基于Vpython的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成可視化研究

何云存

(湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖北 武漢 430062)

任 濤

(武漢電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院輸配電工程系 湖北 武漢 430074)

1 引言

振動(dòng)，在大學(xué)物理課程中有著承上啟下的地位.上承力學(xué)，質(zhì)點(diǎn)受線性回復(fù)力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求解動(dòng)力學(xué)方程，可得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程呈三角函數(shù)形式，運(yùn)動(dòng)形式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)；下接波動(dòng)以及光學(xué)，波動(dòng)即是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)的傳播，振動(dòng)的合成是波疊加，以及光的干涉衍射現(xiàn)象的理論基礎(chǔ).一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成使用旋轉(zhuǎn)矢量法很好理解，二維和三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成較一維復(fù)雜得多，對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求較高，傳統(tǒng)教學(xué)中往往只講解一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成.為了幫助學(xué)生建立完整的知識(shí)體系，使用形象直觀的方法展現(xiàn)二維三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成是有必要的.

計(jì)算機(jī)技術(shù)的日益發(fā)展，使物理教學(xué)更具生動(dòng)多樣性，能幫助學(xué)生理解抽象的物理問(wèn)題，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[1].開(kāi)源免費(fèi)，語(yǔ)法簡(jiǎn)單的Python編程語(yǔ)言近年來(lái)不僅被廣泛用于金融工程、科學(xué)研究，而且被用于輔助教學(xué).Python擁有很多功能強(qiáng)大的第三方庫(kù)，Vpython是一個(gè)三維圖形庫(kù)，可用于模擬仿真物體的運(yùn)動(dòng)[2].本文使用Vpython將二維三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成可視化，當(dāng)分振動(dòng)的頻率滿足整數(shù)比值時(shí)，可形成穩(wěn)定封閉的李薩如圖形，該方法有助于學(xué)生理解簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的原理以及性質(zhì).

2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

2.1 二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

兩個(gè)分振動(dòng)的振動(dòng)方向分別沿x軸、y軸，分振動(dòng)的方程形式為

x=A1cos(ω1t+φ1)

y=A2cos(ω2t+φ2)

其中A,ω,φ分別表示振幅、角頻率、初相位.首先考慮分振動(dòng)頻率相同的情況，使用Vpython編程，代碼如下：

#第一部分：調(diào)入3D模塊Vpython，建立畫布和坐標(biāo)軸

from vpython import *

s1=canvas(width=1000,height=1000,x=0,y=0,background=color.white)

x = arrow(pos=vector(0,0,0),axis=vector(6,0,0),shaftwidth=0.1,color=color.black)

x_text=label(pos=vector(6.5,0,0),text="x",height=30,opacity=0,box=0)

y = arrow(pos=vector(0,0,0),axis=vector(0,6,0),shaftwidth=0.1,color=color.black)

y_text=label(pos=vector(0,6.7,0),text="y",height=30,opacity=0,box=0)

#第二部分：設(shè)定初始條件，建立一個(gè)藍(lán)色小球作為振動(dòng)物體

A1=4

A2=5

w1=pi

w2=pi

phi1=0

phi2=pi/3

t=0

dt=0.001

ball = sphere(pos=vector(A1*cos(phi1), A2*cos(phi2), 0), radius=0.5, color=color.blue,

make_trail=True)

#第三部分：循環(huán)體實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模擬

while True:

rate(500)

phi1=phi1+w1*dt

ball.pos.x=A1*cos(phi1)

phi2=phi2+w2*dt

ball.pos.y=A2*cos(phi2)

t=t+dt

第三部分是程序的核心部分，程序運(yùn)行結(jié)果如圖1所示，可以看到小球沿著橢圓軌道順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，若交換兩個(gè)分振動(dòng)的初始相位值，可看到小球軌跡不變，但是運(yùn)動(dòng)方向變成逆時(shí)針.當(dāng)振幅、頻率固定時(shí)，相位差決定軌跡的形狀.

圖1 同頻率的二維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成

若分振動(dòng)的頻率不同，但是具有簡(jiǎn)單的整數(shù)比值，可形成穩(wěn)定封閉的李薩如圖形.李薩如圖形與x軸、y軸的切點(diǎn)數(shù)目之比，與分頻率之比呈反比.通過(guò)修改代碼中分振動(dòng)的頻率以及初相位，我們得到幾組不同的李薩如圖形.

