考慮下游平均優(yōu)化車(chē)流量的延遲反饋控制方法*

文岐云，薛 郁**，岑炳玲，唐 媛，盤(pán) 薇

(1.廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院,廣西南寧 530004；2.廣西醫(yī)科大學(xué),廣西南寧 530021)

當(dāng)前社會(huì)經(jīng)濟(jì)有了巨大的發(fā)展，但人們出行時(shí)遇到的交通擁堵問(wèn)題卻日益嚴(yán)峻。政府、社會(huì)投入了大量資金，期望緩解交通擁堵，然而社會(huì)汽車(chē)保有量的增長(zhǎng)速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于道路建設(shè)速度，如何采用有效、科學(xué)的方案緩解交通擁堵，是當(dāng)前人們面臨的一個(gè)迫切問(wèn)題[1]。在過(guò)去幾十年里，研究者們從不同的角度提出了各種交通模型，如格子流體力學(xué)模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型、跟馳模型和耦合映射模型等[2-14]。在這些交通模型中，格子流體力學(xué)模型由于具有宏觀離散性和計(jì)算的高效性，被人們廣泛研究。1995年Bando等[15]提出了最優(yōu)速度模型(OV模型)，此后，許多學(xué)者對(duì)OV模型進(jìn)行了改進(jìn)研究，在原有模型中加入一些物理效應(yīng)或交通因素等[3,16]。Nagatani[17]在1998年首次提出了格子流體力學(xué)模型，該模型基于交通流流體動(dòng)力學(xué)模型，從宏觀上描述了連續(xù)車(chē)流之間的相互作用。運(yùn)用非線性分析，得到在臨界點(diǎn)附近的用mKdV方程描述的交通流擁堵和交通密度波的傳播。1999年，Konishi等[18]在離散時(shí)間的OV模型的基礎(chǔ)上，首次提出了耦合映射(CM)模型中的延遲反饋控制(DFC)方法，通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬，說(shuō)明上述方法對(duì)控制交通擁堵有抑制作用。基于Nagatani和Konishi等的工作，許多研究者考慮不同的重要交通情況和控制參數(shù)，提出了各種控制模型[19-25]，如考慮向后看效應(yīng)[26]、司機(jī)的延遲反應(yīng)[27,28]、密度差效應(yīng)[29]、中斷概率影響[11]、上坡和下坡道路[30]、基于非車(chē)道格子流體力學(xué)模型[31]等。此外，唐鐵橋等[32]提出了改進(jìn)的雙車(chē)道格子流體力學(xué)模型。Ge等[27]考慮駕駛員的反應(yīng)延遲，得到了格子流體力學(xué)模型中的依賴(lài)于時(shí)間的Ginzburg-Landau (TDGL)方程，揭示了交通擁擠與交通流相變之間的關(guān)系。Jin等[33]考慮延遲反饋控制，研究了OV模型中交通流的穩(wěn)定性。此外，由于行人流和交通流具有許多共同的特征，Tian等[34]在Nagatani的二維交通流模型的基礎(chǔ)上提出了一種二維雙向行人流。Cen等[35]提出了考慮延遲時(shí)間連續(xù)累積效應(yīng)的雙向行人流的二維格子流體力學(xué)模型。2015年，Ge等[36]在格子流體力學(xué)模型中引入了t時(shí)刻格子位置j與j+1的流量差作為反饋增益。Redhu等[37]考慮向前看效應(yīng)，提出了多相的格子流體力學(xué)模型。魏麒等[38]研究了斜坡道路考慮平均流量差預(yù)期效應(yīng)的格子流體力學(xué)模型。本研究根據(jù)Nagatani的格子流體力學(xué)模型，考慮把下游平均優(yōu)化車(chē)流量與當(dāng)前延遲車(chē)流量之間的差作為抑制交通阻塞的反饋控制項(xiàng)，建立控制方程。利用線性穩(wěn)定性分析和非線性分析，推導(dǎo)出穩(wěn)定條件以及描述密度波的mKdV方程的解，通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證理論分析結(jié)果。通過(guò)加入反饋控制項(xiàng)，研究反饋增益大小與反應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)短對(duì)交通流擁堵的抑制作用。

1 模型建立

1998年Nagatani[17]首次提出了格子流體力學(xué)模型，方程描述如下。

連續(xù)性方程：

?tρj+ρ0(qj-qj-1)=0，

(1)

動(dòng)力學(xué)方程：

?tqj=aρ0V(ρj+1(t))-aqj，

(2)

其中，下標(biāo)j表示格子位置；qj=ρjvj代表j格子位置時(shí)的交通流量；ρj和vj分別表示t時(shí)刻在j格子位置處的交通密度和瞬時(shí)速度；ρ0為總的平均密度；參量a表示交通流敏感系數(shù)，是延遲時(shí)間τ的倒數(shù)；取交通流優(yōu)化速度函數(shù)V(ρ)如下：

