多維性能極限狀態(tài)下概率地震需求分析的多元相關(guān)核密度估計(jì)法

賈大衛(wèi)，吳子燕，何 鄉(xiāng)

（西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710129）

引 言

由于地震激勵(lì)具有較強(qiáng)的不確定性，結(jié)構(gòu)的抗震性能通常采用概率評(píng)估方法。美國太平洋地震工程研究中心（PEER）對(duì)此進(jìn)行了大量研究，率先提出新一代“基于性能的地震工程（PBEE）”概率決策框架；呂大剛等［1］提出了第二代PBEE 理論。該理論的基礎(chǔ)為概率地震需求分析，主要用來計(jì)算在具體場(chǎng)地下結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)年限內(nèi)超過給定性能極限狀態(tài)的結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率。地震需求將場(chǎng)地危險(xiǎn)性與結(jié)構(gòu)地震易損性相結(jié)合，其含義是對(duì)所有地震風(fēng)險(xiǎn)事態(tài)作用下所對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)需求概率的積分。

國內(nèi)外學(xué)者開展了大量有關(guān)概率地震需求分析的研究，并取得了豐碩的成果。鐘劍等［2］基于全概率理論進(jìn)行了橋梁結(jié)構(gòu)的地震風(fēng)險(xiǎn)分析；Liu 等［3］將結(jié)構(gòu)閾值視為凸集變量，建立了一種基于凸集-概率混合可靠度模型的概率地震需求分析方法；Khorami 等［4］基于增量動(dòng)力分析法，得到了鋼框架結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線；Banihashemi 等［5］考慮了結(jié)構(gòu)的整體性能，進(jìn)行了鋼框架的地震易損性和可靠性分析；蔣亦龐等［6］考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，建立了無筋砌體結(jié)構(gòu)的地震易損性曲線，并探討了結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響；Khaloo 等［7］采用橋墩柱的最大彎曲延性響應(yīng)建立了橋梁結(jié)構(gòu)的易損性曲線，并且考慮了時(shí)變損傷效應(yīng)。但上述研究存在一些不足：其一，部分研究僅基于一維工程需求參數(shù)（EDP）進(jìn)行分析，而未考慮多種EDP 的聯(lián)合作用，結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下破壞形式比較復(fù)雜，僅考慮一種參數(shù)難以準(zhǔn)確得到失效概率；其二，絕大多數(shù)研究僅考慮了結(jié)構(gòu)易損性，而并未涉及場(chǎng)地危險(xiǎn)性分析，因此所得結(jié)論并不完整；其三，在傳統(tǒng)概率地震需求分析中，普遍采用基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的理論分析法，即將結(jié)構(gòu)EDP 視為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率隨機(jī)變量，該假定使用方便，但具有一定局限性。Mangalathu 等［8］通過Kolmogorov-Smirnov 非參數(shù)檢驗(yàn)法，驗(yàn)證了橋梁結(jié)構(gòu)的EDP 拒絕服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布；Cornell 等［9］認(rèn)為橋梁各構(gòu)件的易損性曲線并非全部滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定；Karamlou 等［10］認(rèn)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定會(huì)引起結(jié)構(gòu)易損性分析結(jié)果的不準(zhǔn)確；袁萬城等［11］認(rèn)為部分EDP 和地震強(qiáng)度之間不滿足對(duì)數(shù)線性回歸的假設(shè)。上述研究表明，對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定并不完全適用于任意結(jié)構(gòu)，可能會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果產(chǎn)生較大誤差。

為得到更加可靠的抗震性能評(píng)估結(jié)果，董俊等［12］和單德山等［13］提出了基于核密度估計(jì)的分析方法。該方法不需要人為假定EDP 分布類型，并且得到的易損性曲線與蒙特卡洛（MC）法更為接近。但文中僅針對(duì)單一EDP 建立了易損性曲線，沒有考慮多種EDP 聯(lián)合作用下結(jié)構(gòu)的破壞形式；并且文中僅涉及了地震易損性，并未考慮場(chǎng)地危險(xiǎn)性，因此研究內(nèi)容并不完善。本文考慮結(jié)構(gòu)的多維性能極限狀態(tài)，提出基于多元核密度估計(jì)的概率地震需求分析法。這種方法不對(duì)EDP 的分布類型進(jìn)行人為假定，并在傳統(tǒng)核密度估計(jì)中引入對(duì)隨機(jī)變量相關(guān)性的描述，使結(jié)果更具一般性。以某RC 框剪結(jié)構(gòu)為例，首先利用多維性能極限狀態(tài)方程衡量結(jié)構(gòu)在地震激勵(lì)下的損傷程度；然后不采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，而是利用多元相關(guān)核密度估計(jì)建立概率地震需求模型；最后利用MC 模擬得到結(jié)構(gòu)需求的年平均超越概率。將本文方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比，突出其差異性。

1 核密度估計(jì)

核密度估計(jì)是一種非參數(shù)估計(jì)法，主要用于得到參數(shù)的概率密度函數(shù)。該方法主要優(yōu)勢(shì)是：不需要對(duì)數(shù)據(jù)的分布類型進(jìn)行人為假設(shè)，只需要確定輸入數(shù)據(jù)、核函數(shù)以及帶寬就可以估計(jì)出變量的概率密度函數(shù)。當(dāng)僅考慮一維變量時(shí)，核密度估計(jì)如下式所示：