在圖2中，(a)、(b)分振動(dòng)的初相位相同，初相位差相同，x軸、y軸分頻率之比分別是2∶3和3∶2，顯然頻率之比對(duì)軌跡形狀有影響.圖2(a)閉合曲線沿x軸切點(diǎn)數(shù)目3，沿y軸切點(diǎn)數(shù)目為2，圖2(b)沿x軸切點(diǎn)數(shù)目2，沿y軸切點(diǎn)數(shù)目3，驗(yàn)證了切點(diǎn)數(shù)目之比與分頻率之比呈反比的結(jié)論.

(b)

(a)

2.2 三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

振動(dòng)方向相互正交的3個(gè)分振動(dòng)頻率滿足整數(shù)比時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡呈三維李薩如圖形.分振動(dòng)的方程形式為

x=A1cos(ω1t+φ1)

y=A2cos(ω2t+φ2)

z=A3cos(ω3t+φ3)

此處以

A1=A2=A3=5

為例，分振動(dòng)頻率之比

ω1∶ω2∶ω3=1∶2∶3

三維振動(dòng)合成的可視化需要在程序第一部分加上攝像機(jī)位置和角度的設(shè)定，即給定一個(gè)觀察3D運(yùn)動(dòng)的視角.使用代碼s1.camera.pos=vector(20,20,20)表示攝像機(jī)位置在x=20，y=20，z=20的空間點(diǎn)處，s1.camera.axis=vector(-20,-20,-20)表示攝像機(jī)方位正對(duì)著坐標(biāo)原點(diǎn).第二部分加入第三個(gè)分振動(dòng)的初始信息，第三部分循環(huán)體中加入質(zhì)點(diǎn)z軸坐標(biāo)的計(jì)算公式ball.pos.z=A3*cos(phi3)，運(yùn)行得到對(duì)應(yīng)視角下的三維李薩如圖形，如圖5所示.

圖5 三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

在Vpython模塊下，我們可以身臨其境般進(jìn)入到三維空間任意位置觀察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，只需改變攝像機(jī)位置和方向的設(shè)定，修改代碼s1.camera.pos=vector(-20,20,20)，s1.camera.axis=vector(20,

-20,-20)，表示攝像機(jī)的位置和角度與第一次設(shè)定關(guān)于yz平面對(duì)稱，此時(shí)看到的軌跡如圖6所示.

圖6 變換視角的三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成圖

為了方便觀察三維李薩如圖形與xy平面、xz平面、yz平面的切點(diǎn)數(shù)目Nxy，Nxz，Nyz，我們可以站在y軸向下觀察立體曲線在xz平面的投影圖，站在z軸向下觀察立體曲線在xy平面的投影圖，如圖7所示.

從圖中看到曲線與xy平面的切點(diǎn)數(shù)目Nxy=3，與xz平面的切點(diǎn)數(shù)目Nxz=2，與yz平面的切點(diǎn)數(shù)目Nyz=1.平面圖中沿x軸切點(diǎn)看似不在一條直線上，這是由于攝像機(jī)向下俯視，切點(diǎn)高度不一樣所導(dǎo)致的視覺(jué)效果.與二維李薩如圖形特點(diǎn)一致，各方向切點(diǎn)數(shù)目之比由頻率之比決定，即

Nyz∶Nxz∶Nxy=ω1∶ω2∶ω3

3 總結(jié)

本文使用Python編程語(yǔ)言框架下的3D圖形庫(kù)Vpython，對(duì)二維、三維簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成進(jìn)行了可視化模擬，探討了李薩如圖形的特點(diǎn)，特別是對(duì)三維李薩如圖形的模擬，解決了平面思維的困難，將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程形象直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，有益于學(xué)生更加全面深刻地理解振動(dòng)現(xiàn)象.Python語(yǔ)言簡(jiǎn)單易學(xué)，功能強(qiáng)大，除了可視化模擬，還可用于各種物理問(wèn)題中的數(shù)值計(jì)算、建模分析等，是我們學(xué)習(xí)物理課程以及科研探索的現(xiàn)代化手段.