牽制控制含噪聲的多延遲超網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)識別

趙雪漪,朱帥兵,鄧樂斌,謝 紅

(1.漢江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,湖北 十堰 442000)

(2.湖南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院計算與隨機(jī)數(shù)學(xué)教育部重點實驗室,湖南 長沙 410081)

1 引言

在過去的二十年中,大型互連系統(tǒng)通常被建模為單層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò).復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究涉及到不同的學(xué)科領(lǐng)域,受到了各學(xué)科研究人員的廣泛關(guān)注[1-9].在現(xiàn)實世界中,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)通常并不是單獨存在,而是通過相互作用形成超網(wǎng)絡(luò).比如,在疾病傳播網(wǎng)絡(luò)中,傳染病的大爆發(fā)會引發(fā)信息傳播網(wǎng)絡(luò)上消息爆發(fā),而消息的傳播會增大疾病的爆發(fā)閾值；社交網(wǎng)絡(luò)中,人們之間的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)（家人、朋友、同事等）和通信網(wǎng)絡(luò)（電話、微信、QQ等）是錯綜復(fù)雜相互作用的.以上這些網(wǎng)絡(luò)就稱為超網(wǎng)絡(luò),網(wǎng)絡(luò)嵌套或包含著若干個子網(wǎng)絡(luò),子網(wǎng)絡(luò)之間通過某種方式連接在一起.對超網(wǎng)絡(luò)的研究是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域最重要和最前沿的研究方向之一[10-15].目前關(guān)于超網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)方面的研究還很少,近幾年所研究的大多數(shù)超網(wǎng)絡(luò),都是不含延遲或者是含有單個延遲,這是很理想的狀態(tài).在現(xiàn)實世界中,一個網(wǎng)絡(luò)中可能含有多種延遲.比如說通信網(wǎng)絡(luò),兩個人之間通過微信或者QQ聯(lián)絡(luò),那么不同的通信方式所產(chǎn)生的延遲就是不同的；在交通網(wǎng)絡(luò)中,航空或者是高速等不同的運輸方式所產(chǎn)生的延遲也是不同的.在超網(wǎng)絡(luò)中,每一層的節(jié)點之間可以有多種耦合方式,不同的耦合方式產(chǎn)生不同的延遲,具有相同延遲的節(jié)點結(jié)合一起形成層內(nèi)的子網(wǎng)絡(luò),這種每一層含有多種延遲的超網(wǎng)絡(luò)稱為多延遲超網(wǎng)絡(luò),如圖1,不同的顏色代表不同的層,每一層有各自不同的延遲、噪聲強(qiáng)度和耦合強(qiáng)度.

圖 1 三層多延遲超網(wǎng)絡(luò)模型,不同的顏色代表不同層,每一層有各自不同的延遲、噪聲強(qiáng)度和耦合強(qiáng)度

在自然、社會和工程實際中,準(zhǔn)確的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)往往是未知的或者是不確定的.因此,根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點動力學(xué)來反演網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),這個問題越來越引起各個相關(guān)領(lǐng)域研究者們的重視.網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的識別具有重大的理論和應(yīng)用價值,它也是分析控制和預(yù)測真實的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)行為的先決條件.對于網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)識別問題,最近幾年獲得一些重要進(jìn)展,有很多種識別方法,比如基于自適應(yīng)同步的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥R別方法[16-19],壓縮感知方法利用實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的稀疏性以及目標(biāo)優(yōu)化思想反演網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[20,21],基于格蘭杰因果檢驗的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的識別方法則是根據(jù)實測時間序列數(shù)據(jù)推斷節(jié)點間的有向關(guān)系[22],這些方法都取得了很好的效果,并且在進(jìn)一步地發(fā)展.另外,在文章[23-25]中,分別給出了基于同步的識別方法中,保證成功進(jìn)行拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)識別的幾個條件.對單層網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)渥R別問題的研究已經(jīng)取得了豐碩的成果,但是目前對超網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渥R別的研究還很少,對超網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)渥R別問題是目前網(wǎng)絡(luò)科學(xué)重要的分支之一.

在實際復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中,我們通常只對一部分網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)感興趣,比如說在社會網(wǎng)絡(luò),我們只想知道朋友或家人的信息；在生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),細(xì)胞神經(jīng)元個數(shù)繁多,全部識別不切實際,可以根據(jù)實際情況識別部分網(wǎng)絡(luò).因此,通過牽制控制的方法,不需要接收原始網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的信息,通過牽制控制一部分節(jié)點,來識別原網(wǎng)絡(luò)其中一部分未知的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是有實際意義的.近幾年,對牽制控制的研究有很多好的成果[26-30],但是牽制控制超網(wǎng)絡(luò)的研究還很少.在現(xiàn)實世界中,噪聲是無處不在的,系統(tǒng)受到內(nèi)部或外部的干擾,都會產(chǎn)生噪聲.同時,噪聲也是一把“雙刃劍”,比如科學(xué)家制成一種激光聽力診斷裝置,它由光源、噪聲發(fā)生器和電腦測試器三部分組成,可以通過噪聲的原理來治病.但是長期的噪聲污染又會引發(fā)疾病,因此,怎樣利用好噪聲是一個亟待解決的問題,對噪聲系統(tǒng)的研究也引起了人們的廣泛關(guān)注.

