離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的間歇二部一致性

覃宇燕，劉 琛，曾 旺，羅杰沛

（湖南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，湖南 株洲 412007）

0 引言

近年來(lái)，隨著神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、人工智能、嵌入式設(shè)備等的發(fā)展，多智能體的應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，相關(guān)研究不斷深入。多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制是一個(gè)基本研究問題，目前，許多學(xué)者對(duì)一致性問題展開了研究，并取得了豐富的成果[1-4]。然而，在許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，智能體之間不僅存在合作關(guān)系，可能還存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系。在這種合作與競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系并存的系統(tǒng)中，會(huì)呈現(xiàn)出另一種一致性現(xiàn)象，稱為二部一致性[5]。

二部一致性的概念由C.Altafini 在文獻(xiàn)[5]中首次提出，文中表明，當(dāng)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)連接拓?fù)涫菐?quán)重的符號(hào)圖并且是結(jié)構(gòu)平衡的，則在給定的控制協(xié)議作用下，系統(tǒng)最終會(huì)趨向于二部一致。隨后，有不少學(xué)者從不同的角度對(duì)多智能體系統(tǒng)的二部一致性進(jìn)行了探討，并取得了不錯(cuò)的成果[6-9]。文獻(xiàn)[10]探討了連續(xù)時(shí)間二階多智能體系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)連接拓?fù)涫菬o(wú)向連通的并且符號(hào)圖是結(jié)構(gòu)平衡時(shí)，系統(tǒng)在脈沖控制下實(shí)現(xiàn)二部一致；文獻(xiàn)[11]研究了非線性多智能體系統(tǒng)在一致性協(xié)議下，具有正負(fù)混合連接權(quán)重的有限時(shí)間二部一致性；文獻(xiàn)[12]研究了在給定的假設(shè)條件下，二階多智能體系統(tǒng)基于自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制的二部一致性。以上文獻(xiàn)都是基于連續(xù)系統(tǒng)來(lái)研究的二部一致性問題，而關(guān)于離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的研究相對(duì)較少。由于間歇控制方法比較易于被應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)中，它不需要智能體之間的持續(xù)溝通以及控制器的不斷運(yùn)轉(zhuǎn)，進(jìn)而減少資源的大量消耗。因此，對(duì)間歇二部一致性的研究亦具有很好的實(shí)踐意義?；谝陨险撌觯疚膶⒒陔x散時(shí)間系統(tǒng)模型研究多智能體系統(tǒng)的間歇二部一致性，以期為多機(jī)器人網(wǎng)絡(luò)、智能網(wǎng)聯(lián)車、智能電網(wǎng)等實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的間歇協(xié)調(diào)控制提供參考。

1 問題描述

用無(wú)向圖G=(V,E,AE)表示一個(gè)由N個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的多智能體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)?。其中V={v1,v2, …,vN}為節(jié)點(diǎn)集合；，為邊集；AE=[aij]N×N，為無(wú)向圖G對(duì)應(yīng)的加權(quán)鄰接矩陣。邊(vj,vi)∈E，表示節(jié)點(diǎn)vi和節(jié)點(diǎn)vj存在信息交流；Ni={vj|(vj,vi)∈E}，表示節(jié)點(diǎn)vi的鄰居集合。定義符號(hào)圖G的拉普拉斯矩陣L=[lij]N×N的元素為

定義1對(duì)于無(wú)向圖G，如果存在兩個(gè)集合V1和V2，使得其滿足：

則稱無(wú)向圖G是結(jié)構(gòu)平衡的。

考慮離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

式（1）中：A、B為系數(shù)矩陣；

xi(k)為多智能體系統(tǒng)中第i個(gè)智能體的狀態(tài)變量；

x0(k)為領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)變量；

ui(k)為智能體i的間歇控制輸入。

定義系統(tǒng)的狀態(tài)誤差為

ei(k)=xi(k)-si x0(k),

若i∈V1，則si=1；若i∈V2，則si=-1。

下面給出系統(tǒng)達(dá)到二部一致性的定義。

定義2 若G是結(jié)構(gòu)平衡的，當(dāng)系統(tǒng)滿足：

則稱系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了二部一致。

假設(shè)1G是無(wú)向連通的，且領(lǐng)導(dǎo)者全局可達(dá)。

假設(shè)2(A,B)是可正定的。

假設(shè)3G是結(jié)構(gòu)平衡的。

引理1[13]若假設(shè)2 成立，則存在唯一的正定矩陣P，滿足如下代數(shù)Riccati 方程：

P=ATPA-ATPB(BTPB+I)-1BTPA+I。

注1根據(jù)上述引理，不妨設(shè)ATPA-P≥0，否則當(dāng)ATPA-P<0 時(shí)，A的所有特征值都在單位圓內(nèi)，這說(shuō)明系統(tǒng)會(huì)趨于穩(wěn)定。因此，有λmax(ATPA-P)>0。

