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)經(jīng)解析模態(tài)分解后可被直接分解為一系列單模態(tài)自由衰減振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)；環(huán)境激勵(lì)下的多模態(tài)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)經(jīng)解析模態(tài)分解后可得到一系列單模態(tài)特征的子信號(hào)，此時(shí)可利用隨機(jī)減量技術(shù)消除子信號(hào)中隨機(jī)響應(yīng)的影響，得到單模態(tài)自由衰減響應(yīng)信號(hào)。

采用解析模態(tài)分解得到第j階模態(tài)的單頻信號(hào)xj(t)后，可構(gòu)造解析信號(hào)yj(t)

yj(t)=xj(t)+iH[xj(t)]=Aj(t)·e-iθj(t)

(8)

通過(guò)式(8)可得到t時(shí)刻的振幅Aj(t)和相位θj(t)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論可知，單模態(tài)自由振動(dòng)衰減響應(yīng)信號(hào)可表示為

A0e-ξjωjtcos(ωd,jt+φj)

(9)

對(duì)比式(8)和式(9)，若令

θj(t)=ωd,jt+φj

(10)

則可根據(jù)解析信號(hào)yj(t)的瞬時(shí)相位函數(shù)θj(t)按式(11)得到結(jié)構(gòu)第j階有阻尼固有頻率

(11)

同理，對(duì)比式(8)和式(9)，可構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)

A(t)=A0e-αjt=A0e-ξjωjt

(12)

則可根據(jù)解析信號(hào)yj(t)的瞬時(shí)振幅函數(shù)Aj(t)，擬合得到對(duì)數(shù)函數(shù)A(t)的指數(shù)

αj=ξjωj

(13)

對(duì)于實(shí)際土木工程結(jié)構(gòu)，阻尼比通常小于5%，因此采用有阻尼固有頻率ωd,j代替無(wú)阻尼固有頻率ωj能夠滿足計(jì)算精度要求，則結(jié)構(gòu)的各階模態(tài)阻尼比為

ξj=αj/ωd,j

(14)

由于Hilbert變換導(dǎo)致端部的頻率泄露在式(12)的擬合過(guò)程中將產(chǎn)生明顯誤差，在式(5)～式(14)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別過(guò)程中，Hilbert變換前可采用鏡像沿拓[11]抑制Hilbert變換產(chǎn)生的邊界效應(yīng)。

1.3 自回歸功率譜

對(duì)于離散的振動(dòng)信號(hào)而言，傳統(tǒng)的傅里葉變換存在頻譜泄露問(wèn)題，信號(hào)中存在的噪聲或非平穩(wěn)部分會(huì)導(dǎo)致傅里葉譜出現(xiàn)扭曲。此時(shí)可采用不涉及時(shí)頻轉(zhuǎn)化過(guò)程的參數(shù)化模型功率譜估計(jì)方法替代傅里葉譜。AR模型譜估計(jì)是功率譜估計(jì)的核心方法，采用AR模型譜代替傅里葉譜可更準(zhǔn)確地確定功率譜峰值和解析模態(tài)分解的邊界分割頻率。將AR模型譜與小波變換[12]、解析模態(tài)分解[13]等結(jié)合，可明顯提升模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。

采用式(15)所示的AR模型表示信號(hào)x(n)

(15)

(16)

則信號(hào)x(n)的自回歸功率譜PAR(ejw)可由式(17)計(jì)算

(17)

由于Burg法[14]通過(guò)分析觀測(cè)數(shù)據(jù)得到需要的模型參數(shù)，無(wú)需求解計(jì)算量較大的自相關(guān)函數(shù)，下文的AR模型譜估計(jì)使用Burg法。

1.4 粒子群算法

基于自回歸功率譜選取合理邊界分割頻率的前提下，采用式(5)～式(14)可較準(zhǔn)確地分離信號(hào)、識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)。實(shí)際結(jié)構(gòu)的阻尼通常具有振幅相關(guān)性，在實(shí)測(cè)中不同的結(jié)構(gòu)振幅將導(dǎo)致不同的阻尼比，因此實(shí)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的各單分量模態(tài)振動(dòng)信號(hào)帶寬并不完全相同。對(duì)于阻尼比未知的密集頻率信號(hào)，解析模態(tài)分解中采用相對(duì)較窄的邊界分割頻率可能導(dǎo)致某階模態(tài)信號(hào)未完全被截取，而采用相對(duì)較寬的邊界分割頻率可能會(huì)截取到相鄰模態(tài)信號(hào)和較多噪聲信號(hào)。選取不合適的邊界分割頻率將導(dǎo)致分解出的時(shí)域曲線的形狀畸變，影響模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果。針對(duì)此，采用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法AMD方法中的邊界分割頻率來(lái)得到最優(yōu)化的振動(dòng)衰減曲線，以進(jìn)一步識(shí)別結(jié)構(gòu)的自振頻率和阻尼比。