基于以上討論,本文利用同步理論,通過牽制控制方法,不需要接收原網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的信息,通過牽制控制一部分節(jié)點,來識別含噪聲的多延遲超網(wǎng)絡(luò)中的未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).數(shù)值仿真驗證了定理的有效性,說明用牽制控制方法研究超網(wǎng)絡(luò)的未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是有效的,具有實際意義.本文共有五個部分,第二部分介紹了文章的一些引理和預(yù)備知識,第三部分是本文的主要理論結(jié)果,第四部分用數(shù)值仿真驗證定理的有效性,第五部分是結(jié)論.

2 預(yù)備知識

考慮如下n維隨機(jī)微分方程

對于任意的初始向量x0,方程(2.1)的解定義為x(t;t0,x0).當(dāng)f(t,0,0)=φ(t,0,0)=0,方程(2.1)有一個平凡解x(t0)≡ 0.這里,(Ω,F,{Ft}t≥0,P)表示完備概率空間,w(t)=(w1(t),...,wn(t))T是定義在概率空間上的n維布朗運動.

引理1[31]

引理2(Schur Complement[32])線性矩陣不等式

其中AT(x)=A(x),CT(x)=C(x),等價于以下任意一個條件

(a)A(x)＜0且C(x)-BT(x)A(x)-1B(x)＜0;

(b)C(x)＜0且A(x)-BT(x)C(x)-1B(x)＜0.

引理3[33]假設(shè)P是對角矩陣,第k個(k=1,2,···,l)對角元素是p,其余元素為0,其中p＞0是足夠大的數(shù).因此,G-P＜0等價于Gl＜0.

3 主要結(jié)論

本文主要考慮如下含噪聲的多延遲超網(wǎng)絡(luò)(3.1):

本節(jié)的目的就是通過設(shè)計自適應(yīng)牽制控制器,來識別多層網(wǎng)絡(luò)(3.1)的系統(tǒng)參數(shù)和部分未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).令多層網(wǎng)絡(luò)(3.1)為驅(qū)動網(wǎng)絡(luò),并相應(yīng)地設(shè)計響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)如下：

在得到主要結(jié)論之前,我們先給出幾個假設(shè)：

定理1如果假設(shè)1-4成立.若存在合適的正數(shù)l1使得

這里i=1,2,···,l1,j=1,2,...,l2,hi是正常數(shù),含噪聲的多延遲超網(wǎng)絡(luò)(3.1)的未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可以被成功識別,同時,驅(qū)動網(wǎng)絡(luò)和相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步.

證考慮如下李雅普諾夫函數(shù)：

這里d＞0,r＞0是常數(shù).我們得到

注由定理1可知,牽制控制的節(jié)點個數(shù)l與ck,μ,δ,γk有關(guān),即與原網(wǎng)絡(luò)的耦合強(qiáng)度、噪聲強(qiáng)度、延遲和內(nèi)連耦合矩陣有關(guān).

4 數(shù)值仿真

由定理1可知,存在合適的正常數(shù)l1和r,只需要牽制控制l1個節(jié)點,就可以識別多延遲超網(wǎng)絡(luò)的部分拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),并且使得驅(qū)動系統(tǒng)(3.1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3.2)達(dá)到完全同步.考慮含有10個Rossler系統(tǒng)的三層網(wǎng)絡(luò),

由圖2可知Rossler系統(tǒng)是有界的[34],并且存在M1=10,M2=10,M3=35,使得||xij||≤ Mj,||yij||≤ Mj,i=1,2,···,10,j=1,2,3.

圖 2:Rssler系統(tǒng) (a=0.2,b=0.2,c=7).

因為

所以

滿足假設(shè)1,α=43.4730.

圖3:牽制控制一個節(jié)點的同步誤差圖.

圖4:拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)a,k=1,2,3的估計圖.

5 結(jié)論

本文構(gòu)造了含噪聲的多延遲超網(wǎng)絡(luò),基于同步的拓?fù)渥R別方法和隨機(jī)微分方程的理論基礎(chǔ),通過設(shè)計合適的牽制控制器,牽制控制一部分節(jié)點,將原始網(wǎng)絡(luò)當(dāng)作驅(qū)動網(wǎng)絡(luò),構(gòu)造響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)來識別原網(wǎng)絡(luò)的未知拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).數(shù)值仿真驗證了定理的有效性,接下來我們會進(jìn)一步研究各種網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對拓?fù)渥R別的影響.