非線性Zener隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及遲滯特性分析

俞力洋，李國(guó)芳，吳少培，黃 然，丁旺才

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

橡膠材料因其非線性和黏彈特性而被廣泛應(yīng)用于各類隔振系統(tǒng)中,如高鐵軌下橡膠墊板[1]、鋼軌扣件彈性墊板[2]、空氣彈簧橡膠囊[3]、汽車懸架減振器緩沖塊等.為更準(zhǔn)確地反映橡膠隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,前人基于彈簧-阻尼并聯(lián)的Kelvin-Voigt模型和彈簧-阻尼串聯(lián)的Maxwell模型提出了很多復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)模型,如Zener模型[4]、Berg模型、Dzierek模型及分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型.

目前,人們對(duì)于橡膠隔振系統(tǒng)靜力學(xué)特性的研究已較為成熟[5],而對(duì)其動(dòng)態(tài)特性計(jì)算方法的探索卻相對(duì)較少.宋康[6]等通過對(duì)液壓懸置系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的拉普拉斯變換,求得系統(tǒng)動(dòng)剛度.楊俊等[7]通過對(duì)系統(tǒng)本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行傅里葉變換,得到四種橡膠元件動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)模量,進(jìn)而計(jì)算出系統(tǒng)的動(dòng)剛度與阻尼.李萬潤(rùn)等[8]基于ANSYS提出一種用來計(jì)算疊層橡膠隔震支座滯回曲線的多尺度模擬方法,并進(jìn)行相關(guān)試驗(yàn)驗(yàn)證.韋凱等[9]用復(fù)模量法所得滯回曲線上最大位移點(diǎn)與最小位移點(diǎn)所得直線的斜率表示動(dòng)剛度.周小智等[10]利用旋轉(zhuǎn)矢量法計(jì)算了Maxwell模型表征的液壓減振模型的動(dòng)態(tài)特性.

上述文獻(xiàn)均基于材料的本構(gòu)模型,通過拉普拉斯變換或復(fù)模量法對(duì)橡膠材料的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行計(jì)算,使橡膠隔振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的計(jì)算孤立于系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng).孫建鋒等[11]將抗蛇形減震器簡(jiǎn)化為Maxwell模型,計(jì)算了系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼.陳國(guó)泰[12]基于Maxwell模型研究了抗蛇形減震器的動(dòng)態(tài)特性,對(duì)高速動(dòng)車組抗蛇形減震器穩(wěn)定性展開研究.王孝然等[13-14]比較了不同類型強(qiáng)迫振動(dòng)下Maxwell模型和Kelvin-Voigt模型的振動(dòng)響應(yīng),對(duì)一種含有負(fù)剛度彈簧元件的三要素型動(dòng)力吸振器模型進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化.

相對(duì)于分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型及其他復(fù)雜組合模型,Zener模型(也被稱為標(biāo)準(zhǔn)線性黏彈固體模型或三元件Maxwell固體模型)具有較少的系統(tǒng)參數(shù),且其本身能夠同時(shí)反映Kelvin-Voigt模型無法反映的松弛特性和Maxwell模型無法反映的蠕變特性,是進(jìn)行橡膠隔振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性研究的較佳模型.本文采用非線性Zener模型表征橡膠隔振系統(tǒng)的非線性特性及遲滯特性.首先建立了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程并進(jìn)行無量綱化,采用諧波平衡法計(jì)算了系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解,并結(jié)合數(shù)值方法及UM軟件仿真進(jìn)行了響應(yīng)對(duì)比,給出了一種基于模型近似解計(jì)算系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度與滯后角的方法,分析了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間及遲滯特性的影響規(guī)律.

1 系統(tǒng)的力學(xué)模型和運(yùn)動(dòng)微分方程

非線性Zener隔振系統(tǒng)的力學(xué)模型如圖1所示,質(zhì)量塊M通過彈簧與阻尼串聯(lián)的Maxwell模型和彈性力F=K(X+εX3)的非線性彈簧連接在支撐基礎(chǔ)上,節(jié)點(diǎn)是位于Maxwell模型彈簧與阻尼中間的無質(zhì)量點(diǎn),質(zhì)量塊M在簡(jiǎn)諧激勵(lì)Fsin(ΩT)作用下往復(fù)運(yùn)動(dòng),X,Y分別為質(zhì)量塊和節(jié)點(diǎn)的位移.

