一類帶粘性項的拋物方程解的存在性和爆破性

杜玉閣,田書英

(武漢理工大學理學院,湖北 武漢 430070)

1 引言

本文研究以下具有多項式非線性項和粘性項的非線性拋物方程的初邊值問題

材料學和力學中對粘彈性的應用非常廣泛,其中粘彈性依賴于溫度和外力作用的時間.所謂的粘彈性是指任何物體對其本身的形變歷史都具有一個長期的記憶[1].特別的,當研究具有記憶材料的熱傳導時,經(jīng)典的Fourier定律被以下形式所取代

其中q與單位長度的溫差成正比,u是溫度,d是熱傳導系數(shù),積分項表示材料中的記憶效應,q不是線性地依賴于u.對于這類問題的研究引起了廣泛的關注,本文將研究該類問題(1.1)的解的存在性和爆破性.當方程(1.1)中的g=0時,方程如下

可以描述諸多化學反應、熱傳導過程和種群動力學.針對這類問題在解的存在性方面可以參考文獻[2–5].關于解的爆破性方面也得到了廣泛的研究,可參考文獻[6–12].

當方程(1.1)中的g/=0時,可以描述電流變流體的擴散和記憶材料中的熱傳導(見文獻[13,14]).由于粘彈性項的影響,問題變得更加復雜,為了解決相關問題,需要對g進行精確的估計和細致的觀察.近年來,也有不少相關的研究.在g和p滿足合適的條件下,Messaoudi[15,16]給出了方程的強解在有限時刻內爆破的證明.之后,Tian[17]在此基礎上建立了一個新的爆破準則,利用微分不等式技巧給出了解的爆破時間的上界.Di等[18]和Sun等[19]研究了含有Δut項的非線性擬拋物方程解的存在性和爆破性問題.還有一些相關的研究,可以參考文獻[20–22].本文假設以下條件

條件Ag:→是有界的C1函數(shù),滿足

條件B常數(shù)p滿足

定義1.1(弱解)對任意v∈(Ω),t∈(0,T),函數(shù)u(x,t)滿足u(x,t)∈L∞(0,+∞;(Ω)),ut(x,t)∈L2(0,+∞;(Ω))及以下方程

則稱 u=u(x,t)是方程 (1.1)的弱解,其中 u(x,0)=u0(x)∈(Ω),(·,·)2表示內積

定義1.2(最大存在時間)設u(x,t)為方程(1.1)的弱解.我們定義u(x,t)的最大存在時間T如下:

(1)若對任意0≤t＜+∞,u(x,t)都存在,則T=+∞.

(2)若存在t0∈(0,+∞)使得當0≤t＜t0時,u(x,t)存在,但在t=t0處u(x,t)不存在,

則T=t0.

定義1.3(有限時刻爆破)設u(x,t)為方程(1.1)的弱解.如果u(x,t)的最大存在時間T是有限的,且滿足

則稱u(x,t)在有限時刻爆破.

為了說明本文的主要結果,需要引入以下修正的能量泛函

則有

本文的主要結果如下.

這里E1＞0見(3.3)式,0＜ε0＜p-2,常數(shù)K 滿足 supp(u0)?BK(0),常數(shù)0＜ν＜1,A0＞0見(3.14)式.

注1.1在g和p具有相似但不同的限制條件下,Messaoudi[15,16]證明了具有正、負或消失的初始能量時(初始能量都滿足J(u0)＜E0,E0＞0)該方程的解在有限時刻爆破.在定理1.2中,我們將這一能量范圍進行了擴大,得到一個新的更大的能量范圍E1,即E0＜E1,具體證明見(3.5)式.

注1.2在定理1.2的條件下,可以得出I(u0)＜0,與定理1.1不存在沖突.

本文結構如下:在第2節(jié)中,利用位勢井理論和Galerkin方法給出定理1.1的證明.在第3節(jié)中,給出相關引理和定理1.2的證明.