式中代表概率密度函數(shù)；n為樣本容量；h為帶寬；Xi代表樣本點(diǎn)；K( ?)為核函數(shù)。核函數(shù)需要具備如下屬性：

核函數(shù)具有多種形式，包括均勻型、三角型、高斯型等。目前使用最廣泛的核函數(shù)為高斯型核函數(shù)［14］，如下式所示：

當(dāng)隨機(jī)變量由一維拓展到m維時(shí)，聯(lián)合概率密度函數(shù)f(x)=f(x1，x2，…，xm)。文獻(xiàn)［14］給出了多元隨機(jī)變量的核密度估計(jì)表達(dá)式，如下式所示：

式中H為帶寬矩陣，是一個(gè)m×m維的對(duì)稱正定矩陣。一般可將H取為對(duì)角陣，即：

式中hi，i=1，2，…，m代表單隨機(jī)變量核函數(shù)的帶寬，可采用下式計(jì)算［15］：

式中σi為第i個(gè)隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。

則式（5）可寫為：

將式（5）代入式（4），并取高斯型核函數(shù)用于多元核密度估計(jì)。已有研究表明［15-16］，當(dāng)采用高斯核函數(shù)時(shí)，多元核密度估計(jì)的核函數(shù)可以表示為多個(gè)單隨機(jī)變量核函數(shù)乘積的形式。以二維隨機(jī)變量為例，在式（7）中有m=2，多元核密度估計(jì)可寫為：

已有文獻(xiàn)表明［14］，不同核函數(shù)對(duì)核密度估計(jì)的影響較小，但帶寬影響很大。式（8）采用固定帶寬，即每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)處都有著相同的帶寬，然而由于數(shù)據(jù)的隨機(jī)性較強(qiáng)，固定帶寬的核密度估計(jì)可能誤差較大，因此大多采用基于自適應(yīng)帶寬的核密度估計(jì)法［15-17］。本文采用文獻(xiàn)［15］提出的自適應(yīng)帶寬，即：

式中(x1，x2)為自適應(yīng)帶寬的核密度估計(jì)；a為敏感性參數(shù)，通?？扇?.5；λi代表帶寬的自適應(yīng)修正系數(shù)；(x1i，x2i)為固定帶寬時(shí)的核密度估計(jì)。

式（8）和（9）給出的多元核密度估計(jì)得到了廣泛應(yīng)用，但其最大的缺陷在于并不能考慮隨機(jī)變量的相關(guān)性。在概率地震需求分析中，不同EDP 通常并不完全獨(dú)立。例如橋梁結(jié)構(gòu)橋墩柱的彎曲扭轉(zhuǎn)角和支座位移通常具有相關(guān)性［18］，框架結(jié)構(gòu)最大層間位移角（MIDR）和最大層加速度（PFA）也并不完全獨(dú)立［19］。因此本文提出可以考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的多元核密度估計(jì)法，下面將詳細(xì)論述。

2 考慮變量相關(guān)性的多元核密度估計(jì)

2.1 多元相關(guān)核密度估計(jì)

由于自適應(yīng)帶寬的核密度估計(jì)源于固定帶寬，因此首先考慮相關(guān)性條件下固定帶寬的計(jì)算。為方便表示，以下均采用二維變量論述。取隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)為ρ，并代入式（7），有：

此時(shí)帶寬矩陣并不為對(duì)角陣。對(duì)角線上的元素與傳統(tǒng)核密度估計(jì)的一致，反映了單變量的帶寬，而除對(duì)角線以外位置的元素則體現(xiàn)了隨機(jī)變量的相關(guān)性。

由式（8）和（4）可知，當(dāng)取高斯型核函數(shù)時(shí)，多元核密度估計(jì)的核函數(shù)可以表示為多個(gè)核函數(shù)的乘積，其形式與多元高斯分布十分相似。這里首先對(duì)多元高斯分布做簡要介紹，如下式所示：

式中μ1和μ2分別代表正態(tài)隨機(jī)變量x1和x2的均值；σ1和σ2代表標(biāo)準(zhǔn)差。

若假定隨機(jī)變量相互獨(dú)立，式（12）簡化為：

比較式（13）和（8）可知，式（8）中指數(shù)函數(shù)冪的形式與式（13）中指數(shù)函數(shù)冪的形式完全一致。因此本文在多元核密度估計(jì)的核函數(shù)中引入相關(guān)系數(shù)。當(dāng)采用固定帶寬時(shí)，式（8）中可重新表示為：

其次，用Hρ替代H，且有：

聯(lián)立式（8）和式（12）～（16），可得在固定帶寬下基于相關(guān)性的多元核密度估計(jì)，如下式所示：

由式（17）可知，本文建立的多元核密度估計(jì)函數(shù)主要從帶寬矩陣和核函數(shù)兩個(gè)方面體現(xiàn)隨機(jī)變量的相關(guān)性。在帶寬矩陣中引入項(xiàng)，而在傳統(tǒng)基于多個(gè)高斯型核函數(shù)相乘的多元核函數(shù)中也引入了相關(guān)高斯分布的形式，從而將隨機(jī)變量的相關(guān)性引入核密度估計(jì)中。