圖1 非線性Zener隔振系統(tǒng)

圖1所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:

(1)

為更直觀地體現(xiàn)橡膠等黏彈隔振系統(tǒng)的幅值相關(guān)性,引入外激勵(lì)幅值F的對(duì)照參數(shù)Fs,并進(jìn)行如下無量綱變換:

則方程(1)被無量綱化為:

(2)

2 系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)

2.1 系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線

設(shè)圖1所示系統(tǒng)的主振動(dòng)為:

(3)

將(3)式代入方程(2),略去其中的高頻項(xiàng),可得關(guān)于質(zhì)量塊幅值A(chǔ)平方的一元三次方程:

(4)

方程(4)所得非負(fù)實(shí)數(shù)解為質(zhì)量塊的振動(dòng)幅值,當(dāng)所得解僅有一個(gè)正實(shí)根時(shí),對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線的單解.當(dāng)所得解為三個(gè)正實(shí)根時(shí),對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的三個(gè)共存周期解,分別是節(jié)點(diǎn)與質(zhì)量塊的兩個(gè)穩(wěn)定幅值和一個(gè)不穩(wěn)定幅值.

系統(tǒng)質(zhì)量塊和節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)幅值與相角為:

(5)

利用公式(5)可得系統(tǒng)的幅頻響應(yīng),并可結(jié)合數(shù)值方法及商業(yè)化軟件UM對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比.圖2為系統(tǒng)參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,p=2時(shí),由諧波平衡法、數(shù)值方法及UM軟件仿真所得的質(zhì)量塊幅頻響應(yīng)對(duì)比圖,由圖2可知:利用諧波平衡法所得非線性Zener隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)可與數(shù)值方法及UM軟件仿真結(jié)果良好匹配,受系統(tǒng)鞍結(jié)分岔的誘導(dǎo),在正向掃頻與反向掃頻的兩次“跳躍”之間,系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定不變集與一個(gè)不穩(wěn)定不變集的共存,記此處形成的多不變集共存區(qū)間為G.

圖2 質(zhì)量塊幅頻響應(yīng)對(duì)比圖

2.2 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

下面以μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,p=2為基準(zhǔn)參數(shù),研究參數(shù)μk、ξ、knl、p對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響,如圖3所示.由圖3(a)可以看出:剛度比μk增大時(shí),質(zhì)量塊在低頻范圍內(nèi)的振幅明顯減小,同時(shí)系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G向右移動(dòng).由圖3(b)可以看出:阻尼系數(shù)ξ增大時(shí),質(zhì)量塊共振峰值大幅降低,系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G迅速向左收縮.由圖3(c)可以看出:剛度非線性系數(shù)knl增大時(shí),質(zhì)量塊在低頻范圍內(nèi)的振幅減小,質(zhì)量塊共振峰值有所降低,且系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G迅速擴(kuò)張并向右移動(dòng).由圖3(d)可以看出:激勵(lì)幅值p減小時(shí),質(zhì)量塊在低頻范圍內(nèi)的振幅減小,質(zhì)量塊共振峰值大幅減小,且系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G迅速收縮并向左移動(dòng).

圖3 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)的影響

綜上所述,增大剛度比μk、增大剛度非線性系數(shù)knl或減小激勵(lì)幅值p,可降低系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)的振動(dòng)幅值,并使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G向右移動(dòng);增大剛度比μk對(duì)系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G的長(zhǎng)度和共振峰值影響不大;增大阻尼系數(shù)ξ會(huì)使系統(tǒng)共振峰值大幅降低、多不變集共存區(qū)間G迅速向左收縮,但不影響系統(tǒng)在低頻范圍內(nèi)的振動(dòng)幅值.在橡膠工業(yè)中,可根據(jù)上述規(guī)律選擇恰當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù),使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間遠(yuǎn)離機(jī)械設(shè)備的工作主頻,達(dá)到避開橡膠隔振系統(tǒng)的非線性跳躍和分岔的目的.