2 解的存在性

為了證明方程解的存在性,需要定義

顯然有d＞0.從而,定義

接下來給出能量恒等式.

引理2.1

這里J(u(t))=J(u),見(1.3)式.事實上,由于u=u(x,t)是x,t的函數(shù),由(1.3)式可知,J(u)是t的函數(shù),為了突出這一點,故用記號J(u(t)).后文會用到類似的其他記號.

證明結合(1.3)式,定義

利用(1.2)式,可得

上式兩端在[0,t]上進行積分,可得

從而引理2.1得證.

現(xiàn)在,給出方程解的存在性的證明.

證明定理1.1在J(u0)＜d,I(u0)≥0時,不難得到J(u0)≥0.考慮若J(u0)=0且I(u0)≥0,則u0=0,這是一個平凡解.若J(u0)＞0,I(u0)=0,則有RΩ|?u0|2dx/=0,進而J(u0)≥d,這與J(u0)＜d相矛盾.所以我們只需考慮0＜J(u0)＜d,I(u0)＞0的情況.

下面利用Galerkin方法構造問題(1.1)的近似解um(x,t).我們選擇{ωj(x)}作為(Ω)上的一組正交基,令

且對于 k=1,2,···,m,滿足

同時,當m足夠大,且t∈[0,T)時(T是um(x,t)的最大存在時間),能量恒等式如下

現(xiàn)在證明對于足夠大的m和任意的0≤t＜T,有um(x,t)∈W.假設該命題不成立,則存在t0∈(0,T)使得um(x,t0)∈?W,從而

結合 (2.4)式,可知 J(um(t0))=d不成立.又若 I(um(t0))=0,‖?um(t0)‖L2(Ω)/=0,根據(jù)d的定義,有J(um(t0))≥d,這與(2.4)式相矛盾.從而可得,對足夠大的m 和任意的0≤t＜T,有um(x,t)∈W.進而,以um(x,T)為初始能量,重復上述討論,則對于足夠大的m和任意的0≤t＜+∞,都有um(x,t)∈W.

根據(jù)

可知

則有

由(2.4)式可以得到

另一方面,通過計算可得如下結果

這里C*是Sobolev空間(Ω)→Lp(Ω)的最佳嵌入常數(shù).

因此,在(2.2)式中,當k固定,m-→+∞ 時,有

同時,從(2.3)式中,可以得到u(x,0)=u0(x)∈(Ω).因此,u是問題(1.1)的全局弱解.定理1.1證畢.

3 解在有限時刻爆破

在證明解的爆破性之前,先介紹一個必需的引理.已知能量函數(shù)(見(2.1)式)

這里B=C*/l(C*是Sobolev空間(Ω)→Lp(Ω)的最佳嵌入常數(shù)),

則有

設u(x,t)是問題(1.1)的弱解,令

引理3.1設u(x,t)是方程(1.1)的弱解.若J(u0)＜E1,則對任意的t∈[0,T),都有ω2＞ 0,λ(t)＞ λ0,E(t)＜ E1,E0＜ E1.

證明由引理2.1和(3.2)式可知,對?t∈[0,T)

于是有

由Sobolev嵌入定理,可得

則有

因此,可以得到

再結合(3.3)式,可以得到

引理3.1得證.

接下來給出方程解的爆破性的證明及爆破時間的上界.

證明定理1.2由J(u0)＜E1,定義H(t)=E2-E(t),其中 E2∈([J(u0)]+,E1)且E2＞0,則有

所以

結合ω2＞0,0＜E2＜E1,取足夠小的ε0＞0,使得

這意味著ε0＜p-2.接下來,定義加權函數(shù)

利用(3.1)式和(3.7)式,不等式右邊加上一項-(p-ε0)E(t)+(p-ε0)E(t),可得

通過(3.8)式和(3.9)式,可以得到

這里γ＞0.根據(jù)ω2和E1的定義,則(3.6)式變形為如下形式

因此

再根據(jù)(3.8)和(3.11)式,有

即tν≤ Kν+A0,其中

定理1.2證畢.