繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人繩索張力優(yōu)化

李建， 陳羿宗， 王生海， 韓廣冬， 羅偉榮， 孫玉清

(大連海事大學輪機工程學院， 大連 116026)

城鎮(zhèn)建筑的玻璃外幕墻由于長期暴露在空氣中，表面會積累許多污染物，這就需要頻繁地實施清洗作業(yè)[1]。傳統(tǒng)的清洗作業(yè)方式主要為人工清洗，工作人員勞動強度大，并且高層作業(yè)危險系數(shù)高。除此以外，還包括爬壁機器人及軌道清洗機器人兩種作業(yè)方式。爬壁機器人[2-3]在作業(yè)過程中可能會受到障礙物阻礙，降低作業(yè)效率，且越障能力有待考驗。后者需要在建筑物上預裝軌道，導致清洗作業(yè)成本高。兩種作業(yè)方式都未能得到普及應(yīng)用，亟需一種應(yīng)用至高樓清洗作業(yè)的機器人替代人工完成作業(yè)。

繩驅(qū)動并聯(lián)機器人是一種新型機器人，其采用柔性繩索代替剛性桿件以實現(xiàn)末端動平臺位姿控制[4]，具備成本低、結(jié)構(gòu)簡單及運動范圍大等優(yōu)點，在工業(yè)、海洋以及醫(yī)療等領(lǐng)域[5-8]有廣泛的應(yīng)用。在上述成功應(yīng)用的啟發(fā)下，現(xiàn)通過在繩驅(qū)動并聯(lián)機器人末端動平臺上安裝水槍等清洗裝置，將繩驅(qū)動并聯(lián)機器人相關(guān)技術(shù)應(yīng)用至外墻清洗領(lǐng)域。

為實現(xiàn)清洗作業(yè)，需確定繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的構(gòu)型。末端動平臺只需在作業(yè)平面內(nèi)實現(xiàn)平動及轉(zhuǎn)動即可實現(xiàn)大范圍、無死角作業(yè)。為使整體結(jié)構(gòu)簡單，采用三自由度四繩驅(qū)動并聯(lián)機器人實現(xiàn)清洗作業(yè)。用m表示繩索數(shù)量，n表示末端動平臺運動自由度數(shù)，繩驅(qū)動并聯(lián)機器人可根據(jù)m與n之間的關(guān)系可分為三類：欠約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人(m≤n)；完全約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人(m=n+1)；過約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人(m>n+1)。采取的三自由度四繩驅(qū)動并聯(lián)機器人為完全約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人，可實現(xiàn)末端動平臺的完全控制，驅(qū)動力只有1個冗余度，可保證實時求解優(yōu)化后的繩索張力[9]。

針對繩驅(qū)動并聯(lián)機器人繩索張力優(yōu)化算法，國內(nèi)外相關(guān)研究人員也已經(jīng)開展了廣泛的研究。Pott[10]提出基于繩索張力封閉解的張力優(yōu)化算法，該算法實時性能良好，但應(yīng)用的物理意義不夠明確。劉嘉韌[11]提出采用力優(yōu)化迭代算法求解繩索張力，該算法可在一定程度上改善系統(tǒng)剛度，但是迭代次數(shù)過多會影響系統(tǒng)性能。張卓等[12]提出采用相關(guān)力最小一范數(shù)作為優(yōu)化目標求解繩索張力，但優(yōu)化后的張力連續(xù)性較差。何俊波[13]使用最小p范數(shù)法作為優(yōu)化目標求解繩索張力，但當p過大時，張力求解算法無法正常使用。Chen等[14]針對繩驅(qū)動并聯(lián)除銹機器人進行深入研究，提出以相關(guān)力的最小方差法作為優(yōu)化目標求解繩索張力,優(yōu)化后的張力連續(xù)性好，但實時性欠佳且系統(tǒng)剛度固定不可改善。由以上分析可知，傳統(tǒng)的最小方差法雖然能夠解決繩索張力優(yōu)化問題，但是優(yōu)化后的繩索張力最值偏小。張力最小值偏小導致系統(tǒng)剛度較差，張力最大值偏小導致系統(tǒng)抗擾性能差。針對復雜的清洗作業(yè)環(huán)境，應(yīng)在索張力范圍內(nèi)盡可能提高張力均值。在此基礎(chǔ)上，提出采用相關(guān)力改進的最小方差法作為優(yōu)化目標求解索張力，解決優(yōu)化后系統(tǒng)剛度較差及索張力不連續(xù)、不唯一的問題。

