基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的凍土損傷蠕變模型研究

閆有民, 單靜云, 劉志義

(1.公路建設(shè)與養(yǎng)護(hù)技術(shù)材料及裝備交通運(yùn)輸行業(yè)研發(fā)中心, 甘肅 蘭州 730030；2.甘肅路橋建設(shè)集團(tuán)有限公司, 甘肅 蘭州 730030；3. 甘肅萬(wàn)泰建設(shè)工程有限公司, 甘肅 蘭州 730030；4.蘭州理工大學(xué) 土木工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050)

0 引言

凍土路基沉降變形隨時(shí)間的持續(xù)發(fā)展一直以來(lái)都是路基病害的關(guān)鍵問(wèn)題之一[1-2]。同時(shí)，也是公路工程和鐵路工程穩(wěn)定性的潛在危害，對(duì)高寒高海拔地區(qū)的工程建設(shè)、運(yùn)營(yíng)及養(yǎng)護(hù)造成了一系列的影響[3-4]。因此，精確模擬凍土蠕變行為是目前高寒高海拔地區(qū)路基工程亟待解決的關(guān)鍵性問(wèn)題之一。

迄今為止，研究者們對(duì)凍土蠕變進(jìn)行了大量的試驗(yàn)研究，重點(diǎn)考慮了溫度、應(yīng)力和應(yīng)變率等因素對(duì)凍土?xí)r間依賴特性的影響[5-9]。其中，結(jié)合蠕變過(guò)程中應(yīng)變率的變化，將凍土蠕變分為衰減蠕變、穩(wěn)定蠕變和加速蠕變階段[8]。此外，Zhou等[9]指出，應(yīng)力在未抵達(dá)屈服應(yīng)力之前凍土也會(huì)產(chǎn)生不可逆的蠕變變形。在理論模型方面，往往采用元件模型來(lái)構(gòu)建凍土的蠕變模型[10-11]，并通過(guò)引入指數(shù)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)非線性描述。雖然傳統(tǒng)元件模型為模擬凍土蠕變行為提供了基礎(chǔ)，但由于彈性元件的完全彈性和塑性元件的純粹塑性使模型存在一定的局限性。因此，分?jǐn)?shù)階模型的發(fā)展很好地改進(jìn)了對(duì)傳統(tǒng)元件模型的限制，并可通過(guò)引入變參數(shù)效應(yīng)來(lái)實(shí)現(xiàn)黏性損傷描述[12]。Liao等[8]使用黏性損傷與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立了溫凍土的蠕變模型，并利用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)分?jǐn)?shù)階蠕變模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。Zhou等[13]結(jié)合黏塑性理論與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)構(gòu)建了黏性土的蠕變模型。除此之外，分?jǐn)?shù)階微分作為解釋非常規(guī)物理現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)技巧，可解釋土體的非正交特性[14-15]。但是，在上述凍土蠕變模型中，沒(méi)有考慮應(yīng)力抵達(dá)屈服應(yīng)力之前的黏塑性變形。

然而，在以往的凍土蠕變模型中都忽略了應(yīng)力抵達(dá)屈服應(yīng)力之前的黏塑性變形，且沒(méi)有使用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫凍土的塑性流動(dòng)。因此，本研究在已有試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上對(duì)凍土的損傷效應(yīng)進(jìn)行了分析。然后，采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和過(guò)應(yīng)力理論獲得了一個(gè)可以表征凍土黏塑性行為和損傷效應(yīng)的黏塑性損傷模型，并采用分?jǐn)?shù)階梯度描述了凍土拋物線屈服準(zhǔn)則的非正交特性。最后，結(jié)合發(fā)展的黏塑性損傷模型、胡克彈簧和Abel阻尼器構(gòu)建了一個(gè)凍土的分?jǐn)?shù)階損傷蠕變模型，并使用高溫凍土的蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果驗(yàn)證了模型的有效性。

1 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)

分?jǐn)?shù)階微分的定義有多種方法，而在構(gòu)建物理數(shù)學(xué)模型中應(yīng)用較為廣泛的有：Riemann-Liouville (RL)分?jǐn)?shù)階微分、Caputo分?jǐn)?shù)階微分和Risez分?jǐn)?shù)階微分[16]。其中，Caputo分?jǐn)?shù)階微分在理論求解方面能夠消除常數(shù)項(xiàng)對(duì)解的影響。因此，下面采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行具體研究。Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)在區(qū)間0

(1)

根據(jù)式(1)可得到函數(shù)f(t)分別為常函數(shù)和冪函數(shù)時(shí)的通解為：

(a)f(t)=const時(shí)：

(2)

