巧用數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)

眭亞燕 沈秋萍

數(shù)學(xué)思想方法揭示概念、原理、規(guī)律的本質(zhì)，是溝通基礎(chǔ)知識(shí)與能力的橋梁。通過(guò)學(xué)習(xí)平面圖形的認(rèn)識(shí)（一），我們了解了線段、射線、直線的概念、性質(zhì)以及三者間的關(guān)系，掌握了角、余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念及相關(guān)計(jì)算，認(rèn)識(shí)了平行和垂直。通過(guò)學(xué)習(xí)平面圖形的認(rèn)識(shí)（二），我們對(duì)直線和角的關(guān)系繼續(xù)進(jìn)行了深入研究，同時(shí)了解了圖形的平移的特征并學(xué)習(xí)了三角形的入門知識(shí)。下面，我們以“線段”“角”為例，談?wù)勅绾吻捎脭?shù)學(xué)思想解決問(wèn)題。

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想。

如圖1，已知線段a、b，求圖2中線段AB的長(zhǎng)。

求線段AB的長(zhǎng)，即求兩點(diǎn)之間的距離（數(shù)）。這個(gè)距離是一個(gè)數(shù)，而已知條件是圖形，這就需要我們正確地識(shí)別圖形（形），數(shù)形結(jié)合著思考。AB的長(zhǎng)為2a-b。

二、方程思想

方程思想的本質(zhì)即從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程），然后通過(guò)解方程（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。方程思想在解決線段問(wèn)題的時(shí)候是一個(gè)很重要的工具。

已知，如圖3，點(diǎn)C、D在線段AB上，且AC∶CD∶DB=2∶3∶4，如果AB=18，那么線段AD的長(zhǎng)是多少？

根據(jù)已知條件中的比值，設(shè)合理的未知數(shù)，列正確的方程，是解決本題的關(guān)鍵。因?yàn)锳C∶CD∶DB=2∶3∶4，故可設(shè)AC=2x，CD=3x，DB=4x，則AB=9x。又因?yàn)锳B=18，所以9x=18，解得x=2，故AD=2x+3x=5x=10。

三、整體思想

整體思想就是從問(wèn)題的整體性質(zhì)出發(fā)，對(duì)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)特征，用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，有目的、有意識(shí)地進(jìn)行整體處理的思想。

例如，如圖4，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，直線上有A、B、C、D四點(diǎn)。點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與A、B、C、D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有 個(gè)。

利用整體思想去思考線段的總條數(shù)是一種巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類。由題意知，當(dāng)P點(diǎn)經(jīng)過(guò)任意一條線段中點(diǎn)的時(shí)候會(huì)發(fā)出警報(bào)，這時(shí)，我們只要數(shù)出線段總條數(shù)即可。因?yàn)閳D中共有6條線段：DC、DB、DA、CB、CA、BA，所以發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有6個(gè)。

四、化歸思想（化未知為已知）

化歸思想的本質(zhì)在于將未知的、陌生的、復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)演繹、歸納，轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

如圖5，C、D是線段AB上的兩點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，若EF=m，CD=n，則AB= 。

我們可以利用中點(diǎn)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系。在不同的情況下，靈活選用中點(diǎn)性質(zhì)的表示方法，有利于提高解題的簡(jiǎn)潔性。因?yàn)锳E=EC，F(xiàn)B=FD，所以AB=AE+FB+EF=EC+FD+EF=EF-CD+EF=2m-n。

五、從特殊到一般的思想

從特殊到一般，即先觀察一些特殊的事例，然后分析它們具有的共同特征，最后做出一般的結(jié)論。從簡(jiǎn)單情形中認(rèn)識(shí)復(fù)雜的事物，能使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，從而破解問(wèn)題，乃至發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

例如，一條直線上有若干個(gè)點(diǎn)，以任意兩點(diǎn)為端點(diǎn)可以確定一條線段，線段的條數(shù)與點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。請(qǐng)你探究表內(nèi)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求表中p和q的值。

求p和q的過(guò)程，就體現(xiàn)了“從特殊到一般”的思維探索過(guò)程。我們?cè)O(shè)線段有n個(gè)點(diǎn)，分成的線段有m條，可以發(fā)現(xiàn)表2中的規(guī)律。從特殊到一般，找到規(guī)律是關(guān)鍵。

再如，如圖6，在△ABC中，∠A=80°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB。（1）求∠P的度數(shù);（2）如果將條件“∠A=80°”改為“∠A=α”，∠P的度數(shù)如何表示？

這里的第一問(wèn)中，∠A=80°，∠A是具體的度數(shù)，同學(xué)們可以很容易地理清解題思路，得到∠P=130°。而第二問(wèn)中，∠A=α，特殊的80°換成了一般化的α，此時(shí)方法不變，體現(xiàn)了解法的一般性和結(jié)論的一般性，得到∠P=90+[α2]。我們還可以將圖形一般化，將三角形變成四邊形。同學(xué)們，你能用類似的方法，把這個(gè)一般化問(wèn)題獨(dú)立解決嗎？

