折疊問(wèn)題的解題策略

何婷

本課選自遼寧教育學(xué)院“學(xué)到匯”公眾服務(wù)平臺(tái)“遼寧省初中數(shù)學(xué)學(xué)科教研核心團(tuán)隊(duì)名師公益學(xué)堂”，旨在引領(lǐng)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展，服務(wù)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)。

折疊問(wèn)題通常以三角形或四邊形為原始圖形，折疊的過(guò)程是作軸對(duì)稱(chēng)變換的過(guò)程，其隱藏條件較多，如：折疊過(guò)程一定會(huì)產(chǎn)生全等圖形，有線段相等、角相等、面積相等的結(jié)論;折痕具有雙重身份——其所在直線是對(duì)稱(chēng)軸（即對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線，通常是引輔助線的依據(jù)），折痕所在的射線是角平分線.

折疊問(wèn)題的破解策略：首先要抓住折痕，找全折疊隱含的條件，再識(shí)別基本模型，運(yùn)用模型轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系，最后結(jié)合數(shù)據(jù)直接或列方程求解.

模型構(gòu)建

一、軸對(duì)稱(chēng)全等模型

如圖1，將[△A]BC折疊，[DE]為折痕，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，則[△A]DE ≌ [△A']DE，從而得到兩對(duì)相等的邊和三對(duì)相等的角，折痕[DE]所在射線是∠ADA'和∠AEA'的平分線，所在直線是對(duì)應(yīng)點(diǎn)A ，A'的連線的中垂線.（注意：一定是折痕垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線.）

因此，求解折疊問(wèn)題要先抓折痕，找出軸對(duì)稱(chēng)全等模型.

二、8字型全等模型與平行中點(diǎn)8字型全等模型

如圖3，AD[?]BC，AB[?]DC，折疊四邊形[ABC]D，[BD]為折痕，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C'，由軸對(duì)稱(chēng)模型有[△]CBD ≌ [△C']BD，得到相等的邊和角，易得[△]AOB ≌ [△C']OD，可得一對(duì)8字型全等模型. 若條件中再有平行或中點(diǎn)，則可考慮平行中點(diǎn)8字型全等模型.

在圖2中，折疊矩形ABCD，EF為折痕，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'，則[EF]垂直平分BD，易得平行中點(diǎn)8字型全等模型[，即△DOE≌△BOF].

三、鐵三角模型

如圖3，由“折痕所在射線為角平分線”和平行線的性質(zhì)可得∠1 = ∠3，則[△OBD]為等腰三角形.

由此我們發(fā)現(xiàn)：若圖中有角平分線（∠1 = ∠2）、平行線（∠2 = ∠3），就能得到等腰三角形，通過(guò)這三個(gè)角的邊，我們可以構(gòu)建出一個(gè)基本模型.

我們還能進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：只要平行線、角平分線、等腰三角形這三個(gè)條件中有兩個(gè)成立，就能將第三個(gè)作為結(jié)論推出，即知二得一. 我們把這個(gè)模型稱(chēng)為鐵三角（如圖3）. 該模型常見(jiàn)于折疊問(wèn)題，其作用是轉(zhuǎn)化相等的邊.

變式演練

原題：如圖4，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，D為AC邊上一點(diǎn)，連接BD，將[△]BCD沿BD折疊至[△]BC'D的位置，使BC落在AB邊上，則C'D的長(zhǎng)為_(kāi)__________. （解題過(guò)程略，答案是3[3] - 3）

變式1：如圖5，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，E為AB邊上一點(diǎn)，連接CE，將[△]BCE沿CE折疊至[△]B'CE的位置，使BC落在AC邊上，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)__________.

學(xué)法指導(dǎo)：如圖5，軸對(duì)稱(chēng)全等模型顯而易見(jiàn)，可轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)和角度. 設(shè)BE = [x]，則B'E = [x]，AE = 3[3] - [x]，由∠A = 30°，∠AB'E = ∠B = 90°，則AE = 2[x].若將題目條件一般化，去掉∠A = 30°，換成已知AB等于3[3]，則3[3] - [x]是通法. 在折疊后產(chǎn)生的Rt[△A]B'E中，利用勾股定理列方程求得[x] = [3]，即BE = [3].

變式2：如圖6，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，E為BC邊的中點(diǎn)，D為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，將[△]BDE沿DE折疊至[△]B'DE的位置，B恰好落在AC邊上，求BB'和DE.

學(xué)法指導(dǎo)：此題為軸對(duì)稱(chēng)模型加中點(diǎn)的綜合應(yīng)用.由軸對(duì)稱(chēng)模型知BE = B'E，DE垂直平分B'B，結(jié)合E為BC的中點(diǎn)，得BE = B'E = CE（此為我們熟悉的雙等腰模型），可得∠CB'B = 90°，BB'既可用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，也可用等積法求解. 易得DE[?]AC，則∠EDB = ∠A = 30°，從而DE = 2BE = 3.

變式3：如圖7，在[△ABC中]，∠ABC = 90°，∠A = 30°，BC = 3，D為AC邊的中點(diǎn)，連接BD，將[△A]BD沿BD折疊至[△A']BD的位置，[A']B交AC于點(diǎn)E，連接[A']C，求A'C的長(zhǎng).

學(xué)法指導(dǎo)：識(shí)別軸對(duì)稱(chēng)模型，可知∠2 = ∠3，∠A = ∠4 = 30°，[AD] = [A']D，又由D為AC的中點(diǎn)，可知[CD] = [A]D，[CD] = [BC]，則[A']D = [BC]，易看出[△]DCB為等邊三角形，則∠1 = ∠2 = ∠3 = 30°，即∠4 = ∠1 = 30°，則[A']D[?]BC，易證[得A']C = BD = 3.

變式4：在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 12，按如圖8的方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)F重合，AC為折痕，則AE = .

學(xué)法指導(dǎo)：圖8中有[△A]BC與[△A]FC全等組成的軸對(duì)稱(chēng)模型，有[△A]FE與[△]CDE組成的8字型全等模型，有角平分線加平行線組成的鐵三角模型，那么哪個(gè)模型對(duì)求解這道題有幫助呢？顯然，與待求線段AE相關(guān)的是鐵三角模型和8字型全等模型，其中鐵三角模型不需證明全等，轉(zhuǎn)化邊更方便，因此設(shè)[CE] = [A]E = [x]，DE = 12 - [x]，則在Rt[△]DEC中可求得[x] = [16924]，故應(yīng)填[16924].

如圖9，∠ABC = 40°，點(diǎn)E是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，把△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)直線AD⊥BC時(shí)，∠ABC等于 .（答案見(jiàn)第33頁(yè)）