(b)f(t)=tx時(shí)：

(3)

2 分?jǐn)?shù)階損傷蠕變模型

2.1 損傷描述

損傷力學(xué)是通過(guò)描述材料的細(xì)觀機(jī)理來(lái)反映其宏觀響應(yīng)，是一種從細(xì)觀唯象理論出發(fā)，根據(jù)材料自身特性來(lái)刻畫結(jié)構(gòu)變形和破壞機(jī)理的定量分析方法。周宏偉等[12]提出采用體積應(yīng)變和波速比來(lái)衡量損傷因子的大小。Liao等[8]進(jìn)一步通過(guò)最終應(yīng)變和初始應(yīng)變來(lái)反映溫凍土的損傷因子。此外，李鑫等[7]通過(guò)損傷因子來(lái)表征凍土的弱化效應(yīng)，以此來(lái)預(yù)測(cè)凍土的加速蠕變行為。

由于應(yīng)力水平和土顆粒與冰晶體的相互作用，使凍土在觸發(fā)損傷之后仍然具有繼續(xù)承載的能力，并對(duì)觸發(fā)損傷的應(yīng)力、時(shí)間產(chǎn)生了明顯的影響[7]。因此，對(duì)凍土的蠕變曲線(應(yīng)變?chǔ)?時(shí)間t曲線)進(jìn)行分析，具體如圖1所示。其中，Ⅰ代表凍土蠕變最基本的形式，且在此應(yīng)力作用下不發(fā)生黏彈性損傷和蠕變破壞；Ⅱ表明凍土在經(jīng)歷了衰減蠕變后，發(fā)生損傷穩(wěn)定蠕變和損傷加速蠕變行為，即認(rèn)為損傷開始于穩(wěn)定蠕變的初始時(shí)刻，并且整個(gè)損傷過(guò)程歷時(shí)較長(zhǎng)，因此將其定義為漸進(jìn)損傷；Ⅲ為應(yīng)力水平明顯大于損傷閥值，幾乎不經(jīng)歷穩(wěn)定蠕變階段就發(fā)生蠕變破壞，且整個(gè)蠕變過(guò)程歷時(shí)較短，故稱為快速損傷蠕變行為。

圖1 凍土蠕變的三種基本形式

結(jié)合應(yīng)變對(duì)損傷機(jī)理的描述和圖1的分析結(jié)果，將黏塑性損傷因子考慮為損傷初始應(yīng)變和最終應(yīng)變的關(guān)系,即：

(4)

式中，D為損傷因子，0≤D≤1；ε為應(yīng)變；εd為損傷初始應(yīng)變(見圖1)。根據(jù)式(4)和蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果得到損傷因子D與時(shí)間te的相互關(guān)系。因此，可將式(4)表示為：

D=1-e-αte，

(5)

式中，α為D-te曲線的擬合參數(shù)；te為應(yīng)變?yōu)棣興時(shí)的時(shí)間，即te=t-td。

2.2 黏塑性行為

過(guò)應(yīng)力理論是在Malvern[17]一維模型的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。在一定程度上，過(guò)應(yīng)力理論也可理解為Bingham模型在三維應(yīng)力條件下的推廣形式。因此，過(guò)應(yīng)力理論不僅有較為完善的理論基礎(chǔ)，而且在描述凍土蠕變方面有著較為明顯的優(yōu)勢(shì)。Zhou等[13]結(jié)合傳統(tǒng)過(guò)應(yīng)力理論和Riesz-Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)獲得了彈黏塑性模型的解析解。因此，在推廣過(guò)應(yīng)力理論的基礎(chǔ)上，考慮分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和損傷效應(yīng)后，可得到一個(gè)黏塑性體的分?jǐn)?shù)階微分關(guān)系：

(6)

對(duì)式(6)考慮Laplace變換和卷積運(yùn)算后，得到一般應(yīng)力狀態(tài)下黏塑性體的本構(gòu)關(guān)系：

(7)

式中，p為平均主應(yīng)力，且p=1/3(σ1+σ2+σ3);Pa為大氣壓力。

此處假設(shè)黏塑性變形存在于整個(gè)加載過(guò)程中，并認(rèn)為黏塑性損傷只有在應(yīng)力觸動(dòng)黏塑性損傷閥值后，才會(huì)發(fā)生黏塑性破壞。也就是說(shuō)，當(dāng)應(yīng)力小于屈服應(yīng)力時(shí)(f=0)，α=0；當(dāng)蠕變應(yīng)力不小于屈服應(yīng)力時(shí)(f>0)，α∈(0,1]。