3 系統(tǒng)的遲滯特性

3.1 系統(tǒng)的滯回曲線

工程中常用橡膠隔振元件動(dòng)剛度與滯后角表征其動(dòng)態(tài)特性,下面給出一種基于模型近似解析解計(jì)算系統(tǒng)遲滯特性的方法.對(duì)圖1所示隔振系統(tǒng)進(jìn)行受力分析可知,系統(tǒng)所受無量綱恢復(fù)力為:

F=x-y+μkx=knlx3.

(6)

上述關(guān)系代入公式(3)第2式可得:

(7)

式(7)中Asin(ωt+φ)即質(zhì)量塊位移x,則節(jié)點(diǎn)位移y可由質(zhì)量塊位移x表示為如下形式(其中n=0,1,2,…):

(8)

通過式(8)可得參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,ω=2.5、質(zhì)量塊振幅A=0.41時(shí),通過質(zhì)量塊位移計(jì)算而得的節(jié)點(diǎn)位移,圖4中紅色實(shí)線為質(zhì)量塊位移x,黑色實(shí)線為節(jié)點(diǎn)位移y,綠色虛線為利用公式(8)第1式所得的節(jié)點(diǎn)位移y1(x),土黃色虛線為利用公式(8)第2式所得的節(jié)點(diǎn)位移y2(x),該圖佐證了公式(8)的正確性.

圖4 質(zhì)量塊位移x表示的節(jié)點(diǎn)位移y

將式(8)代入公式(6)可得系統(tǒng)無量綱恢復(fù)力F與質(zhì)量塊位移x之間的關(guān)系(其中n=0,1,2,…):

(9)

根據(jù)公式(9)可便捷地計(jì)算出系統(tǒng)的遲滯特性,更加便利于參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性影響規(guī)律的研究.通過公式(9)可知,系統(tǒng)的F-x圖形為一個(gè)偏轉(zhuǎn)的類橢圓.圖5所示為參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,ω=2.5,A=0.41時(shí),非線性Zener隔振系統(tǒng)的F-x曲線,即系統(tǒng)在該參數(shù)條件下的滯回曲線,其中Fmax、Fmin、xmax、xmin,分別為滯回曲線上力的最大、最小值以及位移的最大、最小值.

圖5 系統(tǒng)的滯回曲線

由圖5可以看出:非線性Zener隔振系統(tǒng)的F-x曲線不僅表現(xiàn)出非線性,而且還有明顯的遲滯特性,因此該系統(tǒng)可呈現(xiàn)良好的隔振性能.圖6為系統(tǒng)參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41,激勵(lì)頻率ω分別取1,2,4,8,16時(shí),系統(tǒng)的滯回曲線,由圖可以看出:激勵(lì)頻率ω從1增大至8的過程中,系統(tǒng)滯回曲線逐步傾斜,而圖中ω=8與ω=16的藍(lán)色回線與綠色回線非常接近,即當(dāng)ω足夠大時(shí),系統(tǒng)的滯回曲線將不再偏轉(zhuǎn).

圖6 不同激勵(lì)頻率下系統(tǒng)的滯回曲線

3.2 系統(tǒng)的無量綱動(dòng)剛度與滯后角

為更清晰地反映系統(tǒng)滯回曲線隨激勵(lì)頻率ω變化時(shí)的偏轉(zhuǎn)趨勢(shì),可基于公式(9)所得滯回曲線(圖5)的幾何特征,利用動(dòng)剛度的傳統(tǒng)計(jì)算方法(公式(10)),便捷地計(jì)算出非線性Zener隔振系統(tǒng)的無量綱動(dòng)剛度kd.

