基于全局響應(yīng)面法的鎂合金客車骨架優(yōu)化設(shè)計(jì)

黃登峰，張建春，林光磊，閆曉磊，石志綱

(1.福建工程學(xué)院，福建 福州 350118；2.福建省汽車電子與電驅(qū)動重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 福州 350118；3.福建坤孚股份有限公司，福建 龍巖 364302)

純電動公交客車輕量化至關(guān)重要。研究表明，整車質(zhì)量每降低10%，能源消耗就會降低6%～8%，對于純電動車而言，減少質(zhì)量能極大提高客車的續(xù)航里程[1-4]。因此對于客車車身骨架進(jìn)行輕量化研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

對于客車輕量化技術(shù)的研究已取得了系列成果，主要有優(yōu)化設(shè)計(jì)方法、新型材料技術(shù)、先進(jìn)的制造技術(shù)及連接工藝[5-6]。在優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的相關(guān)研究中，胡濤[7]進(jìn)行四種典型的工況靜力學(xué)分析和模態(tài)分析，利用靈敏度分析和多目標(biāo)優(yōu)化等方法，對客車車身骨架進(jìn)行輕量化分析。陳鑫[8]建立了參數(shù)化模型，基于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，得出框架式車身結(jié)構(gòu)，并構(gòu)建響應(yīng)面近似模型，用于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，最終實(shí)現(xiàn)了減重的效果。Wenjie Zuo[9]提出了雙層結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型，首先采用連續(xù)近似優(yōu)化方法，對具有剛度和模態(tài)頻率約束的車身骨架進(jìn)行優(yōu)化，然后使用遺傳算法優(yōu)化部件橫截面，最終實(shí)現(xiàn)了輕量化效果。Ruiyi Su[10]采用實(shí)驗(yàn)與仿真相結(jié)合的方法，用于驗(yàn)證仿真分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，構(gòu)建響應(yīng)面法和混合徑向基函數(shù)法建立多個(gè)代理模型，對車身結(jié)構(gòu)性能建立相應(yīng)的約束和目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化處理。

相對于其他金屬材料，鎂合金有明顯的優(yōu)勢，密度只有1.78 g/cm3，將鎂合金用于汽車上，相比于鋁合金車身質(zhì)量能減輕15%～20%[11]。張思維[12]將鎂合金材料應(yīng)用到電動汽車上，通過工況分析對局部應(yīng)力過大區(qū)域進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，同樣滿足了結(jié)構(gòu)性能的要求。齊建強(qiáng)[13]提出了采用鎂合金材料作為客車車身骨架，應(yīng)用有限元方法從結(jié)構(gòu)優(yōu)化角度提出客車車身結(jié)構(gòu)輕量化改進(jìn)方案。綜上所述，目前對鎂合金客車車身骨架輕量化的研究，缺乏理論支撐和系統(tǒng)性優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文采用鎂合金材料作為公交客車車身骨架，基于HyperStudy優(yōu)化平臺，建立客車隱式參數(shù)化模型，利用部分因子設(shè)計(jì)法進(jìn)行靈敏度分析，用于篩選設(shè)計(jì)變量，采用哈默斯雷采樣，構(gòu)建徑向基函數(shù)響應(yīng)面近似模型，應(yīng)用全局響應(yīng)面法，建立多目標(biāo)優(yōu)化方案，對優(yōu)化前后的參數(shù)化模型結(jié)果進(jìn)行對比分析，選出輕量化效果顯著的方案，并對模態(tài)、剛度、強(qiáng)度等性能進(jìn)行驗(yàn)證分析。

1 鎂合金公交客車骨架有限元模型的建立

1.1 骨架有限元模型的建立

研究對象為12 m長新能源鎂合金公交客車，整車骨架采用全承載式結(jié)構(gòu)，由幾百根型材桿件組成。在有限元建模前，需進(jìn)行幾何清理，忽略車身上的非承載件，刪除對整車骨架無影響的桿件，去除尺寸小于5 mm的結(jié)構(gòu)。整車骨架模型采用殼單元，網(wǎng)格尺寸選擇10 mm，對于螺栓孔采用擴(kuò)孔的方式，使得網(wǎng)格質(zhì)量雅可比大于0.6，螺栓連接通過RBE2剛性單元代替，焊點(diǎn)采用rigid3剛性單元。所建立的鎂合金客車整車車身骨架有限元模型如圖1所示。

