對(duì)一道漫灰體輻射競(jìng)賽題的一題多解及深入探討

李 惠

(湖南省株洲市第二中學(xué) 湖南 株洲 412007)

【試題】本題考慮熱輻射的問(wèn)題.有關(guān)熱輻射的背景知識(shí)敘述如下：

若一物體表面的絕對(duì)溫度為T(mén)，發(fā)射率為e，則該物體表面每單位面積在每單位時(shí)間內(nèi)所輻射出的電磁波能量，稱為輻射能通量，可表述為R=eσT4，式中σ=5.670×10-8J/(s·m2·K4)，稱為斯特凡-波爾茲曼常量.通常e<1，但對(duì)黑體而言，e=1(即為完全輻射).如果物體周圍的溫度為T(mén)′，則需考慮物體表面對(duì)入射輻射能的吸收.假定入射的輻射能通量為σT′4，α為物體表面的吸收率，則該物體表面所吸收的輻射能通量為R′=ασT′4，通常α<1，但對(duì)黑體而言，α=1(即為完全吸收).因此物體表面對(duì)入射能量的反射率為1-α.如果該物體和周圍的環(huán)境達(dá)成熱平衡，即T=T′，則物體放射出去的和所吸收的輻射能通量應(yīng)相等，所以e=α，這就是所謂基爾霍夫定律(Kirchhoff′s Law).

現(xiàn)考慮兩片面積很大且平行相向?qū)α⒌慕饘侔錋和B，其溫度分別維持在TA和TB，TA>TB.A和 B兩金屬板面的發(fā)射率分別為e1和e2.

(1)假想在兩金屬板面之間有一個(gè)虛設(shè)的平行截面，試求通過(guò)該截面的凈輻射能通量，以TA,TB,e1,e2表示.

(2)若是在兩金屬板中間放入另一塊大面積的金屬板C，其發(fā)射率為e，則在其達(dá)成穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的溫度T為何？該溫度是否和金屬板C所放置的位置有關(guān)？

(3)在(2)題中，若e=e1=e2，則在穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，兩金屬板之間的凈輻射能通量為何？

答案：

(1)

(2)

與板C位置無(wú)關(guān).

(3)

(4)

第二種方式較佳.

1 兩種方法求解(1)問(wèn)

解法一：由于兩金屬板面不是黑體，我們必須考慮熱輻射能量在兩板面之間的來(lái)回反射和吸收.先單獨(dú)考慮金屬板A的熱輻射情形，把B板看作一個(gè)只有反射無(wú)熱輻射的裝置；再單獨(dú)考慮金屬板B熱輻射情形，此時(shí)，把A板看成一個(gè)只有反射無(wú)輻射的裝置；最后，A,B板間實(shí)際的輻射傳熱，即等于二者之差.

依照上述思路，單獨(dú)考慮金屬板A的熱輻射情形以及它逐次從板面輻射的輻出度.

首次從A板輻射

(5)

首次被B板反射回

RB1=(1-e2)RA0

(6)

A板第一次反射

RA1=(1-e1)RB1

(7)

第二次被B板反射回

RB2=(1-e2)RA1

(8)

A板第二次反射

RA2=(1-e1)RB2

(9)

第三次被B板反射回

RB3=(1-e2)RA2

(10)

上述列出的是從A板發(fā)出的一系列出射波在A,B板之間無(wú)窮多次反射的熱輻射能通量，而實(shí)際上，熱輻射是不間斷地進(jìn)行的，上述的RA0,RA1,RA2，…以及RB1,RB2,RB3，…是同時(shí)存在于兩金屬板之間的.因此，從A板流向B板的輻射能通量為

RA=(RA0+RA1+RA2+…)-(RB1+RB2+RB3+…)=
(RA0-RB1)+(RA1-RB2)+(RA2-RB3)+…=
e2RA0+e2RA1+e2RA2+…=
e2RA0+e2(1-e2)(1-e1)RA0+
e2(1-e2)(1-e1)(1-e2)(1-e1)RA0+…=
e2RA0[1+(1-e2)(1-e1)+(1-e2)2(1-e1)2+
(1-e2)3(1-e1)3+…+(1-e2)n(1-e1)n]

其中，n→∞，上式中括號(hào)中是一個(gè)首項(xiàng)為1，等比為(1-e1)(1-e2)<1的等比數(shù)列求和.故

(12)

同理可推得，從B板流向A板的輻射能通量為

(13)

則通過(guò)兩金屬板間某平行截面的凈輻射能通量為

(14)

解法二：設(shè)金屬板單位面積接收輻射能通量為G，吸收eG，反射(1-e)G，同時(shí)自身輻射eE，其中E=σT4，滿足斯特凡-玻爾茲曼定律，金屬板穩(wěn)態(tài)平衡時(shí)，熱量收支平衡，向外界輻射的有效輻射能通量為Jout.

