復(fù)變函數(shù)與積分變換的課程思政元素分析及教與學(xué)*

張方方 趙鵬博 余仁萍 齊 歌

（鄭州大學(xué) 電氣工程學(xué)院 河南鄭州 450001）

引言

2016年，在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上指出：由于我國(guó)擁有獨(dú)特的歷史，獨(dú)特的文化和國(guó)情，這就決定了我國(guó)必須要走符合自身的教育發(fā)展道路，辦好具有中國(guó)特色社會(huì)主義的高校。我國(guó)高等教育發(fā)展方向要同我國(guó)的發(fā)展的現(xiàn)實(shí)目標(biāo)和未來(lái)方向緊密地聯(lián)系在一起。高校思想政治工作關(guān)系到高校要培養(yǎng)什么樣的人，如何培養(yǎng)人以及為誰(shuí)培養(yǎng)人這個(gè)根本問(wèn)題以來(lái)，如何將新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想與大學(xué)生專業(yè)知識(shí)相融合，如何大力推動(dòng)以“課程思政”為目標(biāo)的課堂教學(xué)改革這些問(wèn)題亟須解決。

課程思政在高校教育中的重要性愈來(lái)愈高，而復(fù)變函數(shù)與積分變換作為工科大學(xué)生的一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，教師更應(yīng)該理解課程思政在這門課中的重大意義，挖掘這門課程中每個(gè)定理和符號(hào)與課程思政的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)教育體系和思想政治的有機(jī)統(tǒng)一。那么，作為一名高校教師，應(yīng)該如何順應(yīng)時(shí)代潮流的發(fā)展，做好復(fù)變函數(shù)與積分變換課程知識(shí)與課程思政的有機(jī)統(tǒng)一，如何在課程教育中潛移默化地實(shí)現(xiàn)全方位育人，幫助學(xué)生樹(shù)立和培養(yǎng)正確的人生觀、價(jià)值觀和世界觀，培養(yǎng)出可以為實(shí)現(xiàn)新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義而努力的有用人才。

在新時(shí)代背景下，大學(xué)生專業(yè)課教育與課程思政的融合也深深吸引著眾多教育者。牛英春[1]等研究了復(fù)變函數(shù)論課程混合式課改中的思政元素的應(yīng)用，主要討論了課程理論與思政元素的映射，通過(guò)講解課程中的理論來(lái)引出思政知識(shí)，通過(guò)這種方法與課程思政進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，但是并沒(méi)有提到作為在校大學(xué)生該如何將復(fù)變函數(shù)論與課程思政進(jìn)行融會(huì)貫通。王松[2]、李潔[3]、劉方紅[4]分別將辯證唯物主義融入高等數(shù)學(xué)、微積分和線性代數(shù)等專業(yè)基礎(chǔ)課中，但并沒(méi)有講到作為老師應(yīng)該如何將專業(yè)知識(shí)和課程思政有機(jī)統(tǒng)一后教給學(xué)生。對(duì)于復(fù)變函數(shù)與積分變換這門專業(yè)基礎(chǔ)課程，文獻(xiàn)主要從教學(xué)方法探討、課程建設(shè)、教學(xué)設(shè)計(jì)等[5-6]方面進(jìn)行相關(guān)的研究與分析，而對(duì)于課程的思政元素分析、思政與知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合、課程思政教與學(xué)等方面很少有文獻(xiàn)進(jìn)行深入的探討。

綜上所述，復(fù)變函數(shù)與積分變換與課程思政元素的結(jié)合以及老師和學(xué)生怎樣去教與學(xué)研究具有重要意義，對(duì)于本門課程思政建設(shè)、課程思政元素開(kāi)發(fā)、課程思政教與學(xué)以及學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升都很有價(jià)值。

一、復(fù)變函數(shù)與積分變換的課程思政元素分析

復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，是工科學(xué)生學(xué)習(xí)其他專業(yè)課的重要工具。在自動(dòng)化專業(yè)中，自動(dòng)控制原理、現(xiàn)代控制原理以及信號(hào)與系統(tǒng)等許多重要的專業(yè)基礎(chǔ)課都用到了本門課程的基礎(chǔ)知識(shí)，如復(fù)數(shù)、傅里葉變換、拉普拉斯變換、留數(shù)定理等。本門課程的很多概念、公式、定理和方法等知識(shí)點(diǎn)都與思政有著緊密的聯(lián)系，特別是科學(xué)的思維方法和面對(duì)當(dāng)代錯(cuò)綜復(fù)雜的國(guó)際國(guó)內(nèi)形勢(shì)時(shí)，課程思政發(fā)揮了重要的價(jià)值。