圖1 鎂合金客車整車骨架有限元模型Fig.1 Finite element model of magnesium alloy bus frame

1.2 材料的選擇

客車模型主要運(yùn)用了鎂合金和高強(qiáng)度鋼材料。底架承受了客車大部分載荷，需要一定的強(qiáng)度和剛度，因此底架采用Q345矩形方鋼結(jié)構(gòu)焊接而成，空氣彈簧支架處選用Q500鋼。車身五大板塊對于支撐車身載荷以及增強(qiáng)車身性能具有重要作用，采用ZK61M鎂合金材料。材料屬性如表1所示。

表1 車身骨架材料參數(shù)Table 1 Parameters of autobody frame materials

2 基于Hyperstudy的多目標(biāo)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)

為了減輕鎂合金整車骨架重量，降低生產(chǎn)成本，改善整車結(jié)構(gòu)性能，需要對整車骨架進(jìn)行多目標(biāo)尺寸優(yōu)化處理。

多目標(biāo)優(yōu)化是指在滿足約束條件的情況下，對多個(gè)目標(biāo)函數(shù)同時(shí)進(jìn)行優(yōu)化，得出一種最優(yōu)方案，使得目標(biāo)函數(shù)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。遵從試驗(yàn)設(shè)計(jì)、近似模型的擬合、多目標(biāo)尺寸優(yōu)化等步驟，對客車車身骨架展開多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)[14]，其中優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 Hyperstudy優(yōu)化流程圖Fig.2 Hyperstudy optimization flow chart

2.1 模塊化重組

為了減少設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)，以對稱約束為原則，將整車左右對稱的骨架桿件厚度合并作為一個(gè)設(shè)計(jì)變量；以應(yīng)力分布和結(jié)構(gòu)、功能相似性為原則，將作用相同的桿件厚度作為一個(gè)設(shè)計(jì)變量。將幾百根桿件整合得出96組設(shè)計(jì)變量，其中車身五大板塊78組、底架18組。為了進(jìn)一步提高計(jì)算效率，通常需要采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法，進(jìn)行靈敏度分析和響應(yīng)面的擬合。

2.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

DOE試驗(yàn)設(shè)計(jì)可以用于桿件篩選，篩選出對整車骨架結(jié)構(gòu)性能較為敏感的桿件，對其進(jìn)行優(yōu)化分析；也可用于設(shè)計(jì)空間填充，在整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)均勻采樣，其數(shù)據(jù)可用于后續(xù)的響應(yīng)面擬合。

2.2.1 設(shè)計(jì)變量的選取

靈敏度分析主要用于計(jì)算車身結(jié)構(gòu)性能對車身各桿件的敏感程度，用于篩選優(yōu)化效果較為明顯的桿件，以提高輕量化優(yōu)化效率。

在HyperStudy中存在全因子設(shè)計(jì)、部分因子設(shè)計(jì)等用于靈敏度計(jì)算的算法。其中，部分因子設(shè)計(jì)相較于全因子設(shè)計(jì)，具有試驗(yàn)次數(shù)較少等優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)存在主效應(yīng)與交互效應(yīng)混淆等問題，對于存在大量設(shè)計(jì)變量的情況，部分因子設(shè)計(jì)仍是最優(yōu)的選擇，其中部分因子設(shè)計(jì)的示意圖如圖3所示。

圖3 部分因子設(shè)計(jì)示意圖Fig.3 Schematic diagram of partial factor design

對78組表征車身五大板塊桿件厚度的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行 DOE 分析，選用部分因子設(shè)計(jì)算法，得出128組實(shí)驗(yàn)方案，以計(jì)算車身結(jié)構(gòu)性能對設(shè)計(jì)變量的靈敏度[15]。車身結(jié)構(gòu)性能中的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示。

一階扭轉(zhuǎn)頻率的靈敏度：

(1)

彎曲剛度的第j個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度：

(2)

扭轉(zhuǎn)剛度的第j個(gè)設(shè)計(jì)變量的靈敏度：

(3)