現(xiàn)以繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人為研究對象，該繩驅(qū)動并聯(lián)機器人為完全約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人。首先，建立考慮繩索彈性的系統(tǒng)動力學模型。在此基礎(chǔ)上，將相關(guān)力改進的最小方差作為優(yōu)化目標對繩索張力進行優(yōu)化。采用多項式極值法求解最優(yōu)繩索張力，并將優(yōu)化后的繩索張力作為虛擬樣機輸入。最后，通過聯(lián)合仿真驗證理論分析的正確性。

1 清洗機器人工作原理及機械結(jié)構(gòu)設(shè)計

繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人機械結(jié)構(gòu)是動力學建模的基礎(chǔ)，結(jié)構(gòu)的合理性直接決定樣機能否正常工作。如圖1所示為清洗機器人結(jié)構(gòu)圖，四個驅(qū)動電機布置在底板上方，通過驅(qū)動電機驅(qū)動繩索收放以實現(xiàn)末端動平臺按照預定軌跡運動，在末端動平臺上安裝高壓水槍清洗工具便可實現(xiàn)清洗工作。為防止四根繩索收放時相互摩擦，采用底板上下側(cè)分開走繩的結(jié)構(gòu)形式。為防止繩索收放時發(fā)生跳繩現(xiàn)象，在四個滑輪出繩端使用壓繩滑輪組。

圖1 清洗機器人結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural diagram of cleaning robot

2 動力學建模

動力學模型是進行軌跡跟蹤控制的基礎(chǔ)，動力學模型的準確性直接影響著清洗機器人的軌跡跟蹤精度。

2.1 末端動平臺的動力學模型

如圖2所示為繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人動力學建模分析簡圖，通過電機驅(qū)動絞盤旋轉(zhuǎn)，從而收放繩索，使末端動平臺按照預設(shè)軌跡運動。建立大地坐標系O-XYZ及局部坐標系P-xyz，局部坐標系原點與末端動平臺質(zhì)心重合。第i(i=1,2,3,4)根繩索與壓繩滑輪組端連接點為Bi，Pi為末端動平臺的連索點。

在動力學建模前，先對繩索做如下假設(shè)。

(1)由于繩長跨度較短，且所選用的繩索直徑較細，故繩索自重在建模時不作考慮。

(2)繩索為理想的柔性體，不能抗彎及受壓。

m為末端動平臺質(zhì)量；g為重力加速度；Ti為第i根繩索的張力；Fr與Mr分別表示末端動平臺受到的廣義外力及廣義外力矩， 特別包括清洗機器人在清洗作業(yè)時受到的反作用力及反作用力矩圖2 繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人動力學分析簡圖Fig.2 Schematic diagram of dynamic analysis of cable-driven parallel cleaning robot

首先，基于Newton-Euler法，得末端動平臺的動力學方程為

(1)

將式(1)進一步寫成矩陣形式得

(2)

2.2 驅(qū)動裝置的動力學模型

基于Newton-Euler法，進一步得到驅(qū)動裝置動力學模型為：

(3)

式(3)中：Jm∈R4×4，為電機轉(zhuǎn)動慣量矩陣；Vm∈R4×4，為電機黏性阻尼系數(shù)矩陣；θ=r-1[l1(t)-l1(t-1)l2(t)-l2(t-1)l3(t)-l3(t-1)l4(t)-l4(t-1)]為絞盤轉(zhuǎn)動角度，li(t)-li(t-1)為第i根繩t與t-1時刻繩長差；r∈R1×4為絞盤卷筒半徑；τ=[τ1τ2τ3τ4]T為電機轉(zhuǎn)矩矩陣。

進一步，聯(lián)立式(2)與式(3)得到清洗機器人動力學模型為：

(4)

M(x)e=M(x)+J(r-1)Jm(r-1)JT

J(r-1)Vm(r-1)JT

(5)

2.3 考慮繩索彈性的動力學模型

基于Lagrange法，建立考慮繩索彈性的動力學模型，系統(tǒng)的拉格朗日方程為

EL=Ek-Ep

(6)

系統(tǒng)的總動能為

(7)

系統(tǒng)的總勢能為

(8)

