小波技術(shù)在“數(shù)字圖像處理”課程中的教學(xué)應(yīng)用

張湃，王麗俠

（唐山學(xué)院智能工程學(xué)院，河北唐山，063000）

0 引言

為切實(shí)響應(yīng)教育部《關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見(jiàn)》的的內(nèi)容，支持學(xué)生盡早進(jìn)入項(xiàng)目、實(shí)驗(yàn)室和團(tuán)隊(duì)，通過(guò)先進(jìn)的研究提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力。近年來(lái)，本教研組致力于實(shí)施數(shù)學(xué)，在圖像去噪領(lǐng)域?qū)W習(xí)優(yōu)秀，從研究?jī)?nèi)容和成果到數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)，逐步形成了以質(zhì)量、應(yīng)用、研究為目標(biāo)的多層次、創(chuàng)新的人才學(xué)習(xí)方式，取得了良好的實(shí)踐教學(xué)效果。

目前，圖像已經(jīng)進(jìn)入人類社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng)域。通常情況下，采集的圖像包含噪聲[1]。噪聲被定義為“阻止人體器官理解其接收到的源信息的因素”。特別是數(shù)字圖像；由于信噪比可以準(zhǔn)確地描述噪聲對(duì)圖像質(zhì)量和圖像質(zhì)量的影響，因此噪聲水平是通過(guò)信噪比（SNR）來(lái)測(cè)量的。

在現(xiàn)有的算法中，代表小波變換域的最先進(jìn)的全局軟閾值圖像[2]，但它存在缺陷，容易產(chǎn)生“扼殺”現(xiàn)象。本設(shè)計(jì)提出了一種新的圖像尺度模型，這意味著實(shí)驗(yàn)。通過(guò)分析波衰減后圖像尺度之間的關(guān)系，定義了去除圖像噪聲的局部自適應(yīng)閾值，并利用數(shù)字圖像等課程知識(shí)，使學(xué)生能夠利用波浪尺度信息設(shè)計(jì)自適應(yīng)局部閾值。通過(guò)本設(shè)計(jì)的實(shí)踐和實(shí)施，擴(kuò)展和鞏固學(xué)生所學(xué)的基礎(chǔ)理論和專業(yè)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用新知識(shí)的能力。

1 圖像尺度模型去噪原理

小波變換[3-5]是一種時(shí)頻分析，它可以同時(shí)在頻域和頻域內(nèi)分析信號(hào)，從而有效區(qū)分信號(hào)和噪聲的尖銳部分，了解信號(hào)降噪過(guò)程。它具有高頻率分辨率和低時(shí)間分辨率低頻。它在高頻段具有高時(shí)間分辨率和低頻率分辨率。它非常適合檢測(cè)和顯示正常信號(hào)中的瞬態(tài)異?，F(xiàn)象。它在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)顯示出強(qiáng)大的優(yōu)勢(shì)；以及圖像信號(hào)去噪。

一般來(lái)說(shuō)，有用信號(hào)通常是低頻信號(hào)或一些相對(duì)穩(wěn)定的信號(hào)，而噪聲信號(hào)通常是高頻信號(hào)。因此，降低噪聲水平的過(guò)程主要包括以下處理：初始信號(hào)被波光衰減，噪聲級(jí)通常被高頻系數(shù)覆蓋；然后以閾值的形式確定波衰減的高頻系數(shù)。

基本波去噪就是找到從實(shí)際信號(hào)空間到房間波長(zhǎng)函數(shù)的最佳映射，以獲得原始信號(hào)的最佳恢復(fù)。波去噪實(shí)際上是邊界挖掘和低容量過(guò)濾功能的綜合。

基于小波變換尋找去除噪聲的最佳方法的過(guò)程實(shí)際上就是尋找處理波系數(shù)的最佳方法的過(guò)程。常用的去噪方法可分為三類：①模極大值檢測(cè)法；②小波系數(shù)相關(guān)去噪法；③閾值去噪法。

■1.1 模極大值檢測(cè)法

信號(hào)奇異性表示某個(gè)信號(hào)在某處被中斷，或一系列導(dǎo)數(shù)被中斷或中斷。顯然，無(wú)限推斷函數(shù)是平滑的或不是奇異的。唯一的一點(diǎn)，這是信號(hào)的突變，Lipschitz指數(shù)與小波變換后的局部最大系數(shù)模量相關(guān)。在不同尺度上波動(dòng)后，在局部最大阻尼率下測(cè)量信號(hào)的局部奇異性。模極大值效用信號(hào)和噪聲波變換在多尺度分析中表現(xiàn)出不同的奇異性，以消除噪聲產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，保留模極大值產(chǎn)生的信號(hào)。最后，利用剩余模極大值估計(jì)波系數(shù)，然后使用估計(jì)的小波系數(shù)來(lái)恢復(fù)信號(hào)。該算法的基本過(guò)程是：