式中：

xj—第j組設(shè)計(jì)變量；即第j組桿件的厚度，j=1，2，…，78；

λi—第i階模態(tài)頻率，此處為一階扭轉(zhuǎn)頻率；

φi—相應(yīng)的第i個(gè)特征向量，一階扭轉(zhuǎn)頻率對應(yīng)的特征向量；

M、K—分別為整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；

Kb—彎曲剛度；

Kt—扭轉(zhuǎn)剛度；

Fb—彎曲剛度分析時(shí)施加的載荷；

Ft—扭轉(zhuǎn)剛度分析時(shí)施加的載荷；

ub、ut—分別為彎曲剛度分析和扭轉(zhuǎn)剛度分析時(shí)發(fā)生的垂直于地面豎直方向的位移；

L—客車軸距。

經(jīng)過計(jì)算得出的車身骨架質(zhì)量及結(jié)構(gòu)性能對設(shè)計(jì)變量的靈敏度數(shù)值如圖4所示。

圖4 各設(shè)計(jì)變量靈敏度結(jié)果Fig.4 Sensitivity results of each design variable

圖中：

Δm—客車整車骨架質(zhì)量靈敏度；

Δλ—一階扭轉(zhuǎn)頻率靈敏度；

ΔKb—彎曲剛度靈敏度；

ΔKt—扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度。

相對靈敏度是車身骨架結(jié)構(gòu)性能對設(shè)計(jì)變量的靈敏度與質(zhì)量對設(shè)計(jì)變量的靈敏度之比[16]，車身骨架的相對靈敏度數(shù)值如圖5所示。

圖5 各設(shè)計(jì)變量相對靈敏度結(jié)果Fig.5 Results of relative sensitivity of each design variable

圖中：

Δλ/Δm—一階扭轉(zhuǎn)頻率靈敏度與質(zhì)量靈敏度的比值，Hz/t；

ΔKb/Δm—彎曲剛度靈敏度與質(zhì)量靈敏度的比值，N/(mm·t)；

ΔKt/Δm—扭轉(zhuǎn)剛度靈敏度與質(zhì)量靈敏度的比值，m·N/((°)·t)。

通過對比車身結(jié)構(gòu)性能對質(zhì)量的相對靈敏度數(shù)值，篩選出相對靈敏度值較小的25組設(shè)計(jì)變量，用于后續(xù)響應(yīng)面的擬合。

2.2.2 響應(yīng)面的擬合

由于底架選用高強(qiáng)度鋼材料，且骨架結(jié)構(gòu)性能有裕度，因此具有充足的輕量化空間。選擇底架18組桿件及上述篩選的25組桿件厚度作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對此n=43組設(shè)計(jì)變量進(jìn)行重新編號，篩選的車身?xiàng)U件厚度設(shè)計(jì)變量為x1～x25。考慮到計(jì)算周期問題，采用空間填充的試驗(yàn)設(shè)計(jì)算法，用于響應(yīng)面的擬合。

哈默斯雷采樣是一種以面代體的取樣方法，能在超立方體中，隨機(jī)均勻的抽樣，且可以用較少的樣本，對輸出的結(jié)果進(jìn)行評估。為了增加響應(yīng)面擬合的準(zhǔn)確性，采用哈默斯雷采樣，抽取200組實(shí)驗(yàn)方案，用于作為構(gòu)建響應(yīng)面近似模型的數(shù)據(jù)源。

2.3 構(gòu)建近似模型

復(fù)雜模型的有限元計(jì)算周期長，計(jì)算量較大。在實(shí)際工程應(yīng)用中，通過響應(yīng)面近似模型可以預(yù)測優(yōu)化結(jié)果，提高實(shí)際工程中的優(yōu)化效率。

徑向基函數(shù)是對若干基函數(shù)進(jìn)行線性疊加，然后進(jìn)行擬合，且擬合的響應(yīng)面都會通過原始數(shù)據(jù)點(diǎn)，適用于高度非線性的響應(yīng)。其函數(shù)空間表達(dá)式：

(4)

用矩陣表示：

Aη=f

(5)

Aij=φ(‖xi-Xj‖)

(6)

式中：

Fφ—徑向基函數(shù)的函數(shù)空間表達(dá)式；

n—對應(yīng)選擇優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量組數(shù)，本模擬n=43；

ηj—第j個(gè)基函數(shù)的權(quán)重；

x—輸入的變量，即桿件厚度；

φ(‖x‖)—徑向基函數(shù)；

Xj—函數(shù)空間上的第j個(gè)樣本點(diǎn)，哈默斯雷采樣取得的第j個(gè)樣本點(diǎn)(即第j個(gè)設(shè)計(jì)變量值)；

A—徑向基函數(shù)表達(dá)的函數(shù)空間中子空間的一組基；

η—基函數(shù)的權(quán)重組成的向量；

f—樣本點(diǎn)Xj對應(yīng)的函數(shù)值組成的向量。

徑向基函數(shù)用于存在大量設(shè)計(jì)變量的情況，具有較高的擬合效率和精確度。選用徑向基函數(shù)算法，構(gòu)建近似模型，用于計(jì)算后續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化。評價(jià)近似模型擬合精度的指標(biāo)有確定系數(shù)(R-Square)和相對平均誤差A(yù)verage。