下面考慮自適應(yīng)帶寬的相關(guān)核密度估計(jì)，將自適應(yīng)修正系數(shù)λi代入式（11），有：

相應(yīng)的式（15）變?yōu)椋?/p>

則自適應(yīng)帶寬的相關(guān)核密度估計(jì)表示為：

其中，λi的計(jì)算方法與式（10）一致，在相關(guān)性的條件下固定帶寬的核密度估計(jì)采用式（17）計(jì)算。

式（21）即為本文最終建立的基于相關(guān)性的多元自適應(yīng)核密度估計(jì)公式。當(dāng)ρ=0 時(shí)，式（21）變化為傳統(tǒng)不考慮相關(guān)性的多元核密度估計(jì)公式。利用式（21）建立多維概率地震需求模型即可避免對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，并且可以考慮EDP 之間的相關(guān)性。

2.2 隨機(jī)變量相關(guān)性的描述

當(dāng)給出了多元相關(guān)核密度估計(jì)的表達(dá)式后，如何確定相關(guān)系數(shù)就成了關(guān)鍵問題。目前相關(guān)系數(shù)主要包括Pearson 相關(guān)系數(shù)，Spearman 相關(guān)系數(shù)和Kendall 相關(guān)系數(shù)［20］。Pearson 相關(guān)系數(shù)ρp用于分析兩組數(shù)據(jù)是否可以用一條直線擬合對(duì)應(yīng)關(guān)系，衡量二者的線性相關(guān)度，取值在［?1，1］之間。在三種相關(guān)系數(shù)中，Pearson 相關(guān)系數(shù)目前應(yīng)用最廣。若無特別聲明，相關(guān)系數(shù)一般都指Pearson 相關(guān)系數(shù)。若Pearson 相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值在0.8～1之間時(shí)，說明兩個(gè)變量的相關(guān)性較強(qiáng)。若絕對(duì)值低于0.4，認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)相關(guān)性很弱，如下式所示：

式中xi和yi為數(shù)據(jù)值；和為兩組數(shù)據(jù)集的均值。

Spearman 相關(guān)系數(shù)ρr主要通過單調(diào)方程評(píng)價(jià)兩組變量的相關(guān)性，可用來描述變量之間的非線性關(guān)系。Spearman 相關(guān)系數(shù)的取值同樣大于?1 且小于1，如下式所示：

式中Ri代表xi的秩次；Qi代表yi的秩次。

Kendall 相關(guān)系數(shù)ρτ是一種等級(jí)相關(guān)系數(shù)，從變量單調(diào)相依的角度定義兩個(gè)變量之間的相關(guān)性，根據(jù)兩個(gè)變量所包含的樣本是否具有和諧性判斷兩組變量是否具有相關(guān)性，如下式所示：

式中 sgn(·)為符號(hào)函數(shù)。

3 基于多維性能極限狀態(tài)的概率地震需求分析

3.1 易損性分析

概率地震需求分析包含兩部分內(nèi)容：結(jié)構(gòu)易損性分析和場(chǎng)地危險(xiǎn)性分析，是指在考慮場(chǎng)地風(fēng)險(xiǎn)的情況下，結(jié)構(gòu)發(fā)生不同損傷程度的可能性［21］。其意義在于：既采用概率方法計(jì)算結(jié)構(gòu)在不同地震強(qiáng)度下的破壞概率，又考慮場(chǎng)地危險(xiǎn)性，將二者卷積，得到結(jié)構(gòu)需求的年平均超越概率。其中多維性能極限狀態(tài)描述了多種EDP 聯(lián)合作用下結(jié)構(gòu)的極限狀態(tài)［22］，可通過多維性能極限狀態(tài)方程描述，如下式所示：

式中L為多維性能極限狀態(tài)方程，當(dāng)L<0 時(shí)認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞；Nedp為EDP 個(gè)數(shù)；R代表EDP；r代表EDP 在對(duì)應(yīng)性能極限狀態(tài)下的閾值；b為相互作用因子，決定了極限狀態(tài)曲面的形狀。

黃小寧等［23］指出，在兩種EDP 的條件下，可將一個(gè)EDP 的b簡化為1，如下式所示：

以兩種EDP 為例，在多維性能極限狀態(tài)下，易損性表示為EDP 的概率密度函數(shù)在失效域內(nèi)的積分，如下式所示［19］：

式中IM=im代表給定的地震強(qiáng)度；f( ?)代表隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。在本文中f( ?)由多元相關(guān)核密度估計(jì)，即式（21）得到，而并非傳統(tǒng)的多維對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

韓建平等［24］指出，對(duì)城市內(nèi)基礎(chǔ)設(shè)施而言，絕大多數(shù)建筑結(jié)構(gòu)的抗震性能通常受到結(jié)構(gòu)構(gòu)件和非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的共同影響，并且實(shí)際使用功能絕大多數(shù)都依賴于非結(jié)構(gòu)構(gòu)件。而傳統(tǒng)基于一維EDP 的地震易損性函數(shù)僅能考慮結(jié)構(gòu)構(gòu)件性能，例如框架結(jié)構(gòu)一般采用最大層間位移角（MIDR）來衡量結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷，橋梁結(jié)構(gòu)則大多采用墩柱扭轉(zhuǎn)角或相對(duì)位移延性比。而式（27）可以考慮不同EDP 作用下結(jié)構(gòu)的聯(lián)合性能極限狀態(tài)，因此更符合實(shí)際需求。

