平面假設(shè)在彈塑性變形中的合理應(yīng)用*

□ 來 勇 □ 李雨林 □ 李智慧

寶雞文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院 陜西寶雞 721016

1 研究背景

材料力學(xué)理論是建立在試驗(yàn)認(rèn)識基礎(chǔ)上的,通過對大量試驗(yàn)現(xiàn)象的觀察,提出了桿件變形的平面假設(shè),依此假設(shè),推導(dǎo)出桿件軸向拉壓時(shí)的應(yīng)力均勻分布,圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力沿徑向斜直線分布,梁純彎曲時(shí)的應(yīng)力距中性軸斜直線分布。彈性力學(xué)用逆解法將材料力學(xué)解代入基本方程,驗(yàn)證了平面假設(shè)嚴(yán)格成立。到了塑性力學(xué)中,仍由觀察認(rèn)為小塑性變形條件下,桿件平面假設(shè)依然成立,并以此推導(dǎo)了軸、梁在彈塑性變形下的應(yīng)力場分布形式。平面假設(shè)如此重要,它的自然本質(zhì)是什么？不論材料力學(xué)試驗(yàn)現(xiàn)象觀察,還是彈性力學(xué)逆解法,都沒有把問題講清楚。塑性力學(xué)仍用簡單觀察來解釋,更使人產(chǎn)生疑問。桿件在力作用下出現(xiàn)變形,是一個(gè)自然現(xiàn)象,必有其自然規(guī)律,各種不同的變形形式和應(yīng)力分布必然遵守著一定的自然原理。從能量原理分析入手,可認(rèn)識到彈性變形這一自然現(xiàn)象存在最小變形能極值原理,金屬材料彈性變形由材料受力原子間距改變而形成,對應(yīng)的彈性場具有保守場性質(zhì),彈性物內(nèi)的物理量一一對應(yīng),且能量守恒。桿件發(fā)生的彈性變形,桿件上應(yīng)力應(yīng)變分布規(guī)則與平面假設(shè)都遵循著彈性保守場的性質(zhì)。塑性變形不具有保守場性質(zhì),構(gòu)件在彈塑性變形時(shí),平面假設(shè)不再成立。

2 彈性變形能極值原理

對受力桿件,外力在位移上所做的功等于對應(yīng)應(yīng)力在相應(yīng)的應(yīng)變上所做的功,可表示為:

(1)

式中:v為體積;s為面積;f為作用在彈性體上的力;p為作用在研究對象表面上的力;σ為與外力所對應(yīng)的應(yīng)力;u為位移;ε為位移所對應(yīng)的應(yīng)變。

式(1)即為彈性變形虛功原理,也等價(jià)于最小變形能原理,即在滿足變形連續(xù)條件和位移邊界條件的所有可能變形中,真實(shí)的變形使結(jié)構(gòu)變形能為最小值。

由熱力學(xué)第二定律,物體受外部影響、從一個(gè)平衡態(tài)經(jīng)過一串緩慢變化的平衡態(tài),到達(dá)一個(gè)新的平衡態(tài),穩(wěn)定平衡條件下內(nèi)能是正定的、并取最小值。對工程結(jié)構(gòu),靜載作用下的彈性變形、彈塑性變形平衡狀態(tài),結(jié)構(gòu)中的內(nèi)能就是材料中的變形能。因此,受力結(jié)構(gòu)彈塑性靜力平衡時(shí),變形能取最小值是結(jié)構(gòu)變形自然原理或變形規(guī)則。

3 桿件彈性變形規(guī)則

3.1 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)變形規(guī)則

處在彈性變形階段的受扭圓軸如圖1所示。

▲圖1 受扭圓軸

圓軸所受扭矩T為:

(2)

總變形能U1為:

(3)

式中:τ為橫截面上任意一點(diǎn)處的切應(yīng)力;G為材料的切變模量;γ為橫截面上任意一點(diǎn)處的切應(yīng)變;R為圓軸半徑;ρ為橫截面上所求應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離;l1為圓軸長度。

若f(x)和g(x)為任意函數(shù),由施瓦茲積分不等式有:

(4)

可在式(4)中令x=ρ,f(x)=ρ1/2γ,g(x)=ρ3/2,則有:

(5)

可得:

(6)