PSO-AMD的聯(lián)合模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法如下。首先根據(jù)振動(dòng)信號(hào)的自回歸功率譜圖采用峰值拾取法確定結(jié)構(gòu)前D階有阻尼自振頻率ω=[ω1，ω2，…,ωD]T。然后建立一個(gè)D維搜索空間，該空間中有n個(gè)粒子組成的種群D=(D1,D2,…,Dn)。種群中的第i個(gè)粒子代表一個(gè)D維向量Di=[di1,di2,…,diD]T，該向量中的元素dij則代表第i個(gè)粒子中結(jié)構(gòu)第j階模態(tài)的邊界分割頻率截?cái)鄮?。由此可確定AMD方法的邊界分割頻率可表示為

(18)

各粒子的適應(yīng)度值可由解析模態(tài)分解分離所得的信號(hào)xj(t)和剔除此信號(hào)的其余信號(hào)xk(t)=x(t)-xj(t)的相關(guān)系數(shù)計(jì)算得出。若xj(t)被完全分離，則xj(t)和xk(t)的相關(guān)系數(shù)最小。每個(gè)粒子的適應(yīng)度值均可表示為Ri=[Ri1,Ri2,…,RiD]T，該粒子的對(duì)應(yīng)速度為Vi=[Vi1,Vi2,…,ViD]T，對(duì)應(yīng)個(gè)體極值為Pi=[Pi1,Pi2,…,PiD]T，此種群的全局極值為Pg=[Pg1,Pg2,…,PgD]T。

迭代過(guò)程中，粒子更新速度和位置更新公式如式(19)和式(20)所示

(19)

(20)

式中：w為慣性權(quán)重；k為迭代次數(shù)；c為加速度因子；r為分布于[0,1]的隨機(jī)數(shù)。

盡管在密集頻率信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別中可以不斷人為調(diào)整AMD方法的截?cái)囝l率分解出完整的單模態(tài)信號(hào)，得到準(zhǔn)確的識(shí)別結(jié)果，然而由于事先并不確定最優(yōu)化的邊界分割頻率，這類(lèi)調(diào)整可能影響最終識(shí)別結(jié)果。將PSO方法與AMD方法結(jié)合，使邊界分割頻率可自適應(yīng)地調(diào)整，從而提升識(shí)別效率和識(shí)別精度。

1.5 模態(tài)參數(shù)識(shí)別步驟

綜合1.1節(jié)～1.4節(jié)，對(duì)多模態(tài)振動(dòng)衰減曲線的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法步驟如下：

步驟1根據(jù)振動(dòng)曲線的自回歸功率譜確定振動(dòng)信號(hào)的主頻數(shù)i和初始邊界分割頻率，根據(jù)主頻數(shù)確定奇異值分解階數(shù)2i，采用奇異值分解對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理；

步驟2調(diào)用1.4節(jié)中的粒子群優(yōu)化算法確定前j階單模態(tài)振動(dòng)曲線的最優(yōu)邊界分割頻率，優(yōu)化目標(biāo)為分離所得單模態(tài)信號(hào)與原信號(hào)中剔除該信號(hào)所得的信號(hào)相關(guān)度最低；

步驟3采用步驟2中的最優(yōu)邊界分割頻率調(diào)用解析模態(tài)分解法獲取單模態(tài)衰減曲線并進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，獲取結(jié)構(gòu)前j階阻尼比、自振頻率。

基于Hilbert變換的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法對(duì)噪聲敏感，較強(qiáng)的噪聲影響模態(tài)參數(shù)的識(shí)別結(jié)果。受外界環(huán)境的干擾，實(shí)際模態(tài)試驗(yàn)中采集的信號(hào)信噪比可能較低，識(shí)別效果不佳。本文提出的方法理論上可實(shí)現(xiàn)低信噪比下白噪聲或有色噪聲信號(hào)的降噪，將PSO方法和AMD方法結(jié)合可自適應(yīng)地對(duì)邊界分割頻率進(jìn)行調(diào)整，提升模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度。