學(xué)生們?cè)趶男W(xué)到大學(xué)的過(guò)程中，很少接觸到復(fù)數(shù)域，他們比較熟悉的是實(shí)數(shù)域。但是隨著學(xué)習(xí)的深入，實(shí)數(shù)域里的知識(shí)已經(jīng)無(wú)法滿足專業(yè)課的需求，因此，在研究上也會(huì)有一定的約束。而課程實(shí)現(xiàn)了在數(shù)域上的擴(kuò)展，使許多如x2+1=0的方程，在復(fù)數(shù)域上存在解析解而實(shí)數(shù)內(nèi)是無(wú)解的。復(fù)變函數(shù)中從實(shí)數(shù)域到復(fù)數(shù)域的變化和大學(xué)生的生活環(huán)境發(fā)生了巨大的改變一樣，為了提高自身的能力，開(kāi)拓自身的視野，強(qiáng)化自身的專業(yè)技能，這需要改善學(xué)生們所處的生活環(huán)境來(lái)達(dá)到上述的目的。

在復(fù)數(shù)域上建立的函數(shù)擁有更多的數(shù)學(xué)性質(zhì)和幾何意義，如大家熟悉的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等由于擴(kuò)域帶來(lái)了函數(shù)性質(zhì)的變化。這里有一個(gè)非常著名的歐拉公式，它將看似沒(méi)有任何關(guān)系的復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，幫助我們更好地理解復(fù)變函數(shù)。歐拉公式建立了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)聯(lián)系，這也啟示我們雖然環(huán)境有所變換，但還是可以找到不同環(huán)境之間的聯(lián)系。這也可以看作事物的形式，不同但本質(zhì)是一致的，事物內(nèi)部本身就包含著相互聯(lián)結(jié)、相互滲透，相互轉(zhuǎn)化又相互排斥。列寧曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：發(fā)展似乎是在重復(fù)以往的階段，但它是以另一種方式重復(fù)，是在更高的基礎(chǔ)上重復(fù)。這也說(shuō)明了由矛盾引起的發(fā)展或者否定的否定是發(fā)展的螺旋形式。學(xué)生所處的環(huán)境雖然改變了，但事情的發(fā)展還是處于螺旋上升的，學(xué)生們應(yīng)更快地適應(yīng)環(huán)境，抓住機(jī)會(huì)提升自身。

復(fù)變函數(shù)與積分變換中，能夠體現(xiàn)課程思政的元素還有很多。例如，留數(shù)定理蘊(yùn)藏的事物發(fā)展的偶然性與必然性；復(fù)變函數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)，特別是泰勒級(jí)數(shù)到洛朗級(jí)數(shù)能夠培養(yǎng)學(xué)生辯證思維，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)；從傅里葉的正逆變換理解事物的對(duì)立和統(tǒng)一的思想，理論聯(lián)系實(shí)際；從拉普拉斯變換概念的引入，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)和人類的每一步的發(fā)展不容易，國(guó)家發(fā)展需要技術(shù)和大家共同的努力；基于拉普拉斯變換求解微分方程的三步走的過(guò)程，體現(xiàn)了解決復(fù)雜問(wèn)題變換思路和工具的重要性，人類的發(fā)展過(guò)程就是體現(xiàn)人類利用工具探索未知世界的過(guò)程。本門課程能夠體現(xiàn)課程思政的知識(shí)點(diǎn)還有很多，需要在課程的教與學(xué)中深入挖掘與分析，建立整個(gè)課程思政元素庫(kù)，更好地培養(yǎng)符合新時(shí)代發(fā)展需要的大學(xué)生。

二、課程思政內(nèi)容怎么教

在教育過(guò)程中，我們要注意將課程思政內(nèi)容與專業(yè)知識(shí)相結(jié)合，與祖國(guó)的發(fā)展相結(jié)合，與學(xué)生的發(fā)展相結(jié)合。我們需要將課程思政建設(shè)與復(fù)變函數(shù)教學(xué)內(nèi)容相互協(xié)調(diào)，深度挖掘課程內(nèi)容與思政的結(jié)合點(diǎn)。為了能夠深刻地推進(jìn)課程的創(chuàng)新改革，我們?cè)诮逃^(guò)程中，要切實(shí)跟隨現(xiàn)代教育的發(fā)展規(guī)律，需要著重樹(shù)立“以人為本”的教學(xué)理念，秉承“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的教學(xué)原則。我們主要可以通過(guò)以下幾點(diǎn)將思政元素潛移默化地與課程的教學(xué)相融合。