根據(jù)凍土屈服準(zhǔn)則和強(qiáng)度效應(yīng)的研究[18]，表明凍土的臨界狀態(tài)線不是直線，而是一條拋物曲線。因此，Liao等[8]根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，給出了一個(gè)具有一般性的表達(dá)式。因此，為了簡(jiǎn)化模型，仍然使用拋物線函數(shù)來(lái)描述凍土的屈服過(guò)程：

(8)

式中，ω為拋物線函數(shù)與平均應(yīng)力軸左側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；φ為內(nèi)摩擦角；c為黏聚力;q為剪應(yīng)力;f為屈服函數(shù)。

結(jié)合屈服方程可得到：

(9)

fq=q+A2，

(10)

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(式(2)和式(3))得到：

(11)

(12)

根據(jù)非正交流動(dòng)法則與式(11)、式(12)可獲得黏塑性流動(dòng)方向：

(13)

圖2為非正交黏塑性流動(dòng)法則在子午面上的演化規(guī)律。從圖中發(fā)現(xiàn)黏塑性流動(dòng)方向在階次r∈(0,1)時(shí)表現(xiàn)出了明顯的非正交性。此外，隨著階次r的減小，非正交性逐漸趨于明顯。值得注意的是，式(13)在沒(méi)有引入新勢(shì)函數(shù)的基礎(chǔ)上就實(shí)現(xiàn)了黏塑性流動(dòng)的非正交特性，從而消除了正交流動(dòng)在土體的限制[19]。

圖2 非正交黏塑性流動(dòng)在子午面上的演化

2.3 蠕變模型

為了實(shí)現(xiàn)元件模型在描述凍土加載過(guò)程中的蠕變變形，采用彈簧體、Abel阻尼器和黏塑性體組建了一種分?jǐn)?shù)階損傷蠕變模型，模型組成具體如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)階彈黏塑性蠕變模型示意圖

根據(jù)圖3所示，可得到分?jǐn)?shù)階蠕變模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系分別為：

ε=εe+εv+εvp，σ=σe=σv=σvp,

(14)

式中,ε,εe,εv，εvp分別為總應(yīng)變、彈性應(yīng)變、黏性應(yīng)變和黏塑性應(yīng)變；σ為應(yīng)力，上標(biāo)“e”，“v”,“vp”分別表示彈性、黏性和黏塑性性質(zhì)。

因此，一般應(yīng)力狀態(tài)下凍土的分?jǐn)?shù)階損傷蠕變模型可表示為：

(15)

(16)

式中，G為剪切模量；γa為Abel阻尼器的黏度系數(shù)；sij為偏應(yīng)力張量，sij=σij-pδij；εij(t)為總應(yīng)變張量。

3 模型驗(yàn)證

3.1 模型參數(shù)分析

模型參數(shù)中包含彈性參數(shù)、黏性體參數(shù)和黏塑性參數(shù)。由于彈性參數(shù)和黏度系數(shù)的普遍性，這里主要討論黏塑性參數(shù)對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的貢獻(xiàn)。黏塑性體主要包含β，α，te和γ這4個(gè)參數(shù)。

除此之外，發(fā)現(xiàn)采用應(yīng)變能夠囊括應(yīng)力、溫度、結(jié)構(gòu)等因素變化對(duì)損傷效應(yīng)的貢獻(xiàn)。所以使用損傷初始應(yīng)變?chǔ)興與最終應(yīng)變的比值來(lái)刻畫黏塑性損傷因子，見式(4)。損傷系數(shù)α是此類模型反映材料損傷效應(yīng)的參數(shù)之一,是通過(guò)擬合損傷因子與時(shí)間曲線確定的。由圖4(b)發(fā)現(xiàn)黏塑性損傷效應(yīng)隨著α的增大而快速增大，其中，α=0表現(xiàn)為無(wú)損蠕變形式。時(shí)間te是除系數(shù)α之外的另一個(gè)損傷參數(shù),表示損傷時(shí)間,te通過(guò)時(shí)間t和td的差值來(lái)計(jì)算。其中，td是損傷的觸發(fā)時(shí)間(見圖1)，損傷觸發(fā)時(shí)間td對(duì)蠕變曲線的影響情況如圖4(c)所示。從圖中發(fā)現(xiàn)隨著td的增大，蠕變速率與應(yīng)變都有少量的降低。故td會(huì)影響蠕變的發(fā)展速率與應(yīng)變量級(jí)，但不會(huì)對(duì)其產(chǎn)生本質(zhì)影響。

