一類非線性波方程的潘勒韋分析、對稱和精確解

劉漢澤李雪霞

(聊城大學數(shù)學科學學院,山東 聊城 252059)

0 引言

非線性科學主要研究自然科學和現(xiàn)實應(yīng)用中的各種非線性現(xiàn)象,包括混沌、分形、孤立子與可積性等,非線性理論不僅具有重要的理論意義,而且有重要的應(yīng)用價值,例如在工程、社會和經(jīng)濟等領(lǐng)域,包括財政問題、人力資源等方面,都具有重要的意義。而描述各種非線性現(xiàn)象的數(shù)學模型一般為非線性微分方程。因此,為了深入研究相關(guān)領(lǐng)域的各種實際問題,研究非線性微分方程的各種精確解就顯得非常必要,因為它有助于人們定量地理解各種非線性現(xiàn)象的物理與實際意義,并用于指導實踐。同時,精確求解各類非線性方程也是非線性科學研究的重要任務(wù)之一。到目前為止,已產(chǎn)生大量的求解非線性偏微分方程精確解的有效方法,如對稱分析、不變子空間法,可積系統(tǒng)方法,包括達布(Darboux)變換與貝克隆(B?cklund)變換,動力系統(tǒng)方法與各種待定函數(shù)法等。其中,潘勒韋(Painlevé)分析[1-4]與對稱分析[5-10]是研究非線性方程的系統(tǒng)有效方法,在非線性系統(tǒng)的求解與可積性研究中起著重要的作用。

M.Kowlczyk等研究了一類重要的Φ4模型[11],該模型在物理、非線性理論以及工程應(yīng)用等領(lǐng)域有著重要的意義[11-13]。但是,相關(guān)文獻迄今未見利用Painlevé分析或?qū)ΨQ分析的研究結(jié)果。本文首先對原方程加以推廣,使之更一般化。然后,利用Painlevé分析與對稱分析相結(jié)合的方法,研究如下的非線性偏微分方程u xt＝au＋bu p,(1)其中u＝u(x,t)為未知函數(shù),x、t是自變量,a、b、p為任意實數(shù)且b≠0,p≠0,1(否則,方程為線性)。方程(1)也是一類重要的非線性波方程,主要描述一些非線性波的運動規(guī)律。在應(yīng)用物理、非線性光學、非線性波理論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用背景,這類方程也是動力系統(tǒng)與可積系統(tǒng)研究的重要對象之一。在本文,作者首先利用潘勒韋分析,得到方程的潘勒韋性質(zhì)并給出了在一定條件下的貝克隆變換與截斷展開解。然后,利用李群分析給出方程的所有點對稱,最后,研究方程的對稱約化與群不變解。

1 方程(1)的潘勒韋分析

在本節(jié)中,我們對方程(1)進行潘勒韋分析。為此,首先假定指數(shù)p為大于1的正整數(shù)。設(shè)

其中u j＝u j(x,t)為系數(shù)函數(shù),φ＝φ(x,t)≠0為任意解析函數(shù)且u0≠0,k為正整數(shù),(2)也稱潘勒韋展式或羅朗展式(羅朗級數(shù))。將(2)代入方程(1),由首項分析,得到

由(3)可知,若k、p均為正整數(shù),有且僅有以下兩種情形:當p＝2時,k＝2;當p＝3時,k＝1。綜上,可得如下結(jié)論。

定理1 若方程(1)具有潘勒韋性質(zhì),則p＝2或p＝3。

此定理給出了方程(1)潘勒韋可積的必要條件,否則,方程不可積(不具有潘勒韋性質(zhì))。

下面,對以上兩種情形分別討論。

(1)當p＝2時,k＝2。此時,把潘勒韋展式(2)代入方程(1),可得

亦即u1＝u1(x,t)滿足方程(1),由此即得。

定理3 當(22)滿足時,(21)為方程方程(1)的貝克隆變換。

特別地,在方程(1)中令a＝0,由上述討論可得非線性方程u xt＝bu p的潘勒韋性質(zhì),此處從略。

2 方程(1)的對稱分析

本節(jié),我們研究方程(1)的對稱性,并給出它的所有點對稱。為使結(jié)論更具一般性,只需假定方程的所有參數(shù)a、b、p為任意實數(shù)。首先,設(shè)方程有如下形式的向量場

需要說明的是,第一,方程的的對稱與系數(shù)a、b及指數(shù)p無關(guān),只需假定系數(shù)b≠0及指數(shù)p≠0,1即可;第二,(26)包含了方程(1)的所有點對稱。

下面,討論方程的對稱約化。為此,只需考慮以下兩種情況

(1)對于V＝c?x＋?t,可得對稱變換u＝f(η),其中η＝x－ct(c表示波速)為不變量,它對應(yīng)行波變換。代入方程(1),得

其中導數(shù)表示對不變量η求導。

(2)對于V＝x?x－t?t,可得對稱變換u＝f(η),其中η＝xt為不變量。代入方程(1),得

其中導數(shù)表示對不變量η求導。這樣,通過上述兩種不變量,分別將方程(1)約化為常微分方程(27)及(28),從而將偏微分方程的求解轉(zhuǎn)化為常微分方程的求解。

3 非線性波方程的精確解

在本節(jié)中,利用對稱約化,研究非線性方程(1)的精確解,以p＝3為例,其它情況可類似考慮。此時,方程(27)為

其中h為任意常數(shù)。從理論上說,求出了首次積分,也就相當于得到了系統(tǒng)的通解[14],從而得到原非線性波方程(1)的解。下一步,可通過兩條途徑得到顯式解,一是對首次積分直接積分,得出通解,二是基于首次積分,利用動力系統(tǒng)方法分析系統(tǒng)的奇點與分支,進而得到系統(tǒng)的各種行波解[14-16],本文從略。

當p＝3時,方程(28)為

所以,方程(31)的冪級數(shù)形式的通解可表示為f(η)＝k1f1(η)＋k2f2(η),其中k1,k2為任意常數(shù)。相應(yīng)地,可得非線性波方程(1)的解為u＝f(xt)＝k1f1(xt)＋k2f2(xt),其中f1、f2分別由(32)、(35)給出,其系數(shù)分別由(33)、(37)依次給出。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用潘勒韋分析得到了方程(1)的可積性(潘勒韋可積),并給出了當方程滿足一定條件時的貝克隆變換及截斷展開解。進一步,研究了方程(1)的對稱性,得到了方程所有的點對稱?；趯ΨQ約化,研究了方程的群不變解,包括行波解。最后需要指出的是,潘勒韋分析和對稱分析是研究非線性方程精確解與可積性的系統(tǒng)有效方法,其中還有許多問題可以進一步討論,例如方程的廣義對稱性、完全可積性以及更多形式的精確解等,都是今后可以研究的內(nèi)容。