3.2 概率地震需求分析

Liu 等［19］指出，在多維性能極限狀態(tài)下，結(jié)構(gòu)需求表示為地震易損性和場(chǎng)地危險(xiǎn)性的耦合形式，其結(jié)果為設(shè)計(jì)年限內(nèi)結(jié)構(gòu)需求在給定極限狀態(tài)下的年平均超越概率，可用如下三重積分公式表示：

式中EIM(im)代表地震強(qiáng)度的累積分布函數(shù)。

國內(nèi)目前建筑結(jié)構(gòu)抗震設(shè)防的依據(jù)為抗震設(shè)防烈度，有資料表明，采用極值Ⅲ型分布描述地震烈度的概率分布比較符合國內(nèi)的實(shí)際情況［21］，分布函數(shù)如下式所示：

式中w為地震烈度上限，可取為12；ε為眾值烈度，表示年平均發(fā)生概率為0.632 的地震烈度；K為形狀參數(shù)，一般采用最小二乘法確定。式（29）也被稱為地震危險(xiǎn)性函數(shù)。

3.3 基于蒙特卡洛模擬法的年平均超越概率計(jì)算

由式（28）可知，在概率地震需求分析中需要求解多重積分。由于引入了多元相關(guān)核密度估計(jì)，這個(gè)積分相比傳統(tǒng)多維對(duì)數(shù)正態(tài)分布的被積函數(shù)更為復(fù)雜。因此本文引入蒙特卡洛（MC）模擬以提高計(jì)算效率。谷音等［21］指出，若地震強(qiáng)度的分布函數(shù)已知，可通過抽樣將地震危險(xiǎn)性函數(shù)進(jìn)行離散。假定抽取的地震強(qiáng)度樣本個(gè)數(shù)為nim，則每個(gè)樣本出現(xiàn)的概率為1/nim。谷音等［21］在一維EDP 條件下，提出了結(jié)構(gòu)需求年均超越概率的MC 法，如下式所示：

式中imi為抽樣所得單個(gè)地震強(qiáng)度樣本；而P(R>r|imi)則反映了在該地震強(qiáng)度樣本下結(jié)構(gòu)的破壞概率。

但式（30）只考慮了一維EDP，本文將式（30）推廣到多維性能極限狀態(tài)下的概率地震需求計(jì)算。將式（30）代入式（28），可得：

由式（27）可知，多維性能極限狀態(tài)下易損性分析的本質(zhì)是在給定EDP 分布的條件下計(jì)算性能極限狀態(tài)方程小于0 的概率，因此同樣可采用MC 法求解。失效概率表示為：

式中 (R1j，R2j)代表基于多元相關(guān)核密度估計(jì)構(gòu)造的概率地震需求模型抽樣獲得的樣本；nedp代表生成的結(jié)構(gòu)響應(yīng)樣本點(diǎn)總數(shù)；I( ?)代表指示函數(shù)，當(dāng)L(R1j，R2j)<0 時(shí)，I( ?)=1，反之為0。將其代入式（31），有結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率：

式（33）即為本文最終建立的基于多元相關(guān)核密度估計(jì)的概率地震需求分析公式?？紤]到多變量相關(guān)的核密度估計(jì)結(jié)果比較復(fù)雜，本文采用文獻(xiàn)［14］建議的舍選抽樣法獲得(R1j，R2j)樣本。假定隨機(jī)變量的取值域?yàn)閇a，b]，f(R1，R2)的極大值為M，舍選抽樣法流程如圖1所示。

圖1 舍選抽樣法Fig.1 Acceptance-rejection sampling method

與Liu 等［19］和谷音等［21］提出的概率地震需求分析方法相比，本文所提方法的特點(diǎn)在于：考慮了多個(gè)EDP 下結(jié)構(gòu)的多維性能極限狀態(tài)，多維概率地震需求模型由多元核密度估計(jì)法確定，而不需要對(duì)EDP進(jìn)行對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定；并且在傳統(tǒng)多元核密度估計(jì)的基礎(chǔ)上提出了可以考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的核密度估計(jì)法，進(jìn)而將EDP 的相關(guān)性引入概率地震需求分析?；诙嘣嚓P(guān)核密度估計(jì)的概率地震需求分析流程如圖2所示。

