逆韋布爾分布下n中取k系統(tǒng)的隨機比較

郭玉琦，呂衛(wèi)東，夏春蒙

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，蘭州 730070)

隨機序是指隨機變量在一定數(shù)學(xué)意義下,進行的“大小”比較.在不同的應(yīng)用背景下,研究者定義了各類不同的隨機序關(guān)系[1-3].隨機序在可靠性理論、生存分析、經(jīng)濟、保險等許多領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用.在各類隨機變量分布中,許多學(xué)者研究了隨機變量服從伽馬分布、指數(shù)分布、幾何分布、威布爾分布等的隨機序之間的相互關(guān)系[4-7].但目前為止對服從逆韋布爾分布的隨機變量在各種隨機序中的比較關(guān)系卻不多見.

本文將致力于研究隨機變量服從逆韋布爾分布的隨機序之間的相互關(guān)系.在此之前,張婭莉等[8]研究了兩個相互獨立且服從逆韋布爾分布的隨機變量在一般隨機序、似然比序、失效率序以及凸序之間的相互關(guān)系.邱國新等[9]研究了在獨立的隨機變量服從壽命參數(shù)不同但形狀參數(shù)相同的逆Weibull分布下，所組成的兩個串(并)聯(lián)系統(tǒng)中,失效率序、反向失效率序、色散序、占優(yōu)序和p-階大序之間的相互關(guān)系.本文在此基礎(chǔ)上進一步研究了在特征壽命參數(shù)不同，形狀參數(shù)不同或特征壽命參數(shù)相同和形狀參數(shù)不同的逆韋布爾分布下,串聯(lián)系統(tǒng)下的分散序關(guān)系,并聯(lián)系統(tǒng)下的洛倫茨序、星序和失效率序之間的相互關(guān)系.

1 預(yù)備知識

定義1隨機變量X服從逆韋布爾分布,其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為

(1)

(2)

其中：α和β分別是特征壽命參數(shù)和形狀參數(shù)，記作X～IW(α,β)[10].

定義2

4)如果F-1(β)-F-1(α)≥G-1(β)-G-1(α)成立,0≤α<β≤1,則稱X在分散序意義下大于等于Y,記作X≥dispY.

引理1將α=F(x)代入定義4)中得到G-1(F(x))-x是遞增的，那么則稱X在分散序意義下大于等于Y,記作X≥dispY[12].

引理2一個可微函數(shù)φ(x)是S-凸(S-凹)的，如果當(dāng)且僅當(dāng)i≠j時，有

2 主要結(jié)論

2.1 串聯(lián)系統(tǒng)

X1∶n的反函數(shù)是

2.2 并聯(lián)系統(tǒng)

證明：Xn∶n分布函數(shù)是

反函數(shù)是

當(dāng)0<β1<β2,h′(x)>0.

首先,證明φ(x)是遞增的

當(dāng)r>λ時,x>0,φ′(x)>0;

其次,要證明φ(x)是遞增的

即

rerx-β-re(λ+r)x-β<λe(λ+r)x-β-λeλx-β;rerx-β+λeλx-β

所以φ′(x)>0,當(dāng)x>0,φ(x)是遞增的;

又因為φ(x)>0,φ(x)>0;

圖1 遞增失效率序

圖2 遞減失效率序