(1)原始信號(hào)已從波分解，并計(jì)算每個(gè)尺度的模極大值小波變換系數(shù)；

(2)閾值處理從最高刻度開(kāi)始，如果模塊最大點(diǎn)振幅的絕對(duì)值超過(guò)指定閾值，則必須保留一個(gè)點(diǎn)，否則必須刪除一個(gè)點(diǎn)；

(3)根據(jù)模極大值估計(jì)和計(jì)算Wavel系數(shù)，以維持每個(gè)尺度；

(4)根據(jù)估計(jì)的波長(zhǎng)系數(shù)恢復(fù)信號(hào)。

如果使用模的最大檢測(cè)方法進(jìn)行脫模，脫模效果對(duì)噪聲的依賴性較小，性能穩(wěn)定。如果圖像中含有白噪聲和更多的奇異點(diǎn)，則表示的圖像不會(huì)有過(guò)度的振動(dòng)，可以達(dá)到較高的信噪比。在使用這種方法時(shí)，還應(yīng)注意波系數(shù)的尺度、閾值和計(jì)算方法的評(píng)估。

■1.2 小波系數(shù)相關(guān)法

小波域?yàn)V波應(yīng)根據(jù)不同尺度上不同形式的信號(hào)和噪聲設(shè)計(jì)相應(yīng)的去除規(guī)則，以便對(duì)波信號(hào)和噪聲系數(shù)進(jìn)行處理。與噪聲相對(duì)應(yīng)，同時(shí)，與有效信號(hào)相對(duì)應(yīng)的波速系數(shù)得到了最大程度的保持。但是與相應(yīng)噪聲相對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)系數(shù)不是那么明顯的相關(guān)尺度。通過(guò)轉(zhuǎn)換圖像的多層波形因子，可以計(jì)算相鄰尺度之間波形轉(zhuǎn)換系數(shù)的相關(guān)性，利用不同尺度上波長(zhǎng)系數(shù)的相關(guān)性可以區(qū)分信號(hào)系數(shù)和噪聲系數(shù)，可以在信號(hào)和噪聲之間進(jìn)行選擇，最后選擇后的信號(hào)可以恢復(fù)到估計(jì)的波長(zhǎng)系數(shù)。

在該方法中，保留所有低分辨率（大尺度）的小波變換系數(shù)，高分辨率（小尺度）的小波變換系數(shù)僅當(dāng)它們是邊緣附近的固定點(diǎn)時(shí)才保留，由于波浪噪聲轉(zhuǎn)換主要集中在小尺度水平，經(jīng)過(guò)上述處理后，噪聲基本消除，伺服信息得到更好的維護(hù)。算法的基本過(guò)程是：

(1)波在初始信號(hào)處分解；

(2)計(jì)算波衰減后的信號(hào)波速系數(shù)，并將相關(guān)系數(shù)歸一化；

(3)如果給定標(biāo)度上某一點(diǎn)的歸一化系數(shù)大于同一標(biāo)度點(diǎn)的波浪系數(shù)，則認(rèn)為該點(diǎn)的波浪層系數(shù)由信號(hào)產(chǎn)生，且適當(dāng)?shù)拇胧?huì)增加該點(diǎn)的相應(yīng)振幅系數(shù)。該點(diǎn)處的波浪系數(shù)值由該點(diǎn)處的歸一化系數(shù)確定，該點(diǎn)處的波浪系數(shù)視為確定。否則，該點(diǎn)處的波浪系數(shù)被認(rèn)為是由噪聲引起的，該點(diǎn)處的波浪系數(shù)已存活，歸一化波浪系數(shù)確定為0。然后，應(yīng)在每個(gè)標(biāo)度上重新計(jì)算歸一化系數(shù)；

用去噪法計(jì)算小波的相關(guān)系數(shù)的想法很簡(jiǎn)單，但計(jì)算量大，必須重復(fù)多次，并且給定點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)僅由兩個(gè)相鄰尺度的波長(zhǎng)系數(shù)確定。如果波衰減有誤差，相關(guān)系數(shù)可能不會(huì)真正反映在相關(guān)點(diǎn)上，因此，如何有效、正確地計(jì)算相關(guān)系數(shù)以及如何選擇閾值仍然是一個(gè)需要討論的問(wèn)題。

