試析數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王瑩

（遼寧省營口市大石橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)，遼寧營口 115100）

在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)和探究的過程中，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想方法。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，方便學(xué)生梳理題目信息、分析解題思路，幫助學(xué)生突破數(shù)學(xué)解題中的重難點(diǎn)，提高學(xué)生的問題解決能力。為此，初中數(shù)學(xué)教師在開展解題教學(xué)的過程中，可以結(jié)合教材內(nèi)容，借助初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)題型，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用策略進(jìn)行深入思考與分析，促使學(xué)生掌握數(shù)量與圖形之間的轉(zhuǎn)化方式，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。就這一方面而言，加強(qiáng)對數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中運(yùn)用的研究是非常必要的。

一、數(shù)形結(jié)合思想的概念

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)研究的基本對象，“數(shù)”指的是抽象的數(shù)量關(guān)系，“形”指的是圖形、圖像概念，兩者雖然存在本質(zhì)上的區(qū)別，但在一定的條件下，也是可以相互轉(zhuǎn)化、結(jié)合運(yùn)用的。簡單來說，數(shù)形結(jié)合則是將數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并通過二者之間的內(nèi)在關(guān)系，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考和探究的數(shù)學(xué)方法。根據(jù)這一思想，學(xué)生可以將抽象的數(shù)據(jù)材料與直觀的圖形材料結(jié)合起來，快速找到問題的解決思路和方法，促使學(xué)生的解題能力得到有效提升。

在初中數(shù)學(xué)的課程體系中，教師需要積極尋找教學(xué)中與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián)的內(nèi)容，結(jié)合實(shí)際案例對學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行培養(yǎng)，為學(xué)生今后在解題中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。首先，有理數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)系，教師可以在解決有理數(shù)運(yùn)算問題的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生通過繪制數(shù)軸并在數(shù)軸上標(biāo)記有理數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，來實(shí)現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化；其次，不等式與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)系，通過語言、文字的講解，學(xué)生對一元一次不等式或一元一次方程不等式組等概念知識(shí)的理解比較淺薄，而將其解集以數(shù)軸的方式呈現(xiàn)出來，就可以利用直觀的圖像強(qiáng)化學(xué)生的理解；再次，函數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想的聯(lián)系，可以通過數(shù)與形之間的靈活轉(zhuǎn)化，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的坐標(biāo)系，加深學(xué)生對函數(shù)知識(shí)的理解與掌握。

二、初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的現(xiàn)狀

（一）解題教學(xué)教條化嚴(yán)重

相較于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的難度有了明顯提升，且數(shù)學(xué)問題考查的范圍也更深、更廣，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，強(qiáng)化學(xué)生的解題能力成為教師教學(xué)的重點(diǎn)。但在實(shí)際教學(xué)中，部分教師過于依賴自身以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對于教學(xué)的內(nèi)容以及教學(xué)的方法等，無法做到與時(shí)俱進(jìn)，一味注重學(xué)生對理論知識(shí)的掌握，在解題教學(xué)中，習(xí)慣直接傳授學(xué)生解題的套路和模式，讓學(xué)生對所學(xué)的數(shù)學(xué)公式、定理等理論知識(shí)進(jìn)行套用，卻忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的引導(dǎo)，這樣教條化的模式只會(huì)限制學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，非常不利于學(xué)生解題能力的提升。

（二）圍繞考試范圍進(jìn)行教學(xué)

由于我國現(xiàn)階段的初中教育采取的依然是考試升學(xué)制度，學(xué)生的考試成績直接決定學(xué)生能否升入理想的高中，進(jìn)而為將來的考大學(xué)做準(zhǔn)備，因此無論是教師還是學(xué)生對考試的分值看得都很重。而為了提高學(xué)生的考試成績，很多初中數(shù)學(xué)教師在制訂教學(xué)內(nèi)容的時(shí)候，都會(huì)根據(jù)考試重點(diǎn)來劃范圍，然后采取題海戰(zhàn)術(shù)，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行大量、反復(fù)的試卷練習(xí)，以期能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，學(xué)生為了提高解題的速度，學(xué)習(xí)大量的解題技巧，卻忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和規(guī)律，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維受到禁錮，嚴(yán)重影響學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與提升。

（三）學(xué)生缺乏解題的自信心

與小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)相比，初中數(shù)學(xué)不論是難度還是深度都提升了一個(gè)層次，且所教授的理論知識(shí)多而雜，學(xué)生需要記憶大量的數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定理等理論知識(shí)，年級(jí)越高考試考查的范圍就越廣，數(shù)學(xué)問題也就越復(fù)雜，學(xué)生解題時(shí)遇到的問題和難度就越多。而初中生正處于青春期，他們的情感較為敏感，這種挫敗感會(huì)使得學(xué)生對數(shù)學(xué)解題逐漸失去信心，甚至讓學(xué)生出現(xiàn)逆反和自卑的心理狀況。如此，不但無法提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，而且還會(huì)對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)造成不利影響。

