自保護相依多部件系統(tǒng)的預防維修建模及策略優(yōu)化

沈靜遠, 王春麗

(南京理工大學 經(jīng)濟管理學院,江蘇 南京 210094)

0 引言

隨著人工智能、信息科學等相關技術的發(fā)展，系統(tǒng)智能化成為不可逆轉的趨勢，并且將由可控化、自動化的低級智能階段轉向高級智能階段，即具有自維護、自適應、自進化等特征[1]。故障的自愈化也是智能化發(fā)展高級階段的重要特點。高金吉[2]對故障自愈原理進行了深度研究，將故障自愈化技術研究主要領域分為自修復技術、代償技術(含智能切換)、故障自愈調(diào)控技術、免疫技術以及自保護技術等。其中，自保護是指當受到環(huán)境或工況變化的影響時，系統(tǒng)可以自保護來避免故障或故障。

帶有輔助部件的系統(tǒng)也具備自保護性。這類系統(tǒng)通常包含兩類部件，一類為主要部件，作用是執(zhí)行系統(tǒng)功能，這類部件一旦故障，整個系統(tǒng)便會故障。另一類為輔助部件，用于保護主要部件免受環(huán)境沖擊的影響，這類部件的故障不會導致系統(tǒng)故障。在現(xiàn)實中，這種主輔系統(tǒng)有很多，例如帶有減震裝置的鏜床以及配備阻尼器的精密儀器等[3～5]。國內(nèi)外學者對這種類型的系統(tǒng)進行了深入研究。例如，Taghipour和Banjevic[6]以及Babishin等[7]。這些學者對主輔系統(tǒng)的研究卓有成效，但他們的模型大都是假設兩類部件相互獨立的假設，忽略了部件相依的事實。在實際的主輔系統(tǒng)中，主要部件與輔助部件存在相依關系。例如，用于切削鉆孔的鏜刀通常配置阻尼器作為輔助部件來緩解工作時產(chǎn)生的震動，一旦阻尼器失效，鏜刀由于不斷受到震動的影響，退化速率加快，從而更易故障。因此，鏜刀與阻尼器是退化相依的。而對于主輔系統(tǒng)的部件相依性的研究還十分有限，只有少數(shù)學者進行了研究。例如，高文科等[8]和Shen等[9]。這些學者補充了主輔系統(tǒng)部件相依性方面的研究空缺，但他們建立的模型都只包含一個輔助部件，具有一定的局限性。

本文以部件相依的主輔系統(tǒng)為研究對象，基于部件狀態(tài)檢測，提出了一個系統(tǒng)預防維修策略，即(Dc;p,Na;pτ)策略。且利用半再生過程技術推導了系統(tǒng)的長期運行平均成本，并以長期運行平均成本最小化為目標，對所提的預防維修策略進行了優(yōu)化。本文的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在以下幾個方面：第一，考慮了系統(tǒng)包含多個輔助部件的情況；第二，充分研究了部件相依性對系統(tǒng)的影響；第三，將輔助部件失效個數(shù)作為決策變量，提出了一個新的預防維修策略。

1 系統(tǒng)描述與模型假設

假設系統(tǒng)由一個主要部件和n個輔助部件組成。一旦主要部件故障，則系統(tǒng)故障；輔助部件的故障不會直接導致系統(tǒng)故障但會加速主要部件的退化。系統(tǒng)在運行過程中受到環(huán)境中隨機沖擊的影響，假設沖擊到達服從強度為λ的齊次的泊松過程{N(t),t≥0}，其中N(t)表示在[0,t]內(nèi)沖擊發(fā)生的次數(shù)。輔助部件的作用是保護主要部件免受環(huán)境沖擊的影響。令隨機變量Xij(i=1,2,…,j=1,2,…,n)表示第j個輔助部件受到的第i次隨機沖擊導致的損傷大小，當某一次沖擊的損傷超過某個輔助部件預先設定的故障閾值時，則認為該輔助部件故障。假設所有輔助部件的故障閾值均為Da，則第j個輔助部件受到第i次沖擊故障的概率Pa;j可以表示為Pa;j={Xij≥Da}。特別地，假設隨機變量{Xij,i=1,2,…,j=1,2,…,n}是獨立同分布的，可得Pa;1=Pa;2,…,Pa;n。在這種情況下，為方便起見，我們用Pa=Pa;j表示任意一個輔助部件受到隨機沖擊而故障的概率。