式中:IP為橫截面對圓心的極慣性矩。

式(6)中,僅當(dāng)γ/ρ為常數(shù)時(shí)等號成立。由最小變形能原理確定,圓軸彈性扭轉(zhuǎn)時(shí),變形規(guī)則是γ/ρ為常數(shù),應(yīng)變γ沿徑向線性分布,對應(yīng)的變形是橫截面作剛性平面轉(zhuǎn)動。

3.2 純彎曲梁變形規(guī)則

處在彈性變形階段的純彎曲梁,如圖2所示。

▲圖2 純彎曲梁

彎矩Mz為:

(7)

總變形能U2為:

(8)

式中:σM為橫截面上任意一點(diǎn)處的正應(yīng)力;E為材料的彈性模量;εM為橫截面上任意一點(diǎn)處的正應(yīng)變;y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到Z軸的距離;b(y)為距Z軸y處的橫截面寬度;h為梁橫截面的高度;l2為純彎梁的長度。

f(x)和g(x)均為任意函數(shù),可在式(4)中令x=y,f(x)=(b(y))1/2εM,g(x)=(b(y))1/2y,則有:

(9)

(10)

式(9)中,僅當(dāng)εM/y為常數(shù)時(shí)等號成立。由最小變形能原理確定,純彎曲梁彈性變形時(shí),變形規(guī)則是εM/y為常數(shù),應(yīng)變εM距中性軸線性分布,變形是橫截面繞中性軸作平面轉(zhuǎn)動。

以上分析表明,最小變形能原理確定了桿件彈性變形能及相應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變的分布規(guī)則,即扭轉(zhuǎn)軸、彎曲梁彈性變形時(shí),其任意一個(gè)橫截面均保持為平面,平面假設(shè)真實(shí)成立。

4 平面假設(shè)在塑性力學(xué)應(yīng)用中存在的問題

對于桿件彈塑性小變形問題的求解,過去的研究中也認(rèn)為平面假設(shè)仍然成立。由此推導(dǎo)出,圓軸彈塑性扭轉(zhuǎn)時(shí),彈塑性切應(yīng)變沿徑向線性分布,切應(yīng)力分為彈性區(qū)和塑性區(qū),分別呈線性和非線性分布,使用理想彈塑性模型時(shí),應(yīng)力在橫截面上分布如圖3所示。梁彈塑性純彎曲時(shí),彈塑性線應(yīng)變距中性軸線性分布,使用理想彈塑性模型時(shí),應(yīng)力在橫截面上分布如圖4所示。這些理論解已被廣泛應(yīng)用,但是否準(zhǔn)確,應(yīng)取決于桿件在彈塑性小變形下平面假設(shè)是否真實(shí)存在。

▲圖3 受扭曲軸彈塑性應(yīng)力分布▲圖4 純彎梁彈塑性應(yīng)力分布

▲圖5 梁彎曲時(shí)載荷變形曲線

在彈性變形中,各物理量存在著一一對應(yīng)關(guān)系,所對應(yīng)的彈性變形規(guī)律與應(yīng)力分布規(guī)律也就完全確定。彈塑性變形時(shí),梁中彈性變形仍繞中性軸作平面轉(zhuǎn)動,平面假設(shè)僅在彈塑性變形中的彈性變形部分成立,考慮梁上還有塑性變形發(fā)生,那么梁的彈塑性總變形不再符合平面假設(shè)。

在彈塑性小變形時(shí),由于塑性變形為永久變形,使桿件幾何形狀發(fā)生改變。在考慮塑性變形的桿件新幾何形狀上,桿件內(nèi)彈性變形仍要滿足變形協(xié)調(diào)條件,平面假設(shè)應(yīng)是桿、軸、梁等的變形協(xié)調(diào)條件。

5 結(jié)束語

金屬材料彈性變形的主要特征是力、變形、應(yīng)力、應(yīng)變,以及變形能一一對應(yīng),具有保守場的性質(zhì)。在彈塑性小變形時(shí),彈性變形性質(zhì)不發(fā)生變化,桿件的受力變形和平面假設(shè)由彈性變形性質(zhì)而決定。彈塑性小變形時(shí),其中的彈性變形仍符合平面假設(shè),而彈塑性總變形則不符合平面假設(shè)。