圖4 黏塑性體的參數(shù)分析

分?jǐn)?shù)階階次r作為分?jǐn)?shù)階模型最主要的一個(gè)參數(shù),階次對(duì)蠕變曲線的影響情況如圖4(d)所示。從圖中發(fā)現(xiàn)在階次r∈(0,1)時(shí)可以很好地刻畫材料的非線性蠕變行為。但是，在階次r≥1時(shí)應(yīng)變與時(shí)間曲線會(huì)出現(xiàn)線性蠕變和蠕變破壞行為。然而，蠕變破壞行為的出現(xiàn)似乎是一個(gè)好的結(jié)果。

3.2 模型計(jì)算

在凍土中，高溫凍土作為一種存在范圍廣、周期長(zhǎng)且蠕變效應(yīng)明顯的特殊凍土，對(duì)公路工程和鐵道工程產(chǎn)生了一系列的不良影響。因此，下面分別采用模型模擬高溫凍土的蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果。其中，富含冰凍結(jié)沙土在-1 ℃的恒溫下完成加載,溫凍淤泥的試驗(yàn)溫度為-1.5 ℃。詳細(xì)的土性參數(shù)和試驗(yàn)結(jié)果分別見Yang等[10]和Liao等[8]。

圖5為模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比情況。其中，圖5(a)為模型對(duì)富含冰凍結(jié)沙土一維蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果的模擬情況。富含冰凍結(jié)沙土的彈性模量和屈服極限分別為E=90.9 MPa和σs=0.568 MPa,其他參數(shù)如表1所示。從圖中發(fā)現(xiàn)，模型能夠較好地模擬富含冰凍結(jié)沙土的穩(wěn)定蠕變、漸進(jìn)損傷蠕變和快速損傷蠕變行為。圖5(b)～圖5(d)為模型對(duì)溫凍淤泥三軸不排水剪切試驗(yàn)結(jié)果的模擬情況。其中，溫凍淤泥在圍壓為0.5，1.0 MPa和2.0 MPa下的剪切模量G分別為18.13，20.72 MPa和21.13 MPa?？擅黠@看出，模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果具有較高的一致性。此外，相較于傳統(tǒng)的元件模型而言，新模型是在推廣損傷理論和黏塑性體的基礎(chǔ)上提出的，其表征黏塑性行為也存在于屈服面內(nèi)，且損傷開始于初始穩(wěn)定蠕變階段。

圖5 模型對(duì)溫凍土蠕變行為的模擬情況

同時(shí)，模型也能較好地模擬溫凍淤泥的三維蠕變行為，并且可以刻畫土體在屈服之前的黏塑性行為和屈服之后的損傷蠕變行為。此外，根據(jù)模型和試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，還發(fā)現(xiàn)無(wú)損蠕變過(guò)程包含明顯的彈性、黏性變形和少量的黏塑性變形。黏塑性變形會(huì)隨著應(yīng)力水平的增加而增加,具體如表1參數(shù)β所示,即β會(huì)隨著應(yīng)力水平的增加而增加[20]。在土體損傷蠕變過(guò)程中，黏塑性變形會(huì)隨著損傷程度的增加而增加,該現(xiàn)象正好與試驗(yàn)結(jié)果相吻合。

表1 溫凍土的模擬參數(shù)

根據(jù)模型對(duì)凍土蠕變行為的模擬情況，可以肯定模型在模擬凍土蠕變行為的適用性和有效性。具體為，發(fā)現(xiàn)推廣后的黏塑性損傷模型可描述凍土屈服前后的黏塑性蠕變行為和損傷效性。除此之外，使用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)表示了凍土黏塑性流動(dòng)的非正交特性。因此，認(rèn)為推廣的分?jǐn)?shù)階損傷蠕變模型消除了傳統(tǒng)塑性體純粹塑性的限制。

4 結(jié)論

(1)依托試驗(yàn)結(jié)果對(duì)凍土損傷蠕變行為進(jìn)行了分析，將損傷蠕變分為漸進(jìn)損傷和快速損傷蠕變。在此基礎(chǔ)上，將其進(jìn)行推廣，并根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)黏塑性損傷模型能夠很好地描述凍土的蠕變破壞行為。

(2)推廣的黏塑性理論考慮了凍土在整個(gè)加載過(guò)程中的黏塑性行為，消除了塑性體純粹塑性的限制。此外，通過(guò)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，可直接獲得一個(gè)非正交黏塑性流動(dòng)而不需要引入勢(shì)函數(shù)。

(3)根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果和模型計(jì)算結(jié)果的對(duì)比情況，發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。