主要部件的性能在運行過程中隨時間不斷退化，輔助部件在一定程度上隔離和減輕了環(huán)境沖擊對主要部件的影響。但當輔助部件故障后，隨機沖擊對主要部件退化過程的影響就無法避免了。為了刻畫這一現(xiàn)象，本文假設主要部件的平均退化速率隨輔助部件故障數(shù)量的增加而增加。用αk(k=0,1,…,n)表示系統(tǒng)中有k個輔助部件故障時主要部件的平均退化速率，并且滿足αn≥αn-1≥…≥α0。主要部件的退化量隨時間不斷累積，我們用Dc(t)表示主要部件在t時刻的累積退化量。當主要部件的累積退化量超過給定的退化閾值Dc;f時，即當Dc(t)≥Dc;f時，則認為主要部件故障。

在這個系統(tǒng)中，主要部件的故障會使整個系統(tǒng)故障，所以這一類故障是自顯的。相反，輔助部件的故障是隱性的。因此，每隔τ時間對系統(tǒng)進行定期檢測，假設檢測完美且時間可忽略不計。每次檢測可以確定故障的輔助部件數(shù)量以及主要部件的退化水平。令Na(t)和Dc(t)分別表示t時刻輔助部件的故障數(shù)量和主要部件的累積退化水平，則可以根據(jù)Na(t)和Dc(t)的值來制定相應的維修策略。在任一檢測時刻，若檢測到故障的輔助部件數(shù)量超過或等于給定的預防性維修閾值Na;p，則直接更換掉所有的故障輔助部件，否則不對輔助部件進行任何操作。對于主要部件，當檢測到主要部件的退化水平滿足Dc;p≤Dc(t)

圖1 n=4且Na;p=3時，系統(tǒng)狀態(tài)變化的一個可能的樣本路徑

用隨機變量Tc;p和Tc;f分別代表主要部件預防維修和事后維修的時間，用Cc;p和Cc;f表示相應的成本?？紤]到經(jīng)濟性，假設預防維修的時間和成本分別小于事后維修的時間和成本。此外，每個輔助部件的更換時間Ta和Ca成本分別用Ci和Cd表示。和為一次檢查的成本和單位停機成本?；谒岢龅臋z測維修策略，我們的主要研究目的之一是推導出該策略下的長期運行平均成本。并以長期運行平均成本最小化為目標，將檢測周期τ、預防維修閾值Dc;p和Na;p作為決策變量，建立優(yōu)化問題，進行維修策略優(yōu)化，通過計算給出最優(yōu)解或可行解。

2 系統(tǒng)長期運行平均成本

在本文中，我們用半再生過程[10]來描述系統(tǒng)的運行過程。半再生過程是再生過程的一種推廣。半再生過程允許過程存在多類“再生”時刻，過程從同一類“再生”時刻出發(fā)服從同樣的概率分布律。由于過程從不同類型的“再生”時刻出發(fā)可能遵循不同的分布規(guī)律，因此對于半再生過程而言，這些“再生”時刻稱為半再生點。任意兩個相鄰的半再生點之間的距離稱為一個半再生周期。在半再生過程中，系統(tǒng)在某一個半再生點之后的狀態(tài)只依賴于在該半再生點時系統(tǒng)的狀態(tài)，與半再生點前系統(tǒng)的狀態(tài)無關。令{Sk,k=1,2,…}表示從半再生過程{Z(t),t≥0}中選取的半再生點的集合，zk表示時刻sk的系統(tǒng)狀態(tài)，則{zk,k=0,1,…}可以看作是過程{z(t),t≥0}嵌入的馬爾可夫鏈。根據(jù)相關定理[10]，如果{Zk,k=0,1,…}存在平穩(wěn)分布，則系統(tǒng)的長期運行平均成本可以由一個半再生周期內(nèi)的期望成本除以期望時間得到，即