確定系數(shù)(R-Square)用于評價(jià)響應(yīng)面的擬合精度，其值越接近于1，其擬合的精度越高。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

R2=1-SSE/SST

(7)

(8)

(9)

式中：

SSE—和方差，表示原始數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)對應(yīng)點(diǎn)的誤差的平方和；

SST—原始數(shù)據(jù)和均值之差的平方和；

n—對應(yīng)選擇優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量組數(shù)；

zj—第j個(gè)原始數(shù)據(jù)；

Average是相對平均誤差，其值越接近于0，其擬合的誤差越小。

采用確定系數(shù)(R-Square)、Average兩種評估響應(yīng)面精度的指標(biāo)，評估響應(yīng)面擬合的精度，結(jié)果如表2所示。根據(jù)表2可知，各響應(yīng)面的R-Square值均在0.9以上，Average值均小于0.2，所以此算法建立的近似模型具有良好的精度。

表2 響應(yīng)面模型精度Table 2 Response surface model accuracy

2.4 基于全局響應(yīng)面法的多目標(biāo)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)

響應(yīng)面法(RSM)運(yùn)用了數(shù)學(xué)方法和統(tǒng)計(jì)技術(shù)，對感興趣的響應(yīng)進(jìn)行提煉，并與相關(guān)的控制變量建立簡單的函數(shù)關(guān)系式，用于擬合復(fù)雜的模型，其本質(zhì)是通過篩選試驗(yàn)確定后續(xù)優(yōu)化過程[17]。函數(shù)關(guān)系式如下所示。

RSM一階方程：

(10)

式中：

y1—設(shè)計(jì)目標(biāo)；

α0,α1,…,αn—待定系數(shù)；

xi—第i個(gè)設(shè)計(jì)變量，即第i組桿件的厚度；

ε1—系統(tǒng)的誤差。

二階方程：

(11)

式中：

y2—設(shè)計(jì)目標(biāo)；

a0、a1、b1、cij—待定系數(shù)；

n—選擇優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量組數(shù)；

ε2—系統(tǒng)的誤差。

全局響應(yīng)面法(GRSM)是一種基于響應(yīng)面的直接優(yōu)化方法，且在優(yōu)化過程中能夠不斷進(jìn)化。這種算法可基于較少的數(shù)據(jù)點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)迭代步的響應(yīng)面，在每一輪迭代之后，都會產(chǎn)生新的采樣點(diǎn)，然后構(gòu)建一個(gè)新的DOE，在新的DOE中求解優(yōu)化問題，其最優(yōu)解被用于下一輪迭代，直到達(dá)到設(shè)定的最大評估數(shù)時(shí)優(yōu)化停止。GRSM優(yōu)化流程如圖 6所示。

圖6 GRSM優(yōu)化流程圖Fig.6 GRSM optimization flow chart

全局響應(yīng)面法相較于自適應(yīng)響應(yīng)面法，不僅適用于多目標(biāo)優(yōu)化，具備全局搜索能力，而且適用于存在大量設(shè)計(jì)變量的情況，計(jì)算效率更高。選用全局響應(yīng)面算法對整車骨架進(jìn)行多目標(biāo)尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)，以質(zhì)量最小、一階扭轉(zhuǎn)頻率最大作為目標(biāo)函數(shù)，彎曲剛度大于9 000 N/mm，扭轉(zhuǎn)剛度大于14 000 N·m/(°)為約束，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(12)

式中：

f(x)—目標(biāo)函數(shù)；

f1(x)—質(zhì)量目標(biāo)函數(shù)；

f2(x)—一階扭轉(zhuǎn)頻率目標(biāo)函數(shù)；

x—由經(jīng)過靈敏度分析篩選出的設(shè)計(jì)變量和底架設(shè)計(jì)變量組成的向量；

j—對應(yīng)選擇優(yōu)化的設(shè)計(jì)變量序號。

優(yōu)化結(jié)果表明，在迭代3 125次后得出多目標(biāo)優(yōu)化解集，即Pareto前沿，如圖7所示。權(quán)衡各優(yōu)化方案，選出對整車質(zhì)量優(yōu)化最顯著的方案，即質(zhì)量為2.17 t，一階扭轉(zhuǎn)頻率為6.03 Hz。

圖7 Pareto前沿Fig.7 Pareto frontier

此優(yōu)化過程中，設(shè)計(jì)變量采用連續(xù)型，考慮到擠壓工藝及制造成本等[18]，對優(yōu)化設(shè)計(jì)變量進(jìn)行圓整處理，車身部分設(shè)計(jì)變量優(yōu)化上下限及優(yōu)化結(jié)果如表3所示。