Jout-G=e(E-G)

(15)

可見(jiàn)Jout與G并不是獨(dú)立的兩個(gè)變量，而是存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的，收入能通量越大，輻出能通量Jout也越大.由式(15)解得

(16)

所以，金屬板向外界的凈輻射能通量為

(17)

把上述結(jié)論分別應(yīng)用于A,B板：A板向外界的凈輻射能通量為

(18)

B板向外界的凈輻射能通量為

(19)

達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度后，金屬板A向外界的凈輻射能通量等于金屬板B向外界輻射的凈輻射能通量的負(fù)值，也等于金屬板A和B 的有效輻射能通量之差，即

RA=-RB=JA,out-JB,out

(20)

應(yīng)用合分比定理得

(21)

2 求(2)問(wèn)

可利用(1)問(wèn)結(jié)論，在A,B板間插入金屬板C并達(dá)到穩(wěn)態(tài)溫度之后，A，C板間的凈輻射能通量RAC等于C，B板間的凈輻射能通量RCB，即

RAC=RCB

(22)

根據(jù)式(14)結(jié)論，有

(23)

(24)

聯(lián)立式(22)～(24)解得

(25)

3 求(3)問(wèn)

利用式(22)～(24)，并代入e=e1=e2,可得

(26)

聯(lián)立式(23)、(26)得插入金屬板C后的凈輻射能為

(27)

4 求(4)問(wèn)

圖1 A,B板間插入n塊相同的金屬板

由于各金屬板達(dá)到穩(wěn)態(tài)平衡時(shí)溫度不變，凈輻射能通量相等，根據(jù)式(14)，代入e=e1=e2，可得

(28)

其中RAB是A,B板間沒(méi)有其他金屬板時(shí)的凈輻射能通量，R是A,B板間插入n片金屬板時(shí)的凈輻射能通量，可見(jiàn)，多層金屬板相疊，間隙數(shù)目越多，單位時(shí)間內(nèi)的輻射傳熱就越少，保溫效果就更好.

5 拓展與提升

筆者給這道題再加兩小問(wèn)(5)和(6)，從其他方向啟發(fā)學(xué)生對(duì)此類熱輻射問(wèn)題進(jìn)行深入思考.

拓展1:(5)常用的隔熱布是多層金屬薄膜構(gòu)成，兩兩之間以網(wǎng)狀的、聚酯纖維間隔開(kāi)來(lái).設(shè)金屬膜的發(fā)射率和吸收率都為e.有一種隔熱布共由11層這樣的金屬膜彼此平行放置構(gòu)成，用它包裹一個(gè)半徑為r，比熱為c，質(zhì)量為M的均質(zhì)球形儀器(儀器本身不發(fā)熱)，放在距離太陽(yáng)為d處，設(shè)太陽(yáng)表面積為S，太陽(yáng)表面溫度為T(mén)s,達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，該儀器的溫度To是多少？

解：隔熱布的功能并不是阻斷熱輻射，而是降低進(jìn)出物體的輻射能通量，因此對(duì)穩(wěn)態(tài)平衡的溫度沒(méi)有影響，而只是讓穩(wěn)態(tài)平衡較慢達(dá)成而已.所以，我們可以不用考慮隔熱布的存在，將球形儀器當(dāng)成黑體，根據(jù)球形儀器能量守恒

(29)

得

(30)

拓展2:(6)若該球形儀器本身會(huì)發(fā)熱，功率為常量P，它和多層隔熱布的最內(nèi)層(第11層)緊密接觸而保持同溫，隔熱布的總厚度遠(yuǎn)小于球形儀器的半徑r.達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)，多層隔熱布最內(nèi)層的溫度Tin及最外層(第1層)的溫度Tout分別是多少？

解：先考慮最內(nèi)層熱平衡,則

(31)

式中T10是第10層隔熱布的溫度.接著考慮最外層熱平衡

(32)

式中T2是第二層隔熱布的溫度.又由于各層的輻射凈能通量相同

(33)

聯(lián)立，可得

(34)

(35)