(1)

其中，π為{Zk,k=0,1,…}的平穩(wěn)分布，Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]分別是在π分布下的半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)的期望成本和期望時間。進一步，用V(t)表示在t時刻系統(tǒng)距離下一次檢測的時間。我們用一個三維向量來表示系統(tǒng)在t時刻的狀態(tài)，即Z(t)=(Dc(t),Na(sk),V(t))。那么，{Z(t),t≥0}可以看作是一個半再生過程，選取的半再生點為：(a)系統(tǒng)至少一個部件故障的時刻；(b)檢測開始的時刻；(c)檢測和維修(如果需要)結束的時刻。令Zk=(Dc(Sk),Na(Sk),V(Sk))表示系統(tǒng)在半再生點Sk時的狀態(tài)，則{Zk,k=0,1,…}為過程{Zk(t),t≥0}嵌入的馬爾可夫鏈。

根據(jù)Asmussen[10]的理論，如果馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}是Harris遍歷的，那么一定存在穩(wěn)態(tài)分布π。為了說明{Zk,k=0,1,…}的Harris遍歷性，下面提出定理1。

定理1對于第1節(jié)中提出的具有多個輔助部件的自保護系統(tǒng)，用于刻畫系統(tǒng)演化過程{Z(t),t≥0}的半再生過程的嵌入馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}是Harris遍歷的，相應的平穩(wěn)分布存在。

馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}存在平穩(wěn)分布π，則系統(tǒng)長期運行平均成本可以通過公式(1)得到。接下來，我們的主要關注點是推導出π、Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]的計算公式。

2.1 {Zk,k=0,1,…}的平穩(wěn)分布

令(w,m,v)為系統(tǒng)狀態(tài)(Dc(t),Na(t),V(t))的實現(xiàn)值，其中w∈[0,Dc;f]，m=0,1,…,n，v∈[0,τ]。令狀態(tài)(w,m,v)的平穩(wěn)概率密度用π(w,m,v)表示，則有

(2)

為了推導π(w,m,v)的值，我們進一步研究一個半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)系統(tǒng)的狀態(tài)變化。根據(jù)Sk+1時刻半再生點的類型，分成以下3種情形進行討論。

情形1在時刻Sk+1至少有一個部件故障

在此情形中，故障的部件可能是主要部件、輔助部件或者兩者都有。因此又存在兩種場景。

場景a：僅有輔助部件故障

這意味著(Sk,Sk+1)內(nèi)沒有發(fā)生沖擊或發(fā)生的沖擊未對輔助部件造成傷害。并且，恰巧沖擊發(fā)生在Sk+1時刻并導致至少一個輔助部件故障。假設系統(tǒng)在Sk+1時刻的狀態(tài)為(w1,m1,v1)，其中00,0

(3)

場景b：時刻故障的部件是主要部件或包含主要部件

在該場景下，記Sk+1時刻系統(tǒng)的狀態(tài)為(Dc;f,m1,v1)，其中m1≥0并且0≤v1<τ，則我們可以得到

(4)

情形2在時刻Sk+1開始進行檢測

這個情形表示在(Sk,Sk+1)內(nèi)沒有部件故障。系統(tǒng)在Sk+1的狀態(tài)為(w1,m1,0)，其中0

(5)

情形3時刻Sk+1檢測完成或維修完成(如果需要維修)

這意味著一次新的檢測周期在時刻Sk+1后開始?；谔岢龅木S修策略，可得

π(w1,m1,τ)=π(w1,m1,0),0

(6)

(7)

(8)

(9)