圖2 概率地震需求分析流程圖Fig.2 Flow chart of probabilistic seismic demand analysis

4 算例分析

4.1 結(jié)構(gòu)模型建立及工程需求參數(shù)確定

本文基于SAP2000 建立某RC 框架-剪力墻結(jié)構(gòu)，沿X方向共5 跨，跨度均為8 m；沿Y方向共3 跨，邊跨跨度為6 m，中跨跨度為8 m。沿Y向主梁間設(shè)置單根次梁。該結(jié)構(gòu)共4層，各層層高均為3.6 m。抗側(cè)力體系由混凝土框架和剪力墻部分組成。剪力墻部分包括兩片單肢剪力墻及由兩個(gè)電梯井組成的核心筒，核心筒長8 m，寬4 m，門洞高2.4 m，寬2 m。各構(gòu)件采用的混凝土強(qiáng)度等級(jí)均為C30，縱向受力鋼筋采用HRB400 級(jí)，箍筋采用HRB335。樓板厚度為120 mm，配筋為單排鋼筋，采用HRB335 級(jí)鋼筋。剪力墻厚度為300 mm，結(jié)構(gòu)模型如圖3所示。梁和柱均采用SAP2000中的Frame單元模擬，并在梁兩端布置P-M3 鉸，柱兩端布置P-M2-M3 鉸。剪力墻采用分層殼單元［25］，為提高計(jì)算效率，僅考慮混凝土層和鋼筋層在豎向的非線性行為，混凝土層面外僅考慮線性行為，剪力墻采用分層殼單元，在三個(gè)應(yīng)力分量上均考慮其非線性行為?；炷翗前宀捎肕embrane 單元。此外，模型考慮了P-Δ 效應(yīng)，阻尼采用瑞利阻尼。本文采用的混凝土和鋼筋的本構(gòu)關(guān)系如圖4所示。

圖3 結(jié)構(gòu)模型Fig.3 Structure model

圖4 材料本構(gòu)關(guān)系Fig.4 Material constitutive relationship

在基于性能的地震工程研究中，通常將結(jié)構(gòu)的性能極限狀態(tài)劃分為若干等級(jí)。參考文獻(xiàn)［22］，本文將性能極限狀態(tài)分為“正常使用（NO）”，“可以使用（IO）”，“生命安全（LF）”，“防止倒塌（CP）”四級(jí)。

確定了性能極限狀態(tài)，下一步將確定EDP 及對(duì)應(yīng)性能極限狀態(tài)的閾值。有文獻(xiàn)表明［24-26］，MIDR 能較好地反映結(jié)構(gòu)構(gòu)件的整體損傷大小，因此本文選擇最大層間位移角（MIDR）作為衡量結(jié)構(gòu)性能的EDP。鄭山鎖等［26］指出，結(jié)構(gòu)整體性能水平達(dá)到IO時(shí)構(gòu)件處于開裂狀態(tài)，MIDR 的閾值大致取LF 的50%；LF 的閾值大致取到規(guī)范彈性限值和彈塑性限值的平均值；CP 大致取到規(guī)范的彈塑性變形限值的90%?；凇督ㄖ拐鹪O(shè)計(jì)規(guī)范》［27］，本文采用的MIDR 閾值如表1所示：

表1 EDP 閾值Tab.1 EDP thresholds

已有研究表明［24，28］，在考慮非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的損傷時(shí)，主要考慮對(duì)加速度敏感的構(gòu)件，例如機(jī)械設(shè)備、內(nèi)部管道等，因而本文選擇最大層加速度（PFA）作為衡量非結(jié)構(gòu)構(gòu)件損傷大小的EDP。本文取文獻(xiàn)［24］中建議的PFA 閾值，如表1所示。表中g(shù)=9.8 m/s2。在這里指出，MIDR 閾值來自《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》中對(duì)彈性MIDR 和彈塑性MIDR 閾值的規(guī)定，能夠比較準(zhǔn)確地反映結(jié)構(gòu)構(gòu)件的性能極限狀態(tài)。而PFA 主要影響內(nèi)部設(shè)備的正常工作，且目前國內(nèi)并沒有統(tǒng)一的規(guī)范對(duì)不同類型結(jié)構(gòu)的PFA 閾值進(jìn)行規(guī)定，因此本文采用已有研究給出的經(jīng)驗(yàn)閾值。

4.2 地震危險(xiǎn)性分析

擬定該框架所處的場(chǎng)地特征參數(shù)如下：場(chǎng)地土類別為I，抗震設(shè)防烈度為7 度，設(shè)計(jì)基本地震動(dòng)加速度為0.1g，場(chǎng)地特征周期為0.35 s，結(jié)構(gòu)的阻尼比取0.05，周期折減系數(shù)為0.9，設(shè)計(jì)基準(zhǔn)周期為50年。本文僅考慮設(shè)計(jì)年限內(nèi)的場(chǎng)地危險(xiǎn)性，設(shè)防烈度對(duì)應(yīng)50年內(nèi)超越概率為10%的烈度。50年內(nèi)眾值烈度為7?1.55=5.45 度［21］，則有：

通過最小二乘法可得形狀參數(shù)K約為8.3189，則50年內(nèi)地震烈度的分布函數(shù)為：

在地震工程學(xué)中，峰值地面加速度（PGA）是衡量地震強(qiáng)度的關(guān)鍵指標(biāo)之一［18-19］。本文選擇PGA衡量地震強(qiáng)度的大小，因此需要將地震烈度換算為PGA，采用谷音等［21］給出的換算公式，如下式所示：