1.體現(xiàn)“以人為本”的學(xué)生發(fā)展為中心的課程思政教育。課程知識(shí)點(diǎn)與思政元素要以學(xué)生為中心，體現(xiàn)做人做事的基本道理，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)為目標(biāo)。課程思政元素要結(jié)合國(guó)情與社會(huì)時(shí)政熱點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合中華傳統(tǒng)文化，提升學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義和理想信念。課程思政元素要結(jié)合學(xué)生當(dāng)下的需求和將來(lái)的職業(yè)發(fā)展，提升學(xué)生的職業(yè)認(rèn)知和社會(huì)認(rèn)知，培養(yǎng)知識(shí)全面、素質(zhì)高尚、社會(huì)需要的人才。

2.我們可以使用現(xiàn)代多媒體技術(shù)來(lái)表現(xiàn)思政內(nèi)容。依靠現(xiàn)在的互聯(lián)網(wǎng)，將思政內(nèi)容結(jié)合進(jìn)復(fù)變函數(shù)教學(xué)中，可以將相關(guān)的圖片、視頻等加入課堂教育中，如最新的國(guó)家發(fā)展成就、著名科學(xué)家的奉獻(xiàn)精神、現(xiàn)實(shí)的機(jī)遇與挑戰(zhàn)等，由老師對(duì)其進(jìn)行引導(dǎo)和解說(shuō)，將更多的思政內(nèi)容穿插在課程講解的過(guò)程中，從而達(dá)到與專業(yè)知識(shí)課程的有機(jī)結(jié)合。

3.我們要努力開(kāi)發(fā)思政教學(xué)案例?？菰锏闹R(shí)點(diǎn)很容易讓學(xué)生感到無(wú)聊，造成教學(xué)效果不好，所以在課堂上，我們需要鮮活的案例來(lái)吸引學(xué)生興趣。為了讓學(xué)生改變對(duì)復(fù)變函數(shù)課程枯燥乏味的印象，教師要利用生動(dòng)形象的案例來(lái)活躍課堂氣氛，引發(fā)學(xué)生的積極回應(yīng)。在課堂上，老師也可以加入對(duì)思政案例的討論，從而引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的價(jià)值觀，同時(shí)教師也可以借此來(lái)了解學(xué)生目前觀念。

4.課程思政教育做到“以史為鑒”。在課程的教學(xué)中，我們可以引入數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系、數(shù)學(xué)與各國(guó)文化的聯(lián)系等。這些內(nèi)容都是可以結(jié)合課程思政教育的地方。比如，在柯西積分定理這一章中，我們可以讓學(xué)生查閱柯西這位偉大的科學(xué)家的相關(guān)歷史，首先，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)國(guó)家需要尋找適合自己興趣點(diǎn)，其次是激勵(lì)學(xué)生大學(xué)期間認(rèn)真完成自己學(xué)業(yè)。在教學(xué)過(guò)程中，常常會(huì)需要舉例，常用的經(jīng)濟(jì)學(xué)例子，我們可以給新中華人民共和國(guó)成立以來(lái)的GDP變化，讓學(xué)生感受到國(guó)家的變化，獲得強(qiáng)烈的自豪感。

5.培養(yǎng)學(xué)生從課程知識(shí)中主動(dòng)思考課程中思政元素。課程思政中體現(xiàn)的哲學(xué)、辯證法等思想，如基本函數(shù)、級(jí)數(shù)展開(kāi)、積分變換等知識(shí)，這些抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)本身也富含著相當(dāng)多的哲學(xué)內(nèi)容，我們要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中有目的地將其聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生們多加思考其中蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和思政知識(shí)的有效融合。

課程思政教育的目的是讓我們?cè)谡n堂教學(xué)這個(gè)主干道上充分挖掘課程本身所蘊(yùn)含的思政教育資源，實(shí)現(xiàn)思政教育目標(biāo)與學(xué)生專業(yè)知識(shí)要求協(xié)同一致，促進(jìn)學(xué)生的長(zhǎng)期健康發(fā)展。將復(fù)變函數(shù)與積分變換的知識(shí)傳授與學(xué)生思政教育相融合，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的意志，提高學(xué)生的品質(zhì)，真正實(shí)現(xiàn)教書與育人的有機(jī)結(jié)合，逐步引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀、世界觀，價(jià)值觀，實(shí)現(xiàn)高校人才的全面發(fā)展。

三、課程思政知識(shí)怎樣學(xué)

在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們不能只局限于學(xué)習(xí)書本上的復(fù)變函數(shù)知識(shí)，還要通過(guò)查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料擴(kuò)充自己的知識(shí)儲(chǔ)量，最重要的是要感悟出復(fù)變函數(shù)知識(shí)所蘊(yùn)藏著的思想政治內(nèi)容，如通過(guò)傅里葉正逆變換得到的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律以及通過(guò)引入無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念進(jìn)而引出辯證思維的概念等。當(dāng)思政元素與課程知識(shí)互相融合，學(xué)生們理解課程的難度會(huì)下降，同時(shí)學(xué)習(xí)的熱情會(huì)提升。這種方式對(duì)學(xué)生們未來(lái)的學(xué)習(xí)以及科研是益處良多的。