2 模擬信號(hào)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

結(jié)構(gòu)模態(tài)試驗(yàn)中一類(lèi)常見(jiàn)的測(cè)試方法是對(duì)結(jié)構(gòu)施加一定的激勵(lì)后獲取結(jié)構(gòu)的自由衰減振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)自由衰減振動(dòng)曲線進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。為了驗(yàn)證本文提出的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的有效性，構(gòu)造式(21)所示的振動(dòng)衰減信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別

(21)

下文分別改變?cè)肼晱?qiáng)度、頻率密集程度和信號(hào)阻尼比，采用了三種方法進(jìn)行信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別：方法1——僅采用解析模態(tài)分解法進(jìn)行信號(hào)分離，對(duì)單模態(tài)信號(hào)進(jìn)行識(shí)別，邊界分割頻率按Chen等的研究取兩個(gè)主頻信號(hào)的二分位置；方法2——利用粒子群算法優(yōu)化邊界分割頻率后，采用解析模態(tài)分解法進(jìn)行信號(hào)分離，對(duì)單模態(tài)信號(hào)進(jìn)行識(shí)別；方法3——采用本文提出的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

2.1 不同噪聲強(qiáng)度下模態(tài)參數(shù)識(shí)別

按照式(21)形式給出一條包含三個(gè)主頻、時(shí)長(zhǎng)為50 s、采樣頻率100 Hz的模擬振動(dòng)衰減信號(hào)(單位mV)，模擬振動(dòng)衰減信號(hào)的主要參數(shù)，如表1所示。在此衰減信號(hào)中加入不同強(qiáng)度的白噪聲，使信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)分別為-6 dB，-2 dB，2 dB，6 dB，10 dB。圖1中僅展示在-6 dB信噪比下振動(dòng)衰減時(shí)程曲線、自回歸功率譜和采用方法3分離的單模態(tài)衰減振動(dòng)曲線。

圖1 原信號(hào)和單模態(tài)信號(hào)Fig.1 Original signal and single mode signal

表1 模態(tài)參數(shù)理論值Tab.1 Theoretical values of modal parameters

采用方法1、方法2、方法3識(shí)別得到的自振頻率和阻尼比識(shí)別結(jié)果，如表2所示。自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差折線圖，如圖2所示，圖例中1-2代表采用方法1對(duì)第2階模態(tài)參數(shù)的識(shí)別誤差，依次類(lèi)推。圖2中，三種方法對(duì)自振頻率的識(shí)別結(jié)果誤差均保持在5%以?xún)?nèi)；方法1和方法2在信噪比小于-2 dB時(shí)對(duì)阻尼比的識(shí)別產(chǎn)生了超過(guò)10%的誤差，較強(qiáng)的噪聲影響了單模態(tài)信號(hào)的分離效果；方法3在信噪比為-6 dB的強(qiáng)噪聲環(huán)境中仍保持了較高的阻尼比識(shí)別精度。在信噪比大于6 dB時(shí)三種方法的識(shí)別誤差相近。

表2 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.2 Identification results of modal parameters

圖2 模態(tài)參數(shù)識(shí)別誤差Fig.2 Error of modal parameter identification

對(duì)圖1(a)的振動(dòng)衰減信號(hào)添加有色噪聲，驗(yàn)證在有色噪聲干擾下本文方法的識(shí)別效果。有色噪聲由強(qiáng)度為20 dB的高斯白噪聲ξ1(n)和幅值為2 mV的白噪聲ξ2(n)按式(22)組合而成

(22)

將式(22)的有色噪聲加入表1的振動(dòng)衰減曲線中，有色噪聲信號(hào)、含色噪聲信號(hào)、自回歸功率譜和方法3分離的單模態(tài)衰減信號(hào)，如圖3所示。對(duì)含有色噪聲的衰減信號(hào)識(shí)別結(jié)果和誤差，如表3所示。表3中，方法3自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差均小于5%，在較強(qiáng)有色噪聲干擾下本文提出的方法依然可以較好地實(shí)現(xiàn)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別精度。

圖3 原信號(hào)和單模態(tài)信號(hào)Fig.3 Original signal and single mode signal

表3 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.3 Identification results of modal parameters

2.2 不同阻尼比下模態(tài)參數(shù)識(shí)別

保持振動(dòng)衰減信號(hào)的自振頻率f、初始振幅A0和相位φ與表1相同；并在信號(hào)中加入高斯白噪聲，保持信號(hào)信噪比為2 dB。分別取各階模態(tài)阻尼比為0.5%，1%，2%，3%，4%，以驗(yàn)證不同阻尼比下模態(tài)參數(shù)識(shí)別效果。限于篇幅，圖4中僅展示在模態(tài)阻尼比為4%時(shí)的振動(dòng)衰減時(shí)程曲線、自回歸功率譜和采用方法3分離的單模態(tài)衰減振動(dòng)曲線。