■1.3 去噪方法閾值

閾值去噪方法是通過(guò)小波變換圖像得到小波變換系數(shù)，由于信號(hào)波系數(shù)包含重要信息，其數(shù)據(jù)較小，振幅變化較大，然而，波信號(hào)系數(shù)與噪聲正好相反。通過(guò)建立一個(gè)特定的閾值，可以對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行交易，從而獲得小波系數(shù)的估計(jì)值。最后，可以獲得一個(gè)表示圖像，該算法基于以下過(guò)程：

(1)波在初始信號(hào)處分解；

(2)確定波點(diǎn)的系數(shù)以獲得估計(jì)的波系數(shù)；

(3)應(yīng)根據(jù)估計(jì)的波長(zhǎng)系數(shù)進(jìn)行波長(zhǎng)重建。

閾值去噪方法應(yīng)用簡(jiǎn)單，計(jì)算量小，在實(shí)際中應(yīng)用廣泛。有兩種閾值處理方法：一種是重閾值法，硬閾值法得到的波的連續(xù)性差，恢復(fù)的信號(hào)可能是突變或振蕩，第二種是軟閾值法，軟閾值法得到的波系數(shù)一致性好，但如果小波系數(shù)較高，則處理后的波系數(shù)與實(shí)際波系數(shù)之間存在一定的差異，從而導(dǎo)致重建結(jié)果存在誤差。

如果選擇的閾值太高或太低，則在保留圖像細(xì)節(jié)和邊緣信息的同時(shí)無(wú)法取消該閾值。目前，閾值的選擇和使用可分為全局閾值和局部自適應(yīng)閾值。根據(jù)不同地層方向選擇局部閾值。

設(shè)一個(gè)含噪聲的信號(hào)的模型可以表示成如下形式：

其中，zi代表高斯白噪聲，λ是噪聲級(jí)，n是信號(hào)長(zhǎng)度。若要從被噪聲污染的信號(hào)wj,k中恢復(fù)出原始信號(hào)ix，則基于小波分析的去噪方法分為以下3個(gè)步驟：

(1)計(jì)算含噪信號(hào)的交叉波轉(zhuǎn)換，選擇合適的波和波衰減層對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行分解，得到相應(yīng)的波衰減系數(shù)，包括低頻系數(shù)和高頻系數(shù)。

(2)已在閾值范圍內(nèi)處理退化的波浪系數(shù)。已選擇適當(dāng)?shù)拈撝堤幚砀鲗拥牟ㄋ傧禂?shù)。

(3)對(duì)逆波進(jìn)行變換?；謴?fù)閾值處理后的波系數(shù)，以獲得恢復(fù)后的初始信號(hào)估計(jì)。

在小波變換域去噪中，通常根據(jù)小波變換退化后各層的分布系數(shù)選擇不同的閾值。這種自適應(yīng)閾值代表了一種算法，它很好地保留了圖像的細(xì)節(jié)，因此得到了廣泛的應(yīng)用。在討論之前，如何確定小波變換去噪算法，對(duì)小波變換系數(shù)進(jìn)行了分析。

小波變換分解的系數(shù)近似等于高斯分布（GD）或近似拉普拉斯分布[6]，閾值表達(dá)式如下：

式中，nσ為噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差，α是信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，即所以式(2)可以重寫(xiě)為:

對(duì)于nσ可以通過(guò)下式來(lái)計(jì)算:

2 圖像尺度模型去噪設(shè)計(jì)

該項(xiàng)目生成的成像比例模型的退出測(cè)試允許理解指示空域算法的自適應(yīng)軟閾值。該方法評(píng)估信號(hào)的能量，計(jì)算總矩陣方差，并將單個(gè)系數(shù)的處理考慮在內(nèi)。比例模型已應(yīng)用于比例室各個(gè)層面各個(gè)方向的小波變換域。該部分系數(shù)的方差應(yīng)計(jì)算為與矩陣和噪聲相關(guān)的該部分系數(shù)的能量。定義小波變換系數(shù)的尺度值為Z(i,j)：

S是小波變換分解后朝向下曲率的鄰域系數(shù)，通常取3×3，N是系數(shù)S的系數(shù)。實(shí)際上，可以根據(jù)需要調(diào)整鄰域中的圖像內(nèi)容。

