熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值分析方法概述

馮曉燕，賀 熙，游小龍，周林凱，單保平

（新余學(xué)院建筑工程學(xué)院，江西 新余 338004）

熱傳導(dǎo)具體表現(xiàn)為能量從物質(zhì)中的溫度高的一邊轉(zhuǎn)移到溫度低的一邊，從溫度高的物質(zhì)轉(zhuǎn)向溫度低的物質(zhì)，這一現(xiàn)象的產(chǎn)生是因?yàn)榇罅糠肿又g的相互撞擊引起的。目前熱傳導(dǎo)問(wèn)題是科技研究領(lǐng)域中的熱點(diǎn)話(huà)題，常用的數(shù)值方法包括有限元法、比例邊界有限元法、有限差分法、擴(kuò)展有限元法、有限體積法及無(wú)網(wǎng)格法等。

1 有限元法

當(dāng)分析工程問(wèn)題時(shí)經(jīng)常需要對(duì)各種微分方程描述的物理場(chǎng)進(jìn)行求解，但由于許多微分方程都很難得到其解析解，這時(shí)可以將微分方程的問(wèn)題區(qū)域進(jìn)行離散化，即把復(fù)雜的問(wèn)題區(qū)域分割為比較容易分析的有限元來(lái)表示，有限元之間通過(guò)節(jié)點(diǎn)相互連接，然后使用變分法或加權(quán)余數(shù)法，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程組進(jìn)行計(jì)算，整個(gè)問(wèn)題區(qū)域的求解由對(duì)所有子區(qū)域進(jìn)行獨(dú)立的運(yùn)算結(jié)果組成。最終的結(jié)果并不是一個(gè)準(zhǔn)確值，而是一個(gè)求極限之后的近似值。在實(shí)際問(wèn)題中很難得到精準(zhǔn)值的情況下，采用有限元法的可以得到一個(gè)精度較高的近似值，而且它能適用于各種復(fù)雜形狀，是一種較為成熟的工程分析手段?，F(xiàn)如今互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)發(fā)展迅速，涌現(xiàn)出了許多應(yīng)用有限元法軟件，常見(jiàn)的有限元軟件有ANSYS、MSC、ABAQUS等公司的產(chǎn)品。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元軟件與CAD軟件被結(jié)合使用，可以在CAD軟件上直接完成零部件的繪制后，軟件直接運(yùn)用有限元法原理進(jìn)行計(jì)算，如果不符合要求工程師可以直接在CAD軟件上對(duì)零部件進(jìn)行修改，從而可輕松快捷地完成以前難以應(yīng)對(duì)的復(fù)雜工程分析問(wèn)題。有限元法在實(shí)踐中的應(yīng)用十分普遍，例如在工程結(jié)構(gòu)、傳熱、流體力學(xué)、電磁力學(xué)等領(lǐng)域中，有限元分析越來(lái)越多地被運(yùn)用于工程問(wèn)題的仿真模擬，來(lái)求解真實(shí)的工程問(wèn)題。熱傳導(dǎo)是一種在自然界常見(jiàn)的現(xiàn)象，如果存在溫度差，熱量就會(huì)由高溫的向低溫物體傳輸，就會(huì)存在熱量的增加和減少，從而引起溫度的變化。在分析熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用拉普拉斯方程描述穩(wěn)定溫度場(chǎng)的求解是工程中常遇到的問(wèn)題，但很難求出其解析解，這時(shí)可以運(yùn)用有限元法求解偏微分方程求得一個(gè)較為精準(zhǔn)的近似解，首先利用變分原理將偏微分方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)的泛函，假設(shè)單元上的場(chǎng)變量變化形式及插值函數(shù)或嘗試函數(shù)，尋找嘗試函數(shù)的系數(shù)-節(jié)點(diǎn)場(chǎng)變量，以使泛函取極值，從而得到有限元的計(jì)算格式計(jì)算出穩(wěn)定溫度場(chǎng)。魯治誠(chéng)、李錄賢在復(fù)合材料熱傳導(dǎo)問(wèn)題中提出了多尺度有限元法的應(yīng)用，對(duì)于傳熱屬性突變的復(fù)合材料，主要關(guān)心復(fù)合材料宏觀尺度，忽略細(xì)觀尺度的求解精度時(shí)，取得單元形狀函數(shù)滿(mǎn)足問(wèn)題的微分控制方程，將材料的傳熱突變特性反映在形狀函數(shù)上，可在較小的求解規(guī)模上，取得較高的求解精度。這種采用多尺度有限元法既提高了計(jì)算精度，又節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。