(3)

其中，Vmax和ρc分別表示最大速度和安全臨界密度。該函數(shù)在ρ=ρc=ρ0處有一個(gè)上界和一個(gè)拐點(diǎn)。

在方程(2)中，j+1位置的最優(yōu)流量與j位置的瞬時(shí)流量之差決定了j位置處交通流量的變化，表明交通流的流動(dòng)變化由下游交通流量與當(dāng)前位置流量來(lái)決定。所以，為了揭示下游車(chē)流對(duì)當(dāng)前位置交通流演化的影響，在格子流體力學(xué)方程的基礎(chǔ)上，把在反應(yīng)時(shí)間內(nèi)下游平均優(yōu)化車(chē)流量與當(dāng)前延遲車(chē)流量的差作為延遲反饋控制項(xiàng)，得到以下控制方程：

?tρj+ρ0(qj-qj-1)=0，

(4)

?tqj(t)=aρ0V(ρj+1(t))-aqj(t)+

(5)

其中，td為反應(yīng)時(shí)間，參數(shù)λ為延遲反饋增益。為了抑制交通擁堵的產(chǎn)生，在式(5)中考慮把下游最優(yōu)車(chē)流量的平均累積效應(yīng)與當(dāng)前延遲車(chē)流量的差作為延遲反饋控制。當(dāng)λ=0時(shí)，該模型與Nagatani的模型一致。

利用梯度積分公式對(duì)式(5)中的積分進(jìn)行簡(jiǎn)化，并結(jié)合式(4)和式(5)消去瞬時(shí)速度，得到密度方程：

(6)

2 線性穩(wěn)定性分析

(7)

(8)

sPj+1(s)-ρj+1(0)+ρ0(Qj+1(s)-Qj(s))=0，

(9)

(10)

(11)

因此，傳遞函數(shù)為

(12)

其中ds是特征多項(xiàng)式，

(13)

|G(jw)|=

(14)

通過(guò)解方程(14)，得穩(wěn)定條件：

(15)

圖1反映了傳遞函數(shù)在不同反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td值的振幅變化。在圖1(a)中，反應(yīng)時(shí)間td的值保持不變，改變反饋增益λ的值；而在圖1(b)中，反饋增益λ的值保持不變，改變反應(yīng)時(shí)間td的值。從圖1可以看出，傳遞函數(shù)的幅值基本都小于1，說(shuō)明增加反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td可以有效提高交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖1 不同反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td值的伯德圖

3 非線性分析

為了研究在有限擾動(dòng)作用下產(chǎn)生交通擁堵形成的密度波，采用非線性分析的約化攝動(dòng)法研究在臨界點(diǎn)附近交通密度波所滿(mǎn)足的方程，并對(duì)方程進(jìn)行求解。在臨界點(diǎn)(ρc,ac)附近，對(duì)空間慢變量X和時(shí)間慢變量T作變換如下：

X=ε(j+bt),T=ε3t，

(16)

其中,j和t分別表示空間變量和時(shí)間變量；參數(shù)ε的取值范圍為0<ε?1；b是待定系數(shù)；在j位置處的密度為

ρj(t)=ρc+εR(X,T)。

(17)

將方程(16)和(17)代入密度方程(6)中，利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，展開(kāi)到ε的五階，得到非線性偏微分方程如下：

(18)

(19)

為了得到標(biāo)準(zhǔn)的mKdV方程，采用以下變換：

(20)

因此，方程(19)可寫(xiě)為

(21)

(22)

其中R′0(X,T′)滿(mǎn)足可解性條件：

(23)

通過(guò)積分化簡(jiǎn)，可得傳播速度c的值：

(24)

因此，得到mKdV方程(20)的扭結(jié)-反扭結(jié)波的解為

(25)

扭結(jié)-反扭結(jié)波的振幅A為

(26)

扭結(jié)-反扭結(jié)波的解代表低密度下的自由流和高密度下的堵塞相組成的共存相，其共存曲線可表示為

ρj=ρc±A，

(27)

其中,ρj=ρc-A表示交通階段中的自由流；ρj=ρc+A表示交通階段中的堵塞相。

圖2為交通控制方程中密度敏感度(ρ,a)相圖。每個(gè)圖中都有3對(duì)曲線，實(shí)線為中性穩(wěn)定線，虛線為共存曲線。根據(jù)交通流穩(wěn)定性條件，將相圖劃分為3個(gè)區(qū)域：共存曲線以上的穩(wěn)定區(qū)，中性穩(wěn)定線以下的不穩(wěn)定區(qū)，以及共存曲線與中性穩(wěn)定線之間的亞穩(wěn)定區(qū)。由圖2可以看出，中性穩(wěn)定線和共存曲線隨著反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td值的增加而下降，表明增加反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td可以有效地抑制交通擁堵產(chǎn)生。