其中，公式(9)最后兩個加數(shù)分別表示維修前輔助部件故障個數(shù)為0的情況。除了在公式(6)～(9)中討論的情況外，還有w1≥Dc;p或m1≥Na;p時，π(w1,k1,τ)=0的情況。公式(3)～(9)給出了半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)系統(tǒng)狀態(tài)轉移的公式。結合公式(2)則可以計算出馬爾可夫鏈{Zk,k=0,1,…}的平穩(wěn)分布π。由于{Zk,k=0,1,…}的狀態(tài)是連續(xù)的，因此很難直接求出π。要解決這個問題，可以將連續(xù)的狀態(tài)空間離散成有限的狀態(tài)空間，利用逐次逼近法進行簡化計算。

2.2 一個半再生周期內(nèi)的期望成本和期望時間:Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]

在這部分，將基于平穩(wěn)狀態(tài)分布π計算在半再生周期(Sk,Sk+1]內(nèi)的期望成本和期望時間?；?.1中求得的π(w,m,v)的值，Eπ[C(Sk+1-Sk)]和Eπ[Sk+1-Sk]可以進一步通過下列式子得到

(10)

(11)

其中，E(w,m,v)[C(Sk+1-Sk)])和E(w,m,v)[Sk+1-Sk]分別表示Sk時刻系統(tǒng)狀態(tài)為(w,m,v)(w∈[0,Dc;f],m=0,1,…,n,v∈[0,τ])條件下，(Sk,Sk+1]內(nèi)的期望成本和期望時間。

假設系統(tǒng)在Sk時刻的狀態(tài)為(Dc;f,m,v)(其中v∈[0,τ])，即Sk時刻至少主要部件故障。則立即進行事后維修，同時對輔助部件進行機會檢測和更換(如果需要)。在這種情形下，維修結束時刻可以看作是下一個半再生時刻Sk+1。根據(jù)輔助部件故障的個數(shù)，我們可以得到

(12)

(13)

另外，假設系統(tǒng)在Sk時刻的狀態(tài)為(w,m,0)，即在Sk時刻開始進行檢測?；诘?節(jié)提出的策略，

(14)

(15)

最后，假設系統(tǒng)在Sk時刻的狀態(tài)為(w,m,v)，其中0≤w

E(w,m,v)[C(Sk+1-Sk)]=0,若w

(16)

若αmv

(17)

若αmv≥Dc;f-w，即系統(tǒng)在下一次檢測到來前發(fā)生故障，令c=(Dc;f-w)/αm，則有

(18)

將等式(12)、(14)和(16)帶入(10)中，結合2.1中推導出的π可得到期望成本Eπ[C(Sk+1-Sk)]。類似地，通過將等式(13)、(15)、(17)和(18)帶入(11)中，即可得到期望周期Eπ[Sk+1-Sk]。最后，長期運行平均成本可由等式(1)得到。

3 數(shù)值研究

在本章中，我們考慮一個具有四個阻尼器作為輔助部件的鏜刀系統(tǒng)，假設整個系統(tǒng)遭受的環(huán)境沖擊是服從強度為λ=2/天的齊次泊松過程。每次沖擊導致一個阻尼器故障的概率為Pa=0.3。鏜刀為這個系統(tǒng)的主要部件，受到阻尼器的保護并隨時間不斷退化。平均退化速率與系統(tǒng)中工作的阻尼器的數(shù)量有關。假設α0=0.5，α1=1，α2=2，α3=4，α4=5。其中，αm(m=0,1,…,4)是當系統(tǒng)中故障的阻尼器數(shù)量為m時鏜刀的期望退化速率。當鏜刀的累積退化量超過預先設定的故障閾值Dc;f=10時，則認定其故障。由于鏜刀故障就會立即停機，因此故障是自顯的。

基于本文的系統(tǒng)，我們考慮定期檢測和預防更換策略。假設檢測間隔為τ=0.5天。每次檢測的成本為Ci=10元，檢測時間忽略不計。在每次檢測中，如果故障的阻尼器個數(shù)不少于Na;p=2，則所有故障的阻尼器將被更換。更換一個阻尼器花費的時間服從參數(shù)為Ua=10/天的指數(shù)分布。每個阻尼器的更換成本為Ca=50元。如果檢測發(fā)現(xiàn)鏜刀的累積退化量超過預防更換閾值Dc;p=8，即使鏜刀仍正常工作，我們也對其進行預防更換，成本為Cc;p=1500元。此外，若鏜刀在兩次檢測之間故障，將以成本為Cc;p=3000元被事后更換。每次預防更換和事后更換花費的時間是分別服從參數(shù)為uc;p=4/天和uc;f=1/天的指數(shù)分布。整個系統(tǒng)在維修期間停機不運行，單位停機成本為cd=50元/天。