2 比例邊界有限元法

比例邊界有限元法是新研究發(fā)展趨勢(shì)下的必然產(chǎn)物。該方法在求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題上，擺脫了陳舊的解析方式，結(jié)合多元解法的優(yōu)點(diǎn)，達(dá)到高效精準(zhǔn)的目的。比例邊界有限元法只需要在求解區(qū)域的邊界使用有限元網(wǎng)格進(jìn)行離散，無(wú)需基本解，便可以精確、快速求解熱傳導(dǎo)問(wèn)題。該方法最早應(yīng)用在固體力學(xué)領(lǐng)域，并且集合了有限元法和邊界元法的特點(diǎn)于一身。在使用比例邊界有限元法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，該法通過(guò)在計(jì)算域引入相似中心，建立含有徑向和環(huán)向的比例邊界坐標(biāo)系，再經(jīng)過(guò)相似變換，物理變量轉(zhuǎn)變成域邊界點(diǎn)和相似中心相連的徑向坐標(biāo)，偏微分控制方程轉(zhuǎn)變?yōu)橐浑A常微分方程。其在單元離散時(shí)同邊界元法一樣，無(wú)須在整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)部劃分單元，只需要在計(jì)算區(qū)域的邊界環(huán)向坐標(biāo)方向上進(jìn)行離散， 從而降低了一維的空間維度，不需要設(shè)立相應(yīng)的基本解，使得計(jì)算量明顯減少，而且比例邊界有限元法的計(jì)算效率和模擬精度都非常高，這是由于其在輻射坐標(biāo)上的解析性。該方法還有自動(dòng)滿(mǎn)足邊界條件達(dá)到無(wú)限遠(yuǎn)的一大優(yōu)勢(shì)。比例邊界有限元方法最初是為了求解無(wú)限域問(wèn)題而提出的，但隨著其理論發(fā)展越來(lái)越完善，它的應(yīng)用范圍也變得越來(lái)越廣，在各個(gè)方面都取得了不錯(cuò)的成就。在彈性力學(xué)研究方向上，胡志強(qiáng)、林皋、王毅等基于Hamilton體系的彈性力學(xué)問(wèn)題的比例邊界有限元方法研究?jī)?nèi)容中，運(yùn)用比例邊界有限元的離散方法，結(jié)合彈性力學(xué)的Hamilton對(duì)偶體系，獲得狀態(tài)空間的控制方程，并由此得到彈性靜力學(xué)的比例邊界有限元的控制方程，導(dǎo)出靜力邊界剛度矩陣并求解。在靜電場(chǎng)問(wèn)題上，劉俊、林皋、王復(fù)明等學(xué)者在基于靜電場(chǎng)分析的比例邊界有限元法內(nèi)容中，由于該方法輻射坐標(biāo)上具有解析性，故運(yùn)用這種方法不僅有較高的模擬精度，并且無(wú)限遠(yuǎn)的邊界條件可以自動(dòng)滿(mǎn)足。通過(guò)以描述靜電場(chǎng)特性的控制方程，也就是拉普拉斯方程為起點(diǎn)，首先建立起笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)和比例邊界有限元坐標(biāo)系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，再通過(guò)加權(quán)余量法推導(dǎo)出靜電場(chǎng)分析的比例邊界有限元方程，引入特征值問(wèn)題對(duì)該方程進(jìn)行求解得到電位計(jì)算公式以及電場(chǎng)計(jì)算公式。最后通過(guò)具體的算例對(duì)該數(shù)值方法與其他數(shù)值方法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)該方法的精度和計(jì)算效率都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其他方法。