圖4 原信號(hào)和單模態(tài)信號(hào)Fig.4 Original signal and single mode signal

采用方法1、方法2、方法3的自振頻率和阻尼比識(shí)別結(jié)果，分別如表4和表5所示。自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差折線圖，如圖5所示，圖中1-2代表采用方法1對(duì)第2階模態(tài)參數(shù)的識(shí)別誤差，依次類(lèi)推。圖5中，三種方法對(duì)自振頻率的識(shí)別誤差相差不大，均保持在4%以?xún)?nèi)。隨著阻尼比的增加，各個(gè)方法對(duì)于阻尼比的識(shí)別誤差均呈現(xiàn)增大趨勢(shì)，這是由于振動(dòng)曲線衰減較快導(dǎo)致擬合衰減曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)不足。相對(duì)而言，本文提出的方法3對(duì)于阻尼比識(shí)別精度高于方法1和方法2，誤差保持在5%以?xún)?nèi)。當(dāng)衰減信號(hào)阻尼較大(>3%)時(shí)，方法3也可較準(zhǔn)確地識(shí)別大阻尼衰減信號(hào)的模態(tài)參數(shù)。

表4 自振頻率識(shí)別結(jié)果Tab.4 Identification results of natural frequency

表5 阻尼比識(shí)別結(jié)果Tab.5 Identification results of damping ratio %

圖5 模態(tài)參數(shù)識(shí)別誤差Fig.5 Error of modal parameter identification

2.3 不同頻率密集度下模態(tài)參數(shù)識(shí)別

在振動(dòng)衰減曲線中加入高斯白噪聲，保持信號(hào)信噪比為2 dB，判斷不同頻率密集度下模態(tài)參數(shù)識(shí)別效果。頻率密集度δ=(fi-fi-1)/(fi+fi-1)[15]。衰減曲線的各階自振頻率和阻尼比，如表6所示，初始振幅A0和相位φ與表1相同。圖6中僅展示在δ=0.03時(shí)的振動(dòng)衰減時(shí)程曲線、自回歸功率譜和采用方法3分離的單模態(tài)衰減振動(dòng)曲線。

表6 模態(tài)參數(shù)理論值Tab.6 Theoretical values of modal parameters

圖6 原信號(hào)和單模態(tài)信號(hào)Fig.6 Original signal and single mode signal

采用方法1、方法2、方法3的自振頻率和阻尼比識(shí)別結(jié)果，如表7所示。自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差折線圖，如圖7所示，圖中1-2代表采用方法1對(duì)第2階模態(tài)參數(shù)的識(shí)別誤差，依次類(lèi)推。圖7中，當(dāng)頻率較為密集時(shí)，兩個(gè)模態(tài)間的相互影響作用增強(qiáng)，各個(gè)方法的分離效果下降，誤差增加，隨著頻率密集程度的減小，自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差減小。本文提出的方法在密集度δ=0.03時(shí)對(duì)自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差仍保持在4%以?xún)?nèi)，實(shí)現(xiàn)了較準(zhǔn)確的識(shí)別。

表7 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.7 Identification results of modal parameters

圖7 模態(tài)參數(shù)識(shí)別誤差Fig.7 Error of modal parameter identification

3 結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

3.1 三自由度系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

建立一個(gè)圖8所示的三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，彈簧剛度和質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量如表8所示。數(shù)值模擬采用有限元分析軟件ANSYS19.0，采用Rayleigh阻尼模擬系統(tǒng)的阻尼特性，Rayleigh阻尼系數(shù)α=0.010 62，β=0.002 04。在0時(shí)刻對(duì)質(zhì)點(diǎn)3施加1 000 kN的沖擊荷載，并在響應(yīng)曲線中加入式(22)形式的有色噪聲，其中高斯白噪聲ξ1(n)強(qiáng)度為-150 dB，白噪聲ξ2(n)幅值為10-6m/s2。質(zhì)點(diǎn)1的有噪聲響應(yīng)曲線、自回歸功率譜、前3階單模態(tài)響應(yīng)曲線，如圖9所示。

圖8 三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)Fig.8 Three degree of freedom spring-mass system

圖9 原信號(hào)和單模態(tài)信號(hào)Fig.9 Original signal and single mode signal

表8 彈簧剛度和質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量Tab.8 Spring stiffness and mass of particles