三、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)解題中的意義

（一）提高數(shù)學(xué)解題教學(xué)的趣味性

我們都知道數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的學(xué)科，因而在初中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，邏輯思維和空間立體思維是學(xué)生必須要具備的數(shù)學(xué)思維能力，這樣學(xué)生才能對數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系進(jìn)行正確梳理。但對多數(shù)初中生而言，他們這兩種思維能力都相對較弱，這也使得他們在面對一些難度較大的數(shù)學(xué)問題時(shí)，就會(huì)感到束手無策，進(jìn)而嚴(yán)重打擊他們的學(xué)習(xí)自信心。而數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用，則可以促使學(xué)生從不同的角度思考和分析數(shù)學(xué)問題，使得數(shù)學(xué)問題的探究過程更加靈活、有趣，讓學(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。

（二）提高數(shù)學(xué)解題思維的靈活性

數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題過程中的運(yùn)用主要有兩個(gè)方向：一是“以形助數(shù)”即將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成直觀明了的圖形關(guān)系，減低數(shù)學(xué)問題的解題難度；二是“以數(shù)化形”即將抽象的圖像問題轉(zhuǎn)化為邏輯縝密的數(shù)量關(guān)系，使其變得更加具體。在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，學(xué)生可以靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從不同的角度對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、理解與思考，嘗試轉(zhuǎn)換角度尋找解決問題的切入點(diǎn)，提高學(xué)生解題效率的同時(shí)，也能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生抽象思維向邏輯思維的轉(zhuǎn)變，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性。

（三）加深對數(shù)學(xué)解題規(guī)律的掌握

初中數(shù)學(xué)的問題類型不外乎幾何圖形、數(shù)字方程，雖然存在本質(zhì)上的區(qū)別，但兩者之間是可以通過互相轉(zhuǎn)化證明彼此的，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的過程中，可以逐漸掌握數(shù)學(xué)知識(shí)相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，從其中總結(jié)出屬于自己的解題方法，既能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，又能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，為學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展打好基礎(chǔ)。

四、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在初中數(shù)學(xué)解題中的策略

（一）以形助數(shù)，強(qiáng)化直觀效果

在現(xiàn)實(shí)生活中處處充滿了代數(shù)的身影，因而，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中代數(shù)成為了重要教學(xué)內(nèi)容。然而，代數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系往往都非常復(fù)雜，而為了增加問題的難度，出題人甚至還會(huì)在題目中設(shè)置各種陷阱，用一些無效的信息來干擾學(xué)生的解題思路，對邏輯思維能力較差的學(xué)生來說，解決這樣的代數(shù)問題無異于一場災(zāi)難。但是在以往的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)實(shí)踐中，教師的教學(xué)重心一直在解題思路和步驟的傳授上，忽視了學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)。鑒于此，在新時(shí)期的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師則需要摒棄以往的教學(xué)方法，將數(shù)形結(jié)合中“以形助數(shù)”的思想方法滲透到其中，引導(dǎo)學(xué)生利用直觀圖像將復(fù)雜的數(shù)量問題表示出來，然后利用圖形來解決數(shù)學(xué)問題，這樣原本分散、隱藏于題目各個(gè)角落的有效信息變得明顯，同時(shí)還能夠幫助學(xué)生摒除題目中的干擾項(xiàng)，讓繁雜的代數(shù)問題變得有條理、一目了然，進(jìn)而有效降低代數(shù)問題的解題難度，提升學(xué)生的解題效率和水平。

例如，在判定有理數(shù)及方程的時(shí)候，由于小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)并未涉及此方面的內(nèi)容，初中生的相關(guān)知識(shí)比較薄弱，甚至理不清正數(shù)與負(fù)數(shù)的概念關(guān)系，為此，在解決此類型問題的時(shí)候，教師可以引導(dǎo)學(xué)生繪制數(shù)軸，確定中心0點(diǎn)，對題目中涉及的正數(shù)和負(fù)數(shù)在數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)記，原本雜亂的數(shù)字關(guān)系瞬間變得清楚，方便學(xué)生理解的同時(shí)，也提高學(xué)生解題的準(zhǔn)確率。再如，在求一次函數(shù)y=x-2與二次函數(shù)y=x2+2x-2有幾個(gè)交點(diǎn)的問題時(shí)，傳統(tǒng)的初中解題教學(xué)中，教師一般都會(huì)讓學(xué)生將二次函數(shù)與一次函數(shù)相聯(lián)系，組成一個(gè)一元二次方程，通過解這個(gè)一元二次方程得出x的值，最后再結(jié)合一次函數(shù)得出兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力不說，復(fù)雜的解題步驟中一旦有哪個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，就會(huì)影響最后的結(jié)論。而如果采取數(shù)形結(jié)合思想，教師可以引導(dǎo)學(xué)生首先以二次函數(shù)的一般形式化為頂點(diǎn)式，確定二次函數(shù)的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后再帶入一次函數(shù)，求得與y軸和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像，通過觀察圖像就可以得出最終的結(jié)論。