將式（36）代入式（35），并將PGA 的單位用g表示，可得PGA 的累積分布函數(shù)為：

分別對(duì)式（35）和式（37）兩端求導(dǎo)，可得地震烈度和PGA 的概率密度函數(shù)曲線。由于PGA 累積分布函數(shù)形式比較復(fù)雜，在MC 模擬中，首先根據(jù)式（35）生成nim個(gè)地震烈度樣本，然后將這些樣本根據(jù)式（36）轉(zhuǎn)化為 PGA 樣本。本文取nim=10000，抽得地震烈度和轉(zhuǎn)化后的PGA 樣本分布及其概率密度函數(shù)曲線如圖5和6所示。由圖可知，生成的PGA 樣本與概率密度函數(shù)擬合度較高。由于地震烈度和PGA 的分布函數(shù)是根據(jù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)年限得到的，因此生成的樣本能在考慮場(chǎng)地類型的前提下，較全面地反映設(shè)計(jì)年限內(nèi)地震強(qiáng)度的隨機(jī)性以及不同強(qiáng)度地震發(fā)生的可能性。概率密度值越大，表明設(shè)計(jì)年限內(nèi)發(fā)生的可能性越大。

圖5 地震烈度分布Fig.5 Distribution of seismic intensity

4.3 地震激勵(lì)不確定性

已有研究表明，在地震需求分析中，需要選擇多于20 條地震波衡量地震激勵(lì)的不確定性［29］。本文采用文獻(xiàn)［30-31］建議的基于Simqke 理論的合成地震動(dòng)進(jìn)行地震需求分析。根據(jù)4.2 節(jié)中定義的場(chǎng)地特征，從SAP2000 中可提取規(guī)范反應(yīng)譜，將其作為目標(biāo)反應(yīng)譜，然后基于Simqke 理論合成了40 條地震波用于地震風(fēng)險(xiǎn)分析。這些地震波的加速度平穩(wěn)段開始時(shí)間為0.02 s，加速度平穩(wěn)段的持續(xù)時(shí)間為25 s，地震波持續(xù)時(shí)間為40 s。地震波的反應(yīng)譜如圖7所示。圖中紅線代表目標(biāo)反應(yīng)譜，藍(lán)線代表地震波加速度反應(yīng)譜。由圖7可知，地震波的反應(yīng)譜與結(jié)構(gòu)所處場(chǎng)地的目標(biāo)反應(yīng)譜擬合度較高。

圖7 地震波反應(yīng)譜Fig.7 Response spectrum of seismic wave

4.4 基于核密度估計(jì)的多維概率地震需求模型建立

獲得概率地震需求模型是進(jìn)行地震風(fēng)險(xiǎn)概率分析的關(guān)鍵步驟?；诒疚奶岢龅亩嘣嚓P(guān)核密度估計(jì)，概率地震需求模型需要在不同PGA 下通過式（21）獲得。

由圖6可知，生成的PGA 樣本絕大多數(shù)位于區(qū)間［0，0.1g］中，說明強(qiáng)度位于這個(gè)區(qū)間的地震50年內(nèi)發(fā)生的可能性較大。因此為準(zhǔn)確反映當(dāng)PGA<0.1g時(shí)結(jié)構(gòu)的損傷情況，在等步長調(diào)幅法［32］基礎(chǔ)上，本文提出一種分段等步長調(diào)幅法。首先將每條地震波的PGA 分別調(diào)幅至0.02g～0.1g，間隔取0.02g，然后在區(qū)間［0.1g，1.0g］間進(jìn)行調(diào)幅，間距取0.1g，最終得到560 條地震波。Zhou 等［32］指出，地震發(fā)生時(shí)，地面運(yùn)動(dòng)是一個(gè)三維隨機(jī)過程，在地震工程研究中考慮三維地震動(dòng)輸入更符合實(shí)際。本文將每條地震波的輸入方向均設(shè)置為空間三維，加載方式為1*X+0.85*Y+0.65*Z［32］。利用SAP2000 進(jìn)行非線性時(shí)程分析，得到每條地震波在各個(gè)PGA 下的MIDR 和PFA。利用式（21），分別在不同PGA 下基于三種相關(guān)系數(shù)建立基于核密度估計(jì)的概率地震需求模型。為對(duì)比相關(guān)性對(duì)模型的影響，本文同樣建立基于不考慮相關(guān)性的核密度估計(jì)概率地震需求模型。以PGA=0.3g為例，如圖8所示。

圖6 PGA 分布Fig.6 PGA distribution

圖8 基于核密度估計(jì)的概率地震需求模型Fig.8 Probability seismic demand model based on KDE

由圖8可知，考慮EDP 相關(guān)性后，概率地震需求模型與不考慮相關(guān)性時(shí)相比具有一定差異，且不同的相關(guān)系數(shù)對(duì)應(yīng)的概率地震模型也并不完全一致。首先，考慮相關(guān)性后，概率密度函數(shù)的峰值顯著上升，且有Pearson 系數(shù)>Spearman 系數(shù)>Kendall系數(shù)>無相關(guān)性，其中Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)的概率密度峰值差異并不顯著。其次，具有明顯概率密度函數(shù)值的EDP 覆蓋范圍不一樣。當(dāng)不考慮相關(guān)性時(shí)，概率地震需求模型在XOY平面上的投影可近似為圓形；而考慮相關(guān)性后，投影區(qū)域變成具有傾斜角的橢圓，并且具有顯著概率密度值的區(qū)域面積變小。基于Pearson 系數(shù)的投影區(qū)域覆蓋面積小于Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)，而不考慮相關(guān)性時(shí)覆蓋面積最大。例如以邊界MIDR=[0，10?3]和PFA=[3，4] m/s2圍成的左上三角區(qū)域內(nèi)，不考慮相關(guān)性的核密度估計(jì)構(gòu)造的概率地震需求模型的概率密度值要顯著大于Pearson 系數(shù)的概率密度值，Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)的概率密度值介于二者之間。因此Pearson 系數(shù)對(duì)核密度估計(jì)結(jié)果影響最大，Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)相對(duì)較小。