系統(tǒng)的狀態(tài)變化在本文中用半再生過程建模。系統(tǒng)的長期運行平均成本通過第2節(jié)中的方法求得，為Cavg=251.46元。很顯然，當給定的參數(shù)變化時，系統(tǒng)的長期運行平均成本也會相應改變。圖2給出了Cavg隨不同Dc;p，Nc;p，τ而變化的三維圖。第一張圖展現(xiàn)了Cavg隨τ和Dc;p的變化規(guī)律，可以看出，當Dc;p或τ固定時，Cavg都隨另一個變量的增大呈先下降后上升的趨勢；第二張圖體現(xiàn)了Cavg隨τ和Na;p的變化規(guī)律；第三張圖呈現(xiàn)的是Cavg隨Dc;p和Na;p的變化情況。

圖2 Cavg隨Dc,p，Na,p，τ中兩個參數(shù)變化的三維圖

將Dc,p，Na,p和τ作為決策變量，優(yōu)化問題可以建立為以長期運行平均成本最小化為目標優(yōu)化預防維修閾值和檢測周期，即

(19)

為了體現(xiàn)主要部件與輔助部件之間的相依關系的影響，下面我們將不考慮相依性得到的成本與考慮這種相依性的結果做對比。若不考慮主輔部件之間的相依關系，則主要部件退化率α為一固定的數(shù)值，我們分別取α為1，1.5和2，同時保持其他參數(shù)與上述參數(shù)相同，畫出系統(tǒng)長期運行單位成本隨輔助部件預防維修閾值Na;p變化的三條曲線并與考慮相依情形下的系統(tǒng)長期運行單位成本變化曲線作比較。從圖3可以看出輔助部件與主要部件不相依時，主要部件的退化率越高，長期運行單位成本也越高并且系統(tǒng)長期運行單位成本隨著Na;p的增加而下降。而在輔助部件與主要部件相依情況下，這種趨勢則完全相反。產(chǎn)生這種不同結果的原因是，在部件不相依的情況下，即使設定的輔助部件預防更換閾值很小，也不會減緩主要部件的退化，反而使得輔助部件預防更換更加頻繁，產(chǎn)生較高的輔助部件更換成本和停機成本。而在部件相依的情況下，當輔助部件預防更換閾值設置較高時，主要部件以高退化率退化的時間占比也越高，主要部件更容易達到預防更換閾值以及故障閾值，從而產(chǎn)生較高的主要部件維修成本，故Cavg隨Na;p的增大而增大。

圖3 不同主要部件退化率下取不同值時的變化

4 結論

本文研究了一個自保護系統(tǒng)，系統(tǒng)包含的多個輔助部件能夠在環(huán)境沖擊到來時，通過犧牲自己來保護主要部件不受環(huán)境沖擊的影響，避免主要部件突發(fā)故障。此外，本文充分考慮兩類部件之間的相依關系，即當輔助部件故障時，主要部件的退化率不斷提高。對于這樣的多部件系統(tǒng)，我們提出了一個計算系統(tǒng)長期運行平均成本的半再生過程方法和基于檢測的預防維修策略(Dc;p,Na;p,τ)。我們從研究中得到出了以下結論：(1)半再生過程技術對處理狀態(tài)變化復雜的過程有良好的效果。(2)主要部件與輔助部件之間的相依關系會對系統(tǒng)運行及成本產(chǎn)生較大影響。本文通過研究具有輔助部件的系統(tǒng)，擴展了自保護系統(tǒng)的內(nèi)涵，補充了部件相依性的研究，所提的預防維修策略對實際工程中的維修決策具有一定的指導意義。