三自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)自振頻率與阻尼比的理論值、識(shí)別值和識(shí)別誤差(以Ef和Eξ表示)如表9所示。表9中，自振頻率和阻尼比的識(shí)別誤差≤2%，本方法在較大有色噪聲干擾下仍取得了較好的識(shí)別效果。

表9 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.9 Identification results of modal parameters

3.2 球面空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

對(duì)圖10所示的球面空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)并采集節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)。測(cè)試人員在節(jié)點(diǎn)跳躍對(duì)結(jié)構(gòu)施加近似的豎向沖擊荷載，同時(shí)采集節(jié)點(diǎn)的豎向振動(dòng)響應(yīng)。激勵(lì)點(diǎn)位置和采集點(diǎn)位置,如圖11所示。測(cè)試中，在A1點(diǎn)施加豎向激勵(lì)，同時(shí)在1點(diǎn)采集節(jié)點(diǎn)響應(yīng)，依次進(jìn)行至在A10點(diǎn)施加豎向激勵(lì)，同時(shí)在10點(diǎn)采集節(jié)點(diǎn)響應(yīng)，共采集10條振動(dòng)衰減曲線。由于測(cè)試中外界環(huán)境和結(jié)構(gòu)附加設(shè)備的運(yùn)行對(duì)結(jié)構(gòu)造成影響，采集到的振動(dòng)衰減響應(yīng)曲線信噪比較低，采用本文的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法對(duì)響應(yīng)曲線進(jìn)行識(shí)別。

圖10 球面空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)Fig.10 Spherical reticulated spatial structures

圖11 激勵(lì)點(diǎn)和采集點(diǎn)Fig.11 Excitation positions and collection positions

采集點(diǎn)1處的振動(dòng)響應(yīng)曲線、自回歸功率譜、采用本文模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法得到的結(jié)構(gòu)前6階單模態(tài)響應(yīng)曲線，如圖12所示。依次對(duì)10條振動(dòng)衰減曲線進(jìn)行識(shí)別，各振動(dòng)衰減曲線的前6階自振頻率和模態(tài)阻尼比如表10所示。表11給出了文獻(xiàn)[16]中此結(jié)構(gòu)的前6階自振頻率和模態(tài)阻尼比均值，采用本文方法識(shí)別的自振頻率均值和模態(tài)阻尼比均值同時(shí)列于表11。表11中本文方法的識(shí)別結(jié)果與羅曉群等的識(shí)別結(jié)果基本一致，本文方法可在較低信噪比下識(shí)別密集頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率和阻尼比。

表10 曲線1～10模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Tab.10 Modal parameter identification results of curve 1-10

表11 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果均值Tab.11 Mean value of modal parameter identification results

4 結(jié) 論

本文針對(duì)多模態(tài)振動(dòng)衰減信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，提出了一種基于粒子群算法的改進(jìn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，改善了現(xiàn)有的基于Hilbert變換的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法存在的邊界效應(yīng)明顯、對(duì)噪聲敏感、邊界分割頻率對(duì)單分量信號(hào)的分離效果影響較大等問(wèn)題，可用于強(qiáng)噪聲干擾下密集頻率、大阻尼信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，并通過(guò)數(shù)值算例和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試驗(yàn)證了本文提出方法的有效性。得到結(jié)論如下：

(1) 現(xiàn)有的基于解析模態(tài)分解的傳統(tǒng)方法僅可實(shí)現(xiàn)較高信噪比條件下(>6 dB)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，本文提出的識(shí)別方法可實(shí)現(xiàn)在低信噪比(-6 dB)、有色噪聲環(huán)境下的模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確識(shí)別，具有更廣泛的應(yīng)用范圍。

(2) 隨著阻尼比增加，振動(dòng)曲線衰減較快導(dǎo)致擬合衰減曲線的數(shù)據(jù)點(diǎn)不足，基于衰減曲線的識(shí)別方法對(duì)阻尼比的識(shí)別精度呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，將信號(hào)準(zhǔn)確分離是實(shí)現(xiàn)具有較大阻尼比衰減信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別的關(guān)鍵。

(3) 隨著頻率密集度的增加，各模態(tài)的相互影響作用增強(qiáng)，阻尼比和自振頻率的識(shí)別精度呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。邊界分割頻率明顯影響密集頻率信號(hào)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別效果。本文提出的方法可尋找最優(yōu)邊界分割頻率，將各單模態(tài)信號(hào)準(zhǔn)確分離和識(shí)別。

(4) 本文提出的方法可用于低信噪比環(huán)境下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。