式中：ΔL=[ΔL1ΔL2ΔL3ΔL4]T為繩長形變量矩陣，第i根繩長形變量為ΔLi=Lbi-Lai，Lbi為形變后繩長，Lai為形變前繩長矢量；K=diag(k1k2k3k4)為繩索彈性系數(shù)矩陣；yd為末端動平臺質(zhì)心相對于大地坐標系的y方向坐標。

進一步，機械系統(tǒng)的運動方程為

(9)

進一步聯(lián)立式(6)與式(9)，化簡總結(jié)得到考慮繩索彈性的系統(tǒng)動力學方程為

(10)

由式(10)可知，繩索形變量與彈性系數(shù)有關(guān)，需對繩索形變量予以補償。以上所建立的繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人動力學模型，為繩張力優(yōu)化算法驗證提供理論基礎(chǔ)。

3 繩索張力優(yōu)化算法

如前所述，繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人為完全約束機器人，其驅(qū)動冗余性導致求解的繩索張力不唯一。但在實際的繩驅(qū)動并聯(lián)機器人控制中，可確定一組最優(yōu)的可行解作為繩索張力。在動力學模型的基礎(chǔ)上，通過對繩索張力優(yōu)化算法進行深入研究，確定繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人繩索張力最優(yōu)解。

3.1 繩索張力求解

在繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人進行清洗作業(yè)時，驅(qū)動電機的功率及繩索強度有限，且繩索為柔性幾何體，為避免繩索在實際作業(yè)中出現(xiàn)虛牽的現(xiàn)象，需要對繩索張力進行約束，繩索張力的線性約束范圍為

Tmin≤T≤Tmax

(11)

冗余驅(qū)動使得無法正常求解繩索張力。首先，將繩索張力分解為

T=TS+TH

(12)

式(12)中：TS∈R4×1為繩索張力特解項；TH∈R4×1為繩索張力通解項。

在此基礎(chǔ)上，對結(jié)構(gòu)矩陣J進行奇異值分解，引入結(jié)構(gòu)矩陣的廣義逆J+=JT(JJT)-1，分別得到張力特解項與張力通解項為

(13)

TH=N(J)λ

(14)

式中：N(J)為結(jié)構(gòu)矩陣的一維零空間基底，第i個元素N(J)i=(-1)i+1det [1 …Ji-1Ji+1…J4]；λ∈R1為任意標量。

將式(13)與式(14)聯(lián)立，并代入到式(11)中，可得

(15)

3.2 繩索張力優(yōu)化模型

式(15)對λ的取值范圍做出約束，可通過調(diào)整λ的取值來改變繩索張力通解。繩索張力優(yōu)化的問題就轉(zhuǎn)變?yōu)閷Ζ说膯文繕藘?yōu)化問題，建立優(yōu)化模型為

(16)

式(16)中：F(λ)為待優(yōu)化的目標函數(shù)。繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人為完全約束機器人，優(yōu)化的目標及約束條件均為凸函數(shù)，優(yōu)化后的λ可行域也為凸集。基于凸優(yōu)化理論，繩索張力優(yōu)化問題存在唯一最優(yōu)解。進一步針對F(λ)，采用多項式極值求解方法，便可以確定繩索張力最優(yōu)解[15]。

對傳統(tǒng)最小方差法加以改進，引入張力極值平均項，可使4根繩索張力在張力極值的平均值附近變化，使得張力分布更為均勻連續(xù)。待優(yōu)化的目標函數(shù)F(λ)可表示為

(17)

(18)

對于完全約束機器人，式(17)可進一步總結(jié)為關(guān)于λ的二次多項式(a、b、c為系數(shù))，即

F(λ)=aλ2+bλ+c

(19)

最優(yōu)解λ*求得后，將其代入式(14)中，便可求得繩索張力通解，進而求得優(yōu)化后的繩索張力值。

4 實例計算與分析

通過MATLAB-Simulink建立繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人動力學模型以及繩索張力優(yōu)化模型，使用Adams建立虛擬樣機模型。將繩索張力優(yōu)化結(jié)果作為虛擬樣機模型的張力值輸入，末端動平臺質(zhì)心坐標點作為輸出，進行Simulink-Adams聯(lián)合仿真。