4.5 結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率計(jì)算

根據(jù)式（26）和表1建立性能極限狀態(tài)方程，以NO 為例，如下式所示：

式中R1代表MIDR；R2代表PFA。

在二維極限狀態(tài)方程中，本文將MIDR 對(duì)應(yīng)的b取為1。由于缺少框剪結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，初步擬定PFA 的b=2，后文將通過靈敏度分析討論b的值對(duì)超越概率的影響。利用式（33）基于核密度估計(jì)進(jìn)行地震需求分析，得到結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率，并用危險(xiǎn)性曲面表示。危險(xiǎn)性曲面反映了當(dāng)EDP 取不同值時(shí)的結(jié)構(gòu)需求在設(shè)計(jì)年限內(nèi)的年平均超越概率。為對(duì)比核密度估計(jì)法和傳統(tǒng)方法的差異，同樣基于多維對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定建立危險(xiǎn)性曲面。文獻(xiàn)［18-19］已經(jīng)分別給出了多維性能極限狀態(tài)下基于對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的易損性和概率地震需求分析的詳細(xì)論述，本文不再重復(fù)。危險(xiǎn)性曲面如圖9所示。

由圖9可知，基于Pearson 相關(guān)系數(shù)的核密度估計(jì)危險(xiǎn)性曲面位于最上部，基于Spearman 和Kendall系數(shù)的危險(xiǎn)性曲面整體差異不大，而不考慮相關(guān)性的核密度估計(jì)的危險(xiǎn)性曲面位于最下部。當(dāng)PFA>0.85g時(shí)，核密度估計(jì)法和傳統(tǒng)方法所得年平均超越概率均基本為0，危險(xiǎn)性曲面基本重疊。為定量描述本文所提核密度估計(jì)法與傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的差異，本文定義一個(gè)影響系數(shù)λp，如下式所示：

圖9 危險(xiǎn)性曲面Fig.9 Hazard surface

式中Fkde代表基于核密度估計(jì)的年平均超越概率；Flog代表基于傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的年平均超越概率；D代表危險(xiǎn)性曲面在XOY平面內(nèi)的投影區(qū)域。

λp絕對(duì)值越大，說明二者差異越大。λp如表2所示。

表2 影響系數(shù)Tab.2 Influence coefficients

由表2可知，在三種相關(guān)系數(shù)下，λp均大于0，說明本文提出的基于相關(guān)核密度估計(jì)的概率地震需求模型得到的危險(xiǎn)性曲面更高，結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率整體偏大，而對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定得到的年平均超越概率偏小。Pearson 系數(shù)的λp為0.1219，而Kendall 系數(shù)的λp為0.0131，Spearman 系數(shù)的λp為0.0308。說明Pearson 系數(shù)所得年平均超越概率最大，對(duì)核密度估計(jì)結(jié)果的影響同樣最大，Spearman系數(shù)次之，而Kendall 系數(shù)最小，這個(gè)結(jié)論與4.4 節(jié)所得結(jié)論一致。該結(jié)論可通過圖8和在給定地震強(qiáng)度下結(jié)構(gòu)的失效概率進(jìn)行解釋。以PGA=0.3g和IO性能狀態(tài)為例，根據(jù)式（27）和（32），可得基于Pearson 系數(shù)，Spearman 系數(shù)和Kendall 系數(shù)的結(jié)構(gòu)失效概率依次為0.2115，0.1880 和0.1826，而不考慮相關(guān)性時(shí)為0.1624。該現(xiàn)象表明：不考慮相關(guān)性會(huì)得到偏低的失效概率，且在相關(guān)性條件下得到的失效概率，Pearson 系數(shù)>Spearman 系數(shù)>Kendall 系數(shù)。在其他PGA 下也可以得到類似的結(jié)論。而年均超越概率是根據(jù)失效概率得到的，因此三種相關(guān)系數(shù)對(duì)年均超越概率的影響：Pearson 相關(guān)系數(shù)影響最大，Spearman 相關(guān)系數(shù)次之，Kendall 相關(guān)系數(shù)最小。值得注意的是，當(dāng)PFA 大于0.85g時(shí)，對(duì)應(yīng)的PGA大于0.6g。由圖6可知，設(shè)計(jì)年限內(nèi)發(fā)生PGA 大于0.6g地震的可能性很低，因此三種相關(guān)系數(shù)得到的年均超越概率都很小，對(duì)應(yīng)圖9中危險(xiǎn)性曲面基本重疊的部分。研究人員可根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的相關(guān)系數(shù)，基于非線性時(shí)程分析得到不同的EDP值，根據(jù)式（22）～（24）即可進(jìn)行相關(guān)性分析。