如圖7，在四邊形ABCD中，PB平分∠ABC，PC平分∠DCB，∠A+∠D=α，求∠P的度數(shù)。

六、建模思想

數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為數(shù)學(xué)理論的基本構(gòu)成成分，具有“高度的抽象性、嚴(yán)密的邏輯性、應(yīng)用的廣泛性”。簡(jiǎn)單地講，數(shù)學(xué)語(yǔ)言科學(xué)、簡(jiǎn)潔、通用。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。有時(shí)將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型來(lái)解決，會(huì)更方便。

例如，往返于甲、乙兩地的火車，中途要?？咳齻€(gè)站，則有 種不同的票價(jià)（來(lái)回票價(jià)一樣），鐵路公司需準(zhǔn)備 種車票。

本題的實(shí)質(zhì)是問(wèn)共有多少條線段。我們可以從這個(gè)生活問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型——數(shù)線段，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的票價(jià)與票種問(wèn)題。因?yàn)橹虚g有3個(gè)站點(diǎn)，所以相當(dāng)于一條直線上共有5個(gè)點(diǎn)，由表2的規(guī)律可知共有10條線段，因此共有10種不同的票價(jià)。有多少種車票是要考慮順序的，10×2=20，故共有20種車票。

七、類比思想

類比思想是我們學(xué)習(xí)道路上偉大的引路人。類比揭示了數(shù)學(xué)知識(shí)間的關(guān)系，能讓我們感悟數(shù)學(xué)思想和方法的內(nèi)在聯(lián)系，升華思維，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。

例如，已知△ABC和四邊形ABCD，我們能否分別將它們分成面積相等的四個(gè)部分？同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)了三角形的中線、角平分線、高之后，不難發(fā)現(xiàn)，三角形的中線具有平分三角形面積的性質(zhì)。因此，我們只需要先作一條三角形中線把三角形面積二等分，再用同樣的方法繼續(xù)將兩個(gè)三角形分別二等分即可。那四邊形怎么分呢？我們可以利用類比思想，將四等分四邊形面積的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為四等分三角形面積的問(wèn)題，構(gòu)造相應(yīng)的三角形即可。

八、分類思想

當(dāng)一個(gè)問(wèn)題因?yàn)槟硞€(gè)量或某個(gè)圖形的情況不同而有可能引起結(jié)果不同時(shí)，我們需要對(duì)這個(gè)量或圖形的各種情況進(jìn)行分類討論。分類討論是一種重要的思想方法，更是一種解題策略。分類的原則是不重不漏。

例如，已知點(diǎn)P是射線AB上一點(diǎn)，當(dāng)[PAPB]=2或[PAPB]=[12]時(shí)，稱點(diǎn)P是射線AB的強(qiáng)弱點(diǎn)。若AB=6，P是射線AB的強(qiáng)弱點(diǎn)，則PA= 。

求PA的距離，需要我們對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論（當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)），我們可以畫(huà)出相關(guān)圖形進(jìn)行求解。求得PA=2或4或12。

再如，已知直線AB∥CD，點(diǎn)P不在直線AB、CD上，連接PB、PD，則∠ABP、∠CDP、∠BPD有何數(shù)量關(guān)系？為什么？

對(duì)于七年級(jí)的我們來(lái)說(shuō)，本題沒(méi)有相關(guān)的圖形，難度較大。同學(xué)們不妨自己動(dòng)手畫(huà)出圖形，思考∠ABP、∠CDP、∠BPD這三個(gè)角的大小。結(jié)果出現(xiàn)的情況是唯一的嗎？顯然不是。我們可以按點(diǎn)P的位置分類討論。情況1：點(diǎn)P在直線AB、CD之間。（1）點(diǎn)P在直線BD的左側(cè)時(shí)，∠BPD=∠ABP +∠CDP;（2）點(diǎn)P在直線BD的右側(cè)時(shí)，同理可解。情況2：點(diǎn)P在直線AB、CD之外。希望同學(xué)們能用類比思想，按照“觀察→操作→思考→說(shuō)理”這個(gè)流程，一步一步去解決問(wèn)題。

同學(xué)們，數(shù)學(xué)的精神和數(shù)學(xué)中的思維方法、研究方法、推理方法、看問(wèn)題的方式等，會(huì)在我們的生活、學(xué)習(xí)中隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使我們終身受益。希望同學(xué)們?cè)谌蘸蟮膶W(xué)習(xí)或者生活中，能領(lǐng)悟到這句話的內(nèi)涵，在數(shù)學(xué)的道路上越走越遠(yuǎn)。

（作者單位∶江蘇省常州市新北區(qū)浦河實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇省常州市田家炳初級(jí)中學(xué)）