4.1 建立仿真模型及仿真參數(shù)整定

在不影響仿真精度的前提下，使用Adams對繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人模型進行簡化，并進一步使用Adams-cable模塊建立仿真模型。壓繩滑輪組出繩點在大地坐標系的坐標分別為oB1=(-0.85，1，0) m，oB2=(0.85，1，0) m，oB3=(0.85，-1，0) m，oB4=(-0.85，-1，0) m。末端動平臺連索點在局部坐標系下的坐標為pP1=(-0.05，0.05，0) m，pP2=(0.05，0.05，0) m，pP3=(0.05，0.05，0) m，pP4=(-0.05，-0.05，0) m。末端動平臺質(zhì)量為2.5 kg，慣性張量Ixx=0.062 6 kg·m2，Iyy=0.031 3 kg·m2，Izz=0.031 3 kg·m2，由于慣性主軸與局部坐標系重合，故其他慣性張量為零。

繩索直徑為2 mm，繩索彈性模量k=1.0×105N/mm2，其余參數(shù)默認。建立Simulink-Adams聯(lián)合仿真模型如圖3所示，由軌跡輸入、動力學建模、張力優(yōu)化算法以及Adams虛擬樣機四部分組成。右上角為Adams虛擬樣機模型，四個端點為球狀啞物體，用于繩索張力的輸入。創(chuàng)建Adams輸入輸出狀態(tài)變量，輸入狀態(tài)變量為繩索張力，輸出狀態(tài)變量為動平臺質(zhì)心坐標。將系統(tǒng)模型導出為S函數(shù)模塊，建立聯(lián)合仿真模型。

圖3 Simulink-Adams聯(lián)合仿真模型Fig.3 Simulink-Adams co-simulation model

4.2 張力優(yōu)化算法聯(lián)合仿真驗證

繩驅(qū)動并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如前所述，在此基礎(chǔ)上，進行聯(lián)合仿真驗證。繩索最大張力值Tmax=800 N，繩索最小預緊力Tmin=10 N。末端動平臺運動軌跡如下：

(20)

式(20)中：該軌跡為圓形軌跡，軌跡半徑為R=0.4 m，為運動軌跡半徑；ω=2π/T，為動平臺運動角速度；T=12 s，為動平臺運動周期。仿真步長設(shè)定為變步長，仿真時間為12 s，進行仿真驗證。

當λ*始終為零值時，繩索張力的特解項就是繩索張力。由圖4(a)可得，繩張力特解項變化曲線不光滑，且其值有負值出現(xiàn)，與實際經(jīng)驗不符，故需通過通解項優(yōu)化繩索張力。圖4(b)～圖4(d)為優(yōu)化后的繩索張力，由圖可得，優(yōu)化后的4根繩索張力曲線連續(xù)光滑變化。初始時刻，由于動平臺重力作用，使得繩索1、2張力大于繩索3、4張力。下一時刻，動平臺向左上方運動，使得繩索2、3張力逐漸減小，繩索1、4張力緩慢增大。在6 s時，動平臺過左極點，繩索2、3張力又緩慢增大，以實現(xiàn)動平臺沿圓形軌跡向右移動。同時可以發(fā)現(xiàn)剛度改善系數(shù)愈大，繩索張力均值愈大，系統(tǒng)剛度得到改善，但同時繩索張力的極大值變大，極大值過大會引發(fā)繩索疲勞斷裂。綜合系統(tǒng)剛度及繩索強度，在下面的仿真分析中，選定剛度改善系數(shù)為0.2。

圖4 圓形軌跡索力優(yōu)化前后對比圖Fig.4 Comparison of before and after cable force optimization of circular trajectory

圖5(a)為λ*值的變化趨勢，其在上下限內(nèi)連續(xù)變化。圖5(b)為繩張力通解項變化圖，變化趨勢基本與優(yōu)化后的繩張力相同，說明繩索張力上限遠大于特解項的情況下，優(yōu)化后的繩索張力主要由通解項決定。

圖5 繩索張力優(yōu)化部分值變化圖Fig.5 Partial value change of cable tension optimization

如圖6所示軌跡對照圖，在張力優(yōu)化驗證仿真模型為開環(huán)系統(tǒng)的情況下，輸入優(yōu)化后的繩索張力值至虛擬樣機，末端動平臺的運動軌跡與期望軌跡基本一致。