如果采用傳統(tǒng)不相關(guān)的核密度估計(jì)法，由表2可知，KDE-Irrelevant 的λp<0，說明不相關(guān)核密度估計(jì)法得到的危險(xiǎn)性曲面低于傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定，會(huì)得到偏低的年平均超越概率。這個(gè)結(jié)論同樣可根據(jù)失效概率進(jìn)行說明。因此在基于核密度估計(jì)的概率地震需求分析中，如果不考慮EDP 的相關(guān)性同樣會(huì)得到不準(zhǔn)確的評(píng)估結(jié)果。

4.6 相互作用因子對(duì)危險(xiǎn)性曲面的影響

相互作用因子b會(huì)影響到性能極限狀態(tài)方程的非線性程度，改變失效域的大小。Wang 等［18］和Liu等［19］對(duì)b與結(jié)構(gòu)失效概率的關(guān)系在對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定下進(jìn)行了大量研究。本文將利用文獻(xiàn)［18］采用的靈敏度分析法，探究相關(guān)核密度估計(jì)的危險(xiǎn)性曲面與b的關(guān)系。分別再取b=1，5，10，15，所得危險(xiǎn)性曲面如圖10所示。由圖10可知，當(dāng)b相同時(shí)，三種相關(guān)系數(shù)下的年平均超越概率從大到小依次為：Pearson 系數(shù)，Spearman 系數(shù)，Kendall 系數(shù)，該結(jié)論與4.5 節(jié)一致。

圖10 相互作用因子對(duì)危險(xiǎn)性曲面的影響Fig.10 Influence of interaction factors on hazard surfaces

比較不同b對(duì)應(yīng)的危險(xiǎn)性曲面可知，當(dāng)b=1時(shí)，危險(xiǎn)性曲面位于最上部；隨著b增大，危險(xiǎn)性曲面逐漸下移，年平均超越概率逐漸降低。與b=5相比，當(dāng)b=10 時(shí)，危險(xiǎn)性曲面有所下降，但二者基本重合，這個(gè)結(jié)論對(duì)三種相關(guān)系數(shù)均成立，并且與Wang 等［18］所得結(jié)論一致。文獻(xiàn)［18］表明，b的值反映了不同EDP 性能極限狀態(tài)的相關(guān)性，b越大，相關(guān)性越弱。以IO 為例，b與失效域的關(guān)系如圖11所示。由圖11可知，隨著b增大，極限狀態(tài)曲線和坐標(biāo)軸圍成的面積越大，則失效域面積越小，當(dāng)概率地震需求模型相同時(shí)所得失效概率越小。因此在基于多維性能極限狀態(tài)的地震風(fēng)險(xiǎn)分析中，忽略性能極限狀態(tài)的相關(guān)性不利于結(jié)構(gòu)安全。

圖11 不同b 的極限狀態(tài)曲線Fig.11 Limit state curves under different b

5 結(jié) 論

本文考慮地震激勵(lì)的不確定性，不對(duì)EDP 的分布類型進(jìn)行人為假定，將傳統(tǒng)不考慮相關(guān)性的多元核密度估計(jì)法拓展到可以考慮隨機(jī)變量相關(guān)性的多元核密度估計(jì)用于概率地震需求分析?？紤]了三種相關(guān)系數(shù)，在多維性能極限狀態(tài)下建立了基于多元相關(guān)核密度估計(jì)的概率地震需求模型，通過MC 法簡化了傳統(tǒng)概率地震需求分析的多重積分公式，得到了年平均超越概率，所得結(jié)論如下：

（1）與傳統(tǒng)基于多維對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定的概率地震需求分析相比，相關(guān)核密度估計(jì)得到的結(jié)構(gòu)需求年平均超越概率偏大，而傳統(tǒng)不相關(guān)的核密度估計(jì)年平均超越概率偏小。一方面說明對(duì)數(shù)正態(tài)分布假定可能會(huì)得到不準(zhǔn)確的評(píng)估結(jié)果，另一方面表明EDP 的相關(guān)性也會(huì)顯著影響到年平均超越概率。

（2）在三種相關(guān)系數(shù)中，Pearson 相關(guān)系數(shù)得到的年平均超越概率最大，Spearman 相關(guān)系數(shù)次之，Kendall 相關(guān)系數(shù)最小。因此不同的相關(guān)系數(shù)同樣會(huì)影響到年平均超越概率的大小。

（3）在二維性能極限狀態(tài)方程中，b越大，EDP性能極限狀態(tài)相關(guān)性越弱，當(dāng)采用相同的相關(guān)系數(shù)建立概率地震需求模型后，所得年平均超越概率越小。因此忽略性能極限狀態(tài)的相關(guān)性會(huì)導(dǎo)致地震需求概率偏低，不利于工程安全。

由于不同的相關(guān)系數(shù)會(huì)影響到多元核密度估計(jì)的結(jié)果，研究人員可根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的相關(guān)系數(shù)，利用本文提出的地震需求概率分析方法得到結(jié)構(gòu)需求在設(shè)計(jì)年限內(nèi)的平均超越概率。