1.傅里葉變換所折射的對(duì)立統(tǒng)一

傅里葉的正逆變換可以滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分?；诟道锶~的正逆變換公式可以看出，傅里葉的正逆變換是事物的對(duì)立統(tǒng)一的一個(gè)典型例子，不僅可以從像函數(shù)變到原函數(shù)，也可以從原函數(shù)變到像函數(shù)，二者既是對(duì)立的，也是統(tǒng)一的。對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律是物質(zhì)的性質(zhì)和核心，只有正確認(rèn)識(shí)生活中的矛盾，面對(duì)矛盾，才能提高我們的工作能力，幫助我們?cè)谖磥?lái)取得更好的成績(jī)。通過(guò)傅里葉變換這種理論，我們可以將其應(yīng)用到實(shí)際方面，如圖像處理方面。通過(guò)傅里葉變換，我們會(huì)顯著提高圖像處理方面的能力。同樣辯證思維，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)對(duì)學(xué)生們來(lái)說(shuō)也非常重要。

2.無(wú)窮級(jí)數(shù)中的辯證思維

無(wú)窮級(jí)數(shù)是用來(lái)研究解析函數(shù)至關(guān)重要的工具。從函數(shù)的級(jí)數(shù)培養(yǎng)辯證思維，認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì)。辯證思維是指認(rèn)識(shí)事物是通過(guò)從變化和發(fā)展的角度的思想，經(jīng)常被認(rèn)為是邏輯思維的對(duì)立面。辯證地看問(wèn)題可以幫助我們?cè)诿鎸?duì)抉擇時(shí)，選到最佳的解決方法。只有辯證地看待問(wèn)題，才能開(kāi)闊眼界，這對(duì)我們的生活和事業(yè)的成功至關(guān)重要。為此，我們需要接觸和研究辯證唯物主義的世界觀。學(xué)習(xí)唯物辯證法，可以不斷提高自己的地位，開(kāi)闊自己的胸懷。我們?cè)谧隹蒲袝r(shí)，要辯證地看問(wèn)題，而不是局限于其中的一個(gè)方面，要同時(shí)考慮兩個(gè)方面，這樣才能在學(xué)術(shù)與做事方面取得成功。

3.留數(shù)定理蘊(yùn)藏的偶然性與必然性

留數(shù)和留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)課程的重要概念和重要內(nèi)容，是分析和求解復(fù)變函數(shù)積分的一種重要方法。通過(guò)留數(shù)和留數(shù)定理學(xué)習(xí)，理解了科學(xué)結(jié)論的偶然性和必然性。偶然性是被積區(qū)域的各個(gè)奇點(diǎn)，必然性則是最終構(gòu)成的被積區(qū)域包圍的閉曲線。正確認(rèn)識(shí)必然性與可能性之間的辯證關(guān)系，對(duì)于科學(xué)研究和社會(huì)實(shí)際活動(dòng)都非常重要?？茖W(xué)活動(dòng)不能為了追求必然而離開(kāi)不可預(yù)見(jiàn)的情況。在做科研過(guò)程中，如果同一實(shí)驗(yàn)遇到不同的結(jié)果，不應(yīng)該直接拋棄偏差很大的結(jié)果并且只保留偏差較小的結(jié)果，而是應(yīng)該不斷地嘗試做實(shí)驗(yàn)，要知道無(wú)數(shù)的偶然造就了必然，這樣才能得到最終的期望結(jié)果。

結(jié)語(yǔ)

復(fù)變函數(shù)含有的基礎(chǔ)知識(shí)為學(xué)生大學(xué)學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。學(xué)生通過(guò)專業(yè)知識(shí)之間建立的聯(lián)系，更好地理解知識(shí)的本質(zhì)。這些都會(huì)切切實(shí)實(shí)的影響學(xué)生們未來(lái)的大學(xué)學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯，培養(yǎng)出符合我國(guó)社會(huì)主義核心價(jià)值觀的，具有科學(xué)精神和工匠精神的新工科人才。教師通過(guò)在教學(xué)中將基礎(chǔ)知識(shí)和相關(guān)擴(kuò)展知識(shí)相結(jié)合，讓學(xué)生不僅在準(zhǔn)確理解專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，還能夠感悟知識(shí)背后的人生哲理以及科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)精神，從而參與到祖國(guó)發(fā)展中。