(1)對(duì)噪聲圖像進(jìn)行小波變換分解；

(2)用尺度模型將小波變換域內(nèi)各級(jí)尺度空間的各個(gè)方向的小波變換系數(shù)矩陣分成多個(gè)部分。尺度值越小，分得越細(xì)。計(jì)算每部分的方差，并按式(3)計(jì)算噪聲方差；

(3)根據(jù)公式（4）獲得每個(gè)分量的信號(hào)容差和相應(yīng)的閾值；

(4)軟閾值用于表示波層到矩陣的轉(zhuǎn)換系數(shù)，并用于波層轉(zhuǎn)換系數(shù)的不同分類；

(5)去噪后重構(gòu)小波變換系數(shù)。

在小波域去噪中，通常根據(jù)小波退化后各層的分布系數(shù)選擇不同的閾值。這種自適應(yīng)閾值代表了一種算法，它很好地保留了圖像的細(xì)節(jié)，因此得到了廣泛的應(yīng)用。在討論之前，如何確定小波變換去噪算法，對(duì)小波變換系數(shù)進(jìn)行了分析。

圖1 表示波層改變Lena分解圖像后，最佳層和粗糙層在一個(gè)方向上的次曲率系數(shù)。該圖是y系數(shù)的值，N是系數(shù)的數(shù)目。這可以被視為圖像分解波變換的系數(shù)變化很小的指標(biāo)，能量集中在有限系數(shù)t上在轉(zhuǎn)置域中，大多數(shù)其他系數(shù)幾乎為零。

圖1 三組硬閾值、軟閾值、本設(shè)計(jì)去噪效果仿真圖

命名也受閾值選擇的影響，其值不相同。確定限值和標(biāo)準(zhǔn)差表示譴責(zé)效應(yīng)和閾值之間的選擇關(guān)系。在標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，不同的值對(duì)譴責(zé)有不同的影響。現(xiàn)在比較三組去噪效果：

與上述三類圖像的效果相比，信噪比明顯優(yōu)于硬閾值和軟閾值算法。硬閾值數(shù)據(jù)與設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)基本相同，但對(duì)圖像細(xì)節(jié)的保護(hù)明顯優(yōu)于重閾值。

從圖1可以看出，這三種算法具有不同的去噪效果。三次去噪后圖像信噪比（SNR）增加，因?yàn)闄z測(cè)后恢復(fù)的圖像噪聲成分減少，從而提高了信噪比（SNR）。但是，通過(guò)視覺(jué)影響比較圖片，嚴(yán)重閾值算法的視覺(jué)效果最差，軟閾值算法的視覺(jué)效果更詳細(xì)，最好的視覺(jué)效果是本書(shū)中的算法，這是因?yàn)殚撝邓惴ㄊ且粋€(gè)固定值；在小波域中，一般圖像的所有部分，其系數(shù)大于或小于被去除的閾值。然而，圖像本身在波長(zhǎng)中的某些系數(shù)也超過(guò)或小于閾值，導(dǎo)致圖像在重建過(guò)程中出現(xiàn)失真、大量細(xì)節(jié)丟失、突變或振蕩以及圖像不透明度。軟閾值算法采用局部閾值去噪，在小波域中，去除圖像各部分的噪聲因子，盡可能多地保留圖像系數(shù)的分量。然而，渲染每個(gè)分量的系數(shù)不均勻，導(dǎo)致在退出后去除不完整的噪聲因子，導(dǎo)致退出后圖像的低信噪比（SNR）；由于重建圖像邊緣的視覺(jué)效果導(dǎo)致連續(xù)波系數(shù)偏差較大，因此圖像模糊。這樣，噪聲系數(shù)和圖像系數(shù)可以分離，重建后的圖像具有良好的視覺(jué)效果，信噪比（SNR）較高，排除了圖像邊緣不透明度的視覺(jué)效果。

與上述三組圖像相比，該算法得到的信噪比明顯高于硬閾值和軟閾值算法，相應(yīng)的色散值也較低。

3 結(jié)論

本設(shè)計(jì)主要研究一種基于尺度的自適應(yīng)波形算法。首先，分析波形系數(shù)并基于尺度設(shè)置閾值。與小波域的軟閾值和硬閾值方法相比，本設(shè)計(jì)基于現(xiàn)有算法，通過(guò)去除噪聲和保持圖像細(xì)節(jié)，實(shí)現(xiàn)了更好的節(jié)點(diǎn)，具有較高的實(shí)用價(jià)值。通過(guò)matlab7.0軟件，將操作過(guò)程和算法結(jié)果形象地展示出來(lái)，并且與傳統(tǒng)算法相比，其優(yōu)勢(shì)更加突出。