圖6 圓形軌跡對比圖Fig.6 Comparison of circular trajectory

圓形軌跡誤差值如表1所示。由于系統(tǒng)為開環(huán)，且繩索具有彈性及慣性，誤差逐漸累積導致最大誤差較大，但終點誤差較小，角度誤差近乎為零。其中X方向最大位移誤差為0.064 m，Y方向由于重力存在導致末端動平臺運動慣性較大，最大誤差為0.078 m，最大誤差均值為0.071 m。針對軌跡的終點誤差，X方向為0.9×10-3m，Y方向為9.4×10-3m，終點誤差均值為5.15 mm。

表1 圓形軌跡誤差值Table 1 Circular trajectory error value

將末端動平臺運動軌跡設(shè)定為直線，進行聯(lián)合仿真驗證。軌跡為

(21)

式(21)中：ω=2π/T，T=12 s，為動平臺運動周期。仿真步長設(shè)定為變步長，仿真時間為12 s，剛度改善系數(shù)為0.2，其余參數(shù)同前，進行仿真驗證。

如圖7所示為繩索張力不含優(yōu)化項及優(yōu)化后的對比圖，由于軌跡為通過平面幾何中心且向右加速移動的直線，因此前期1、2繩張力較大克服重力作用，后期2、3繩張力大于1、4繩張力以實現(xiàn)加速運動。

圖8所示為直線軌跡對比圖，可知，在繩索彈性及動平臺重力及繩索彈性的影響下，動平臺質(zhì)心在y方向振動的同時向x軸正方向移動。

直線誤差軌跡如表2所示，最大誤差均值為9.25 mm，終點誤差均值為3.5 mm，質(zhì)心角度誤差近乎為零。在系統(tǒng)為開環(huán)的情況下，總體誤差較小。

圖7 直線軌跡索力優(yōu)化前后對比Fig.7 Comparison of before and after cable force optimization of linear trajectory

圖8 直線軌跡對比Fig.8 Comparison of linear trajectory

表2 直線軌跡誤差值Table 2 Linear trajectory error value

5 結(jié)論

本文推導了考慮繩索彈性的繩驅(qū)動并聯(lián)機器人動力學方程，在此基礎(chǔ)上提出將相關(guān)力改進的最小方差作為優(yōu)化目標的繩張力優(yōu)化算法，解決優(yōu)化后系統(tǒng)剛度較差及繩張力不連續(xù)、不唯一的問題。并將該算法應(yīng)用至繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人進行聯(lián)合仿真，得到以下結(jié)論。

(1)將張力優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于λ的單目標優(yōu)化問題，根據(jù)凸優(yōu)化理論及多項式極值求解方法得到繩索張力值的最優(yōu)解。

(2)對于完全約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人，在繩索張力上限遠大于特解項的情況下，優(yōu)化后的繩索張力主要由通解項決定。

(3)系統(tǒng)引入剛度改善系數(shù)，剛度改善系數(shù)愈大，繩索張力均值愈大，系統(tǒng)剛度得到改善，但同時繩索張力的極大值變大，極大值過大會降低繩索強度?？赏ㄟ^選取不同的剛度改善系數(shù)值，改變系統(tǒng)剛度。

(4)基于改進的最小方差法優(yōu)化后的繩索張力，均勻分布在預設(shè)張力極值的均值附近?？赏ㄟ^調(diào)整張力極值，進而改變張力優(yōu)化范圍。

(5)建立將相關(guān)力改進的最小方差作為優(yōu)化目標的繩張力優(yōu)化模型并進行仿真，仿真結(jié)果表明，采用改進的最小方差法優(yōu)化繩索張力，優(yōu)化后的繩索張力光滑連續(xù)變化。圓形軌跡最大誤差均值為0.071 m直線軌跡最大誤差均值為9.25 mm。在系統(tǒng)為開環(huán)的情況下，軌跡誤差較小，表明張力優(yōu)化效果良好，可為繩驅(qū)動并聯(lián)機器人完成實際的清洗作業(yè)提供理論基礎(chǔ)。

值得注意的是，本文所建立的動力學模型及繩張力優(yōu)化算法不止適用于繩驅(qū)動并聯(lián)清洗機器人，普遍適用于完全約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人，是一種具備通用性的建模方法。在此理論研究的基礎(chǔ)上，可對完全約束繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的控制策略進行深入研究，并通過實驗進一步驗證理論研究的正確性。