2 主要結(jié)果

考慮如下間歇控制協(xié)議：

式中：K為增益矩陣；

sgn( )為符號(hào)函數(shù)。

間歇控制協(xié)議中，若aij>0，則表示第i個(gè)智能體與第j個(gè)智能體之間存在合作關(guān)系；若aij<0，則表示第i個(gè)智能體與第j個(gè)智能體之間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系；若aij=0，則表示第i個(gè)智能體與第j個(gè)智能體之間不存在信息交流。h>0，表示一個(gè)周期內(nèi)的間歇控制寬度；T>0，為系統(tǒng)的控制周期，且0

定理1考慮到帶有間歇控制協(xié)議的離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)（1），在系統(tǒng)滿足上述假設(shè)的前提下，取，λ1為的最小特征值，當(dāng)系統(tǒng)滿足以下兩個(gè)條件：

則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了二部一致性。

從而可得

當(dāng)λmax(P)>1 時(shí)，

當(dāng)λmax(P)<1 時(shí)，

即當(dāng)λmax(P)>1 時(shí)，

當(dāng)λmax(P)<1 時(shí)，

因此，當(dāng)λmax(P)>1 時(shí)，

將上述不等式迭代m次，可得

對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，可得

則有ha+(T-h)b<0，即。

當(dāng)λmax(P)<1 時(shí)，

將上述不等式迭代m次，可得

由于1-λmax(P)>0，，所以只要保證

對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，可得

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證以上結(jié)論，給出如下的仿真實(shí)驗(yàn)?？紤]由5 個(gè)智能體和1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者組成的多智能體系統(tǒng)（1），其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 包含5 個(gè)跟隨者和1 個(gè)領(lǐng)導(dǎo)的多智能體系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)Fig.1 Multi-agent system communication topology with five followers and one leader

由前文論述可知，圖1所示符號(hào)圖的加權(quán)鄰接矩陣為

選取

求出λmax(P)=0.595 9<1，則有

從而可以設(shè)計(jì)間歇控制的控制周期為T=6 s，周期的控制寬度h=4 s。設(shè)xi(k)=(xi1(k),xi2(k))T，其中xi1(k),xi2(k)為系統(tǒng)的兩種狀態(tài)變量，并給定如下初始條件：

將數(shù)據(jù)輸入設(shè)計(jì)好的Matlab 程序，即可得到系統(tǒng)初始條件的狀態(tài)軌跡圖，見圖2。

圖2 多智能體系統(tǒng)中各節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)軌跡Fig.2 Trajectories of xi1 and xi2，i=1, 2, ···, 5 in the multi-agent system

由圖2所示多智能體系統(tǒng)中5 個(gè)節(jié)點(diǎn)兩種狀態(tài)變量的狀態(tài)軌跡可知，在間歇控制器的作用下，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。因此，說(shuō)明針對(duì)離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)所設(shè)計(jì)的間歇控制協(xié)議對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定具有有效性。

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的間歇二部一致性問題。在固定拓?fù)湎?，基于圖論、Lyapunov 穩(wěn)定性理論、矩陣不等式等得到了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)間歇二部一致性的充分條件，當(dāng)在系統(tǒng)滿足一定假設(shè)的前提下，即系統(tǒng)滿足：1）λmax(P)>1，；2）λmax(P)<1，兩個(gè)條件時(shí)，系統(tǒng)將會(huì)實(shí)現(xiàn)間歇二部一致性。并通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)的間歇控制協(xié)議對(duì)離散時(shí)間多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定具有有效性。同時(shí)，利用間歇控制，有效降低了網(wǎng)絡(luò)通道的信息傳遞負(fù)載。后期，將針對(duì)事件觸發(fā)的間歇控制一致性展開研究。