表3 車身部分設(shè)計(jì)變量優(yōu)化區(qū)間及結(jié)果Table 3 Optimization interval and results of auto body design variables

2.5 優(yōu)化前后車身結(jié)構(gòu)性能的對比分析

根據(jù)HyperStudy優(yōu)化后的參數(shù)化模型結(jié)果，對有限元模型材料屬性厚度進(jìn)行更新，對優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)性能進(jìn)行分析，在OptiStruct求解器中求解計(jì)算。

優(yōu)化結(jié)果表明，優(yōu)化后客車一階扭轉(zhuǎn)頻率為5.65 Hz，相較于優(yōu)化前有所增加，實(shí)現(xiàn)了一階扭轉(zhuǎn)頻率大于5.5 Hz，能夠有效避免激振頻率。優(yōu)化前后模態(tài)頻率及振型描述如表4所示，主要模態(tài)振型對比如圖8所示。

圖8 優(yōu)化前后車身骨架模態(tài)振型對比Fig.8 Comparison of modal shapes of body frame before and after optimization

由表4及圖8可知，優(yōu)化前后模態(tài)固有頻率及振型結(jié)果無明顯差別，滿足車身骨架設(shè)計(jì)要求。

表4 優(yōu)化后模態(tài)頻率及振型Table 4 Optimized modal frequency and modal shape

優(yōu)化后彎曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度均有所降低，但都滿足對整車骨架結(jié)構(gòu)性能的要求，且整車骨架質(zhì)量相較于優(yōu)化前減輕了799 kg，減重22.8%，其中優(yōu)化后車身骨架鎂合金部分重量為704.1 kg，減輕了61.1 kg，減重8.0%。

上述優(yōu)化結(jié)果表明，基于近似模型作為數(shù)據(jù)源，采取全局響應(yīng)面優(yōu)化算法經(jīng)過3125次迭代計(jì)算，取得了較為理想的輕量化效果。其中優(yōu)化前后車身骨架各結(jié)構(gòu)性能如表5所示。

表5 優(yōu)化前后車身骨架結(jié)構(gòu)性能表Table 5 Performance table of body frame structure before and after optimization

3 優(yōu)化前后車身骨架強(qiáng)度對比分析

對客車進(jìn)行水平彎曲工況、極限扭轉(zhuǎn)工況、緊急制動工況和緊急轉(zhuǎn)彎工況的強(qiáng)度分析，優(yōu)化前后各載荷和工況保持不變，得出優(yōu)化前后應(yīng)力分布圖如圖9所示，最大應(yīng)力值如表6所示。

圖9 優(yōu)化前后四種工況應(yīng)力對比云圖Fig.9 Stress comparison nephogram of four working conditions before and after optimization

表6 各工況優(yōu)化前后最大應(yīng)力值Table 6 Maximum stress value before and after optimization of each working condition

由表6和圖9可知，優(yōu)化后四種工況整體應(yīng)力水平均有大幅度增加，其中極限扭轉(zhuǎn)工況應(yīng)力值增加幅度最大，且優(yōu)化后四種工況最大應(yīng)力值均小于屈服強(qiáng)度，滿足整車骨架強(qiáng)度要求，驗(yàn)證了輕量化優(yōu)化方案的可行性。

4 結(jié) 論

1)基于鎂合金公交客車參數(shù)化有限元模型，應(yīng)用部分因子法，進(jìn)行骨架桿件厚度的相對靈敏度分析，運(yùn)用哈默斯雷采樣，構(gòu)建了整車結(jié)構(gòu)動靜態(tài)性能的徑向基函數(shù)近似模型。

2)以質(zhì)量最小、一階扭轉(zhuǎn)頻率最大為目標(biāo)，以彎扭剛度為約束，采用全局響應(yīng)面多目標(biāo)優(yōu)化法對鎂合金客車車身骨架進(jìn)行了尺寸優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了客車骨架結(jié)構(gòu)的輕量化設(shè)計(jì)。優(yōu)化前后結(jié)果對比表明：在滿足其車身結(jié)構(gòu)性能的前提下，整車骨架減重達(dá)799 kg，減重率達(dá)22.8%。

3)采用輕量化效果更顯著的ZK61M鎂合金作為客車車身骨架材料，結(jié)合多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，不僅滿足了車身骨架模態(tài)、剛度、強(qiáng)度等結(jié)構(gòu)性能要求，而且減重效果明顯，具有較好的工程應(yīng)用價(jià)值。