(10)

圖7為系統(tǒng)參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41時(shí),模型無量綱動(dòng)剛度kd隨激勵(lì)頻率ω的變化規(guī)律,由圖可以看出:當(dāng)激勵(lì)頻率ω<10時(shí),隨著ω的增大,系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度kd急劇增加,當(dāng)激勵(lì)頻率ω>15時(shí),系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度隨ω的變化很小.

圖7 激勵(lì)頻率ω對(duì)系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度kd的影響

公式(10)為橡膠隔振系統(tǒng)動(dòng)剛度的傳統(tǒng)計(jì)算方法,該計(jì)算結(jié)果僅取決于滯回曲線上的四個(gè)點(diǎn),對(duì)于非線性Zener隔振系統(tǒng)動(dòng)剛度的計(jì)算,容易產(chǎn)生較大的誤差.本文后續(xù)無量綱動(dòng)剛度的計(jì)算均基于最小二乘法對(duì)所得滯回曲線的全部數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行線性擬合,所得擬合直線的斜率即系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)剛度kd,該方法可以避免個(gè)別數(shù)據(jù)點(diǎn)的偏離對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響,且最小二乘法在MATLAB中可通過式(11)所示的簡(jiǎn)單指令實(shí)現(xiàn).

kd=polyfit(x,F).

(11)

基于圖5所示的滯回曲線,利用公式(12)可計(jì)算出非線性Zener隔振系統(tǒng)的滯后角η.

(12)

式中,F0為質(zhì)量塊位移x為零時(shí)系統(tǒng)的無量綱恢復(fù)力,Fmax為系統(tǒng)無量綱恢復(fù)力的最大值.

圖8為參數(shù)取時(shí)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41,非線性Zener隔振系統(tǒng)滯后角η隨激勵(lì)頻率ω的變化規(guī)律,由圖可以看出:非線性Zener隔振系統(tǒng)滯后角η隨著激勵(lì)頻率ω的增大先急劇增大后緩慢減小,在該參數(shù)條件下,系統(tǒng)滯后角η在激勵(lì)頻率ω=2.4處達(dá)到最大值ηmax=18.876 3°.

圖8 激勵(lì)頻率ω對(duì)系統(tǒng)滯后角η的影響

3.3 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

圖9(a)～(c)為基準(zhǔn)參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41時(shí),系統(tǒng)剛度比μk、阻尼系數(shù)ξ、剛度非線性系數(shù)knl對(duì)系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度的影響規(guī)律.由圖可以看出:相同激勵(lì)頻率下,剛度比和剛度非線性系數(shù)的增大會(huì)使系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度也隨之增大;阻尼系數(shù)的增加不影響系統(tǒng)在高頻激勵(lì)下的無量綱動(dòng)剛度,而在低頻范圍內(nèi),阻尼系數(shù)的增大加劇了系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度隨激勵(lì)頻率增大的速率.

圖9 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)無量綱動(dòng)剛度kd的影響

圖10(a)～(c)為基準(zhǔn)參數(shù)μk=1,ξ=0.15,knl=0.3,A=0.41時(shí),系統(tǒng)剛度比μk、阻尼系數(shù)、剛度非線性系數(shù)knl對(duì)系統(tǒng)滯后角η的影響規(guī)律.由圖可以看出:剛度比和非線性系數(shù)的變化不影響系統(tǒng)最大滯后角的發(fā)生頻率,在相同激勵(lì)頻率下,剛度比和非線性系數(shù)的增加會(huì)減小系統(tǒng)滯后角;阻尼系數(shù)的增加雖然不影響系統(tǒng)最大滯后角,但會(huì)使系統(tǒng)的最大滯后角的發(fā)生頻率向低頻方向移動(dòng).

圖10 系統(tǒng)參數(shù)對(duì)滯后角η的影響

3.4 激勵(lì)頻率和振幅對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響

早在1965年,Payne就發(fā)現(xiàn)橡膠材料的動(dòng)態(tài)模量具有振幅相關(guān)性,后來的學(xué)者發(fā)現(xiàn)影響襯套力學(xué)性能的因素主要為振幅、頻率和溫度[15].由公式(9)～(11)也可以看出:非線性Zener隔振系統(tǒng)的動(dòng)剛度kd和滯后角η除與系統(tǒng)參數(shù)(阻尼系數(shù)ξ、剛度比μk、剛度非線性系數(shù)knl)有關(guān)之外,還與激勵(lì)頻率ω、質(zhì)量塊位移幅值A(chǔ)密切相關(guān).