（二）以數(shù)解形，加深知識(shí)理解

在初中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形結(jié)合思想不是只能通過“數(shù)”化“形”來增強(qiáng)直觀效果，也可以通過“形”化“數(shù)”加深學(xué)生對問題的理解，即利用數(shù)量關(guān)系的邏輯性，說明圖形之間的關(guān)系，讓抽象的數(shù)學(xué)問題變得具體化，尤其對一些復(fù)雜的圖形問題來說，轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，能夠方便學(xué)生理解的同時(shí)，提高學(xué)生的解題效率和準(zhǔn)確率。而為了防止學(xué)生將“以數(shù)解形”簡單理解成畫圖找答案，教師可以用一個(gè)引導(dǎo)性的問題拋磚引玉，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的積極思考與探討，讓學(xué)生從“數(shù)”的角度出發(fā)，對幾何圖形中各元素之間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到已知條件之間的邏輯與規(guī)律，同時(shí)明確數(shù)學(xué)題目的解題方向。

例如，在一個(gè)長、寬為2米，高為3米的封閉透明盒子里，一只小蟲子想要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，請為它設(shè)計(jì)出最短路程的路線。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在紙上畫出封閉透明盒子的幾種展開圖，標(biāo)出長、寬、高并準(zhǔn)確找到A、B兩點(diǎn)，然后再分析兩點(diǎn)的位置關(guān)系，找到最短的路程。

（三）數(shù)形結(jié)合，提升解題效率

雖然在數(shù)形結(jié)合思想中無論是以形助數(shù)還是以數(shù)解形，都存在各自的缺陷與不足，但兩者之間相輔相成的轉(zhuǎn)化效能，的確幫助學(xué)生解決了很多數(shù)學(xué)上的難題，學(xué)生可以通過數(shù)與形的靈活轉(zhuǎn)化找到解決數(shù)學(xué)問題的最簡方式，提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力及效率的同時(shí)，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與應(yīng)用，為學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的提升奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

例如，在解決反比例函數(shù)的時(shí)候，用直觀、明了的幾何圖形來解釋反比例函數(shù)的重難知識(shí)點(diǎn)，可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)，也幫助學(xué)生更好地解決類似問題。給出兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，比較兩個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的大小。以數(shù)字運(yùn)算的方式雖然也可以得出正確答案，但如果采取繪制反比例函數(shù)圖像的方法，則更加直觀。教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件計(jì)算兩點(diǎn)坐標(biāo)的比例系數(shù)k，并根據(jù)k的值來畫出標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)圖像，遵循“k大一三減，k小二四增”的口訣，輕而易舉就可以得出正確答案，同時(shí)也進(jìn)一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與口訣的運(yùn)用，提高學(xué)生的解題效率。

（四）課后反思，深化理解

在對學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和能力培養(yǎng)的過程中，課后總結(jié)和反思是非常必要的。在課后學(xué)生有足夠的時(shí)間對數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行總結(jié)和反思，這就要求初中教師應(yīng)意識(shí)到這一點(diǎn)，并合理引導(dǎo)學(xué)生合理利用好課后時(shí)間，讓他們在原有知識(shí)基礎(chǔ)上，利用數(shù)相結(jié)合的思想方法對數(shù)學(xué)概念、定理和問題進(jìn)行解讀，并對數(shù)學(xué)結(jié)合的思想方法和用法進(jìn)行總結(jié)反思，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合思想意識(shí)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

例如，在對“正數(shù)和負(fù)數(shù)”這一部分的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)后，教師則可以引導(dǎo)學(xué)生利用課后時(shí)間，對課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)結(jié)合進(jìn)行反思和總結(jié)。在學(xué)生課后反思的過程中，可以利用數(shù)軸表示正數(shù)和負(fù)數(shù)，并以此來正負(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)等進(jìn)行理解，強(qiáng)化課堂所學(xué)。同時(shí)學(xué)生還可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，對正負(fù)數(shù)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答，進(jìn)一步深化對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解和掌握，提升自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

五、結(jié)束語

綜上所述，將數(shù)形結(jié)合的思想方法合理引入初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，能夠?yàn)閷W(xué)生數(shù)學(xué)問題的思考和探究提供新思路和方法，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)獲得良好發(fā)展。因此，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)加強(qiáng)對這一方面的重視和研究，并在教學(xué)實(shí)踐中，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法，引導(dǎo)學(xué)生通過“數(shù)”與“形”之間的靈活轉(zhuǎn)化，將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得具體、簡單，并通過分析題目中已知條件之間的邏輯與關(guān)系，突破傳統(tǒng)解題教學(xué)模式對自身數(shù)學(xué)思維造成的限制，提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力。