多少樓才能不擋光

林勇

前幾天勇哥的大學(xué)同學(xué)在沈陽新買了一套房子，買房本來是件開心的事，妻子卻說樓層（12樓）太低，前樓擋光，抱怨不止.

其實(shí)，這種情形在日常生活中屢見不鮮，一提起高樓層我們就稱贊“采光好”，一說到低樓層就抱怨“不見陽光”. 那么問題來了：到底幾樓以上陽光才不會被擋呢？今天我們一起用數(shù)學(xué)建模的方法嘗試解決生活中大多數(shù)人遇到過的這個問題.

問題分析

我們知道，太陽光可以看成是平行光線，樓房都是垂直于地面建造的，我們可以據(jù)此畫出如圖1所示的模擬圖，想要知道幾樓以上不擋光，其實(shí)就是求當(dāng)陽光與地面所成的角最小時，乙樓在陽光下的投影落在甲樓的第幾層上.

結(jié)合我們學(xué)過的三角函數(shù)及其應(yīng)用的知識，可知要解決上述問題需要知道以下幾個變量的數(shù)值：

變量1：兩棟樓之間的距離;

變量2：乙樓房的高度;

變量3：樓房的層高;

變量4：陽光與沈陽當(dāng)?shù)氐淖钚A角.

經(jīng)查找資料及咨詢業(yè)內(nèi)人士，勇哥得到相關(guān)信息：

（1）每層樓的建筑高度一般為3米左右;

（2）我國相關(guān)法規(guī)規(guī)定，樓高超過100米需要設(shè)置避難層，但這會增加樓房的建造成本，因此一般民用住宅樓不超過100米，故我們?nèi)欠扛叨葹?00米（約33層）;

（3）樓間距一般為樓高的0.7倍，故我們?nèi)情g距為70米;

（4）冬至這天，太陽直射南回歸線（南緯23°26′，約為23.5°），此時陽光與我國所處的北半球的夾角最小，因此我們需要求出此時陽光與沈陽（約北緯42°）的地面夾角.

為此我們作出圖2，設(shè)地球?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)的圓形，OA為沈陽當(dāng)?shù)貥欠康你U垂線，BO為冬至?xí)r直射在南回歸線的陽光，F(xiàn)C為赤道，DE為照射在沈陽的與BO平行的陽光，GH為沈陽所在位置與地球的切線（即地平線）.

我們首先需要解決如下問題：

已知：如圖2，CF為[⊙]O的直徑，∠BOC = 23.5°，∠AOC = 42°，GH為[⊙]O的切線，切點(diǎn)為E，若DE[?]BO，求∠DEH的大小.

解：∵∠BOC = 23.5°，∠AOC = 42°，

∴∠AOB = ∠BOC + ∠AOC = 65.5°，

∵DE[?]BO，∴∠AED = ∠AOB = 65.5°.

∵GH為[⊙]O的切線，切點(diǎn)為E，

∴∠AEH = 90°，∴∠DEH = ∠AEH - ∠AED = 24.5°.

即陽光與沈陽當(dāng)?shù)氐淖钚A角為24.5°.

至此，上面4個變量的數(shù)值我們已全部得到，據(jù)此可以建立數(shù)學(xué)模型來解答開篇提出的問題.

建立模型

如圖3，已知AB，CD為兩座高度均為100米的樓房，樓間距BD = 70米，CE為經(jīng)過樓房CD的頂端射向樓房AB的陽光，若每層樓高3米，當(dāng)太陽光線與水平地面的夾角為24.5°時，樓房AB幾樓以上才不會被樓房CD的影子遮擋？（tan 24.5° ≈ 0.46）

解：如圖3，作EF⊥CD于F，∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴四邊形BEFD為矩形，∴BE = FD.

在Rt△CEF中，∠CEF = 24.5°，

∴CF = EF·tan∠CEF = 70 × tan 24.5° ≈ 70 × 0.46 = 32.2（米），

∴FD = CD - CF = 100 - 32.2 = 67.8（米），

∴BE = FD = 67.8米.

67.8 ÷ 3 + 1 = 23.6 ≈ 24（樓）.

即當(dāng)太陽光線與水平地面的夾角為24.5°時，樓房AB的24樓及以上才不會被樓房CD的影子遮擋.

結(jié)果分析

由上述計(jì)算我們可以得出如下結(jié)論：

若沈陽某個樓盤的樓房均為33層（約100米），當(dāng)其樓間距為70米時，在冬至這一天，24樓以上（包括24樓）才不會被前樓擋光. 因此勇哥同學(xué)妻子的擔(dān)心是有道理的. 但冬至過后，隨著陽光的直射點(diǎn)離開南回歸線逐漸往北偏移，陽光與水平地面的夾角將變大，24樓以下也會接收到陽光，因此不必過分擔(dān)心. 感興趣的同學(xué)可以仿照上述方法計(jì)算一下夏至這天幾樓會被擋光.

建模心得

由于條件所限，上述分析過程中我們所選取的數(shù)值均為理想狀況.現(xiàn)實(shí)生活中，樓的層高、樓房的總高度、樓間距、樓房所在緯度等均會有所變化，同學(xué)們可以在實(shí)地測量后再進(jìn)行計(jì)算.

數(shù)學(xué)建模是一種科學(xué)的思考方法，熟練掌握這種方法可以準(zhǔn)確刻畫并解決實(shí)際問題. 同學(xué)們要掌握數(shù)學(xué)建模方法，多觀察、多思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)眼光來思考問題.