圖11為參數(shù)取μk=1,ξ=0.15,knl=0.3時(shí),系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度受質(zhì)量塊振動(dòng)幅值A(chǔ)的影響規(guī)律,由圖11可以看出:相同激勵(lì)頻率下,系統(tǒng)動(dòng)剛度kd會(huì)因質(zhì)量塊振動(dòng)幅值A(chǔ)的增大而增大.

圖11 質(zhì)量塊振動(dòng)幅值對(duì)系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度kd的影響

圖12為不同質(zhì)量塊振動(dòng)幅值下,系統(tǒng)滯后角η隨外激勵(lì)頻率ω的變化情況,由圖可以看出:增大質(zhì)量塊振動(dòng)幅值A(chǔ)會(huì)使滯后角η的最大值降低,且η最大值對(duì)應(yīng)的外激勵(lì)頻率ω也有微幅增大.

圖12 質(zhì)量塊振動(dòng)幅值對(duì)系統(tǒng)滯后角η的影響

綜上所述,隨著激勵(lì)頻率的增加,系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度先增大后趨于穩(wěn)定;系統(tǒng)阻尼系數(shù)的增加會(huì)增大系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度隨激勵(lì)頻率變化的速率,同時(shí)使滯后角曲線向左移動(dòng);系統(tǒng)剛度比、剛度非線性系數(shù)、振動(dòng)幅值的增加會(huì)使系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度增大,同時(shí)使系統(tǒng)滯后角減小.工程中可根據(jù)實(shí)際需求調(diào)整系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度及滯后角,使橡膠隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)更佳的動(dòng)態(tài)特性.

4 結(jié)論

本文采用非線性Zener模型表征橡膠隔振系統(tǒng),求得系統(tǒng)近似解析解,并利用多種方法進(jìn)行了解析解正確性的驗(yàn)證,分析了參數(shù)對(duì)系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間和動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響規(guī)律,給出了一種基于模型近似解析解計(jì)算橡膠隔振系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度與滯后角的方法,得出以下結(jié)論:

1)諧波平衡法所得系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)可與數(shù)值方法及UM軟件仿真結(jié)果良好匹配,為非線性Zener模型的求解提供了一種方法參考.

2)受模型非線性因素的影響,非線性Zener隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)出多不變集共存現(xiàn)象,剛度比μk的增大使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間向右移動(dòng),阻尼系數(shù)ξ主要影響系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間的長(zhǎng)度,而非線性系數(shù)knl和激勵(lì)幅值p的增大使系統(tǒng)多不變集共存區(qū)間G在急劇放大的同時(shí)也發(fā)生了向右的移動(dòng).

3)在系統(tǒng)響應(yīng)近似解的基礎(chǔ)上,可便捷地計(jì)算出系統(tǒng)的遲滯特性;隨著激勵(lì)頻率ω的增加,系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度kd先增大后趨于穩(wěn)定;系統(tǒng)剛度比μk、剛度非線性系數(shù)knl、振動(dòng)幅值A(chǔ)的增加會(huì)使系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度kd增大,同時(shí)使系統(tǒng)滯后角η減小;系統(tǒng)阻尼系數(shù)ξ的增加會(huì)增大系統(tǒng)無量綱動(dòng)剛度kd隨激勵(lì)頻率變化的速率,并使系統(tǒng)滯后角曲線向左移動(dòng).

上述研究結(jié)果與方法,可為黏彈性隔振系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù),從而達(dá)到避開橡膠隔振系統(tǒng)的非線性跳躍和分岔的目的,使橡膠隔振系統(tǒng)呈現(xiàn)更佳的動(dòng)態(tài)特性.