圖2 密度敏感度(ρ,a)相圖

4 數(shù)值模擬

采用周期邊界條件進(jìn)行數(shù)值模擬，驗(yàn)證線性穩(wěn)定性分析和非線性分析的結(jié)論。為了便于模擬，對(duì)方程(6)應(yīng)用差分方法進(jìn)行離散，得到差分方程如下：

ρj(t+2Δt)=2ρj(t+Δt)-ρj(t)-

(28)

數(shù)值模擬考慮道路離散格子單元數(shù)N=100，交通流初始狀態(tài)均勻，密度為ρ0=ρc=0.25，敏感度系數(shù)a=1.65，最大速度Vmax=2，模擬的時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.1，交通流的初始擾動(dòng)設(shè)置為

其中,w=1,2,…,5表示初始的5個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)。

數(shù)值模擬結(jié)果如圖3、圖4和圖5所示。圖3顯示了密度隨時(shí)間變化的情況，從圖中可以清楚地觀察到扭結(jié)-反扭結(jié)密度波。在圖3(a)中，當(dāng)反饋增益λ=0.0和反應(yīng)時(shí)間td=0.0時(shí)，密度波的振幅急劇振蕩。對(duì)比圖3(b)、(c)和對(duì)比圖3(c)、(d)、(e)可知，密度波振幅波動(dòng)隨反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td的增加而減小，有利于交通流的穩(wěn)定。

圖3 不同反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td下的3個(gè)格點(diǎn)處的密度-時(shí)間圖

圖4為密度波的時(shí)空演化圖。當(dāng)不考慮反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td時(shí)，出現(xiàn)了扭結(jié)-反扭結(jié)的交通波現(xiàn)象，且波動(dòng)幅度較大。當(dāng)引入反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td時(shí)，密度波的波動(dòng)減小。由于交通振蕩的幅度與車(chē)輛系統(tǒng)的穩(wěn)定性成正比，因此可知反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td的增加有利于車(chē)輛交通系統(tǒng)的穩(wěn)定。

圖4 不同反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td下密度波的時(shí)空演化圖

在不同反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td下，縱坐標(biāo)為ρ25(t)-ρ25(t-1)與橫坐標(biāo)為ρ25(t)相空間密度差的散點(diǎn)圖如圖5所示。在不考慮反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td的情況下，圖5(a)表現(xiàn)出明顯的滯后現(xiàn)象和混沌行為，可以看出交通系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。對(duì)比圖5(b)、(c)、(d)和(e)可知，隨著反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td的增加，滯后曲線逐漸縮小。在圖5(e)中，滯后曲線縮小成一個(gè)點(diǎn)，說(shuō)明交通擁堵得到了有效緩解。

圖5 不同反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td在site-25處的散點(diǎn)圖

5 結(jié)論

本研究引入下游平均優(yōu)化車(chē)流量與當(dāng)前延遲車(chē)流量的差作為延遲反饋控制，提出了具有延遲反饋控制的交通流格子流體力學(xué)模型。通過(guò)線性穩(wěn)定性分析，得到了傳遞函數(shù)和穩(wěn)定條件；通過(guò)非線性分析得到了mKdV方程的扭結(jié)-反扭結(jié)密度波解。結(jié)果表明，反饋增益λ和反應(yīng)時(shí)間td能有效緩解交通擁堵。為了驗(yàn)證理論分析，進(jìn)行數(shù)值模擬，詳細(xì)研究了在反饋控制作用下的密度-時(shí)間圖和密度波的時(shí)空演化圖。交通密度波的振蕩減小表明反饋控制實(shí)現(xiàn)了抑制交通堵塞的控制策略。通過(guò)分析瞬時(shí)的交通密度差變化的散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)在反饋增益λ=0時(shí)存在交通滯后和混沌現(xiàn)象。當(dāng)加入反饋控制時(shí)，密度與密度差的空間散點(diǎn)圖縮小為一個(gè)狹窄的有限區(qū)域，形成一個(gè)具有一定周期的極限環(huán)的穩(wěn)態(tài)。交通滯后曲線的收縮表明交通系統(tǒng)的穩(wěn)定性得到增強(qiáng)，有效地抑制了交通擁堵。仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，說(shuō)明考慮下游平均優(yōu)化車(chē)流量與當(dāng)前延遲車(chē)流量的差作為反饋控制，有助于提高對(duì)交通系統(tǒng)的控制。