3 有限差分法

在眾多的熱傳導(dǎo)問(wèn)題數(shù)值分析的方法中，有限差分法是很經(jīng)典、發(fā)展很成熟的方法之一，也是解決此類(lèi)問(wèn)題的有效工具之一，直到現(xiàn)在仍然有廣泛的應(yīng)用。有限差分法的原理是用差商去近似的代替微商，也就是用一個(gè)具體的函數(shù)值近似的去替換微分方程中的導(dǎo)數(shù)。其本質(zhì)上是將微分問(wèn)題直接轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題的近似數(shù)值。在數(shù)值分析時(shí)，把要分析的問(wèn)題的解域劃分為差分網(wǎng)格，此網(wǎng)格則是由有限數(shù)量的離散點(diǎn)來(lái)構(gòu)成，把連續(xù)的解域用有限數(shù)量的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)所代替，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)也就是構(gòu)成網(wǎng)格的那些有限數(shù)量的離散點(diǎn)，通過(guò)一系列數(shù)學(xué)方法，用網(wǎng)格上的離散變量函數(shù)近似地替換掉連續(xù)變量函數(shù)，用差商近似地替換掉原方程和條件中的微商，即把網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的具體函數(shù)值近似的替換掉控制方程中的導(dǎo)數(shù)，這樣就可以得到以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為未知量的代數(shù)方程或者方程組，稱(chēng)為有限差分方程組，用它來(lái)近似地代替原微分方程和定解條件。通過(guò)解有限差分方程組，可以得到原問(wèn)題在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的近似解，進(jìn)一步地可利用插值等方法求得定解問(wèn)題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。張建霞、邵創(chuàng)新、田坤等基于有限差分法對(duì)低溫防護(hù)服進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)與仿真，學(xué)者們根據(jù)熱傳導(dǎo)微分方程進(jìn)行了熱傳導(dǎo)建模后，發(fā)現(xiàn)該問(wèn)題設(shè)置的邊界條件較為繁復(fù)，使用解析方法分析較為困難，于是決定使用有限差分法來(lái)求解這個(gè)熱傳導(dǎo)方程，最終在Matlab平臺(tái)上進(jìn)行了計(jì)算與模擬驗(yàn)證，得到了數(shù)值結(jié)果。同樣的，在林文生關(guān)于相變熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值解及應(yīng)用中，因?yàn)樵搯?wèn)題難以得到解析解，所以選擇使用有限差分法來(lái)進(jìn)行數(shù)據(jù)模擬分析，最后證實(shí)了有限差分法在熱傳導(dǎo)問(wèn)題上的可行性?？偟膩?lái)說(shuō)，有限差分法在解決有關(guān)熱傳導(dǎo)的數(shù)據(jù)分析等問(wèn)題上運(yùn)用是可行的，是解決此類(lèi)問(wèn)題的得力工具。然而有限差分法也有其自身的局限性，在王秦、雷鈞、谷巖等的基于時(shí)空聯(lián)合廣義有限差分法求解三維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程中提到，傳統(tǒng)的有限差分法過(guò)于依賴(lài)網(wǎng)格的劃分，離散差分的過(guò)程步驟量大且復(fù)雜，從而導(dǎo)致編程和計(jì)算難度比較大。為此其采用了有限差分法延伸出的新方法，即廣義有限差分法，最后通過(guò)對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行模擬和分析，驗(yàn)證了此方法是可行而且準(zhǔn)確的。綜上，在熱傳導(dǎo)問(wèn)題數(shù)值分析中，有限差分法的表現(xiàn)是十分出色的，其優(yōu)點(diǎn)具體表現(xiàn)為原理簡(jiǎn)單，應(yīng)用成熟，且在各類(lèi)問(wèn)題上表現(xiàn)得很通用，甚至在無(wú)解析解等困難條件下仍然可以使用。其不足之處表現(xiàn)為依賴(lài)網(wǎng)格的建立和劃分，需要預(yù)估和評(píng)價(jià)誤差等。

4 有限體積法

目前，有限體積法是一種比較新的研究熱傳導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法，其特點(diǎn)是既具有有限分差法的靈活性，又具有較高的精度和較好的便捷性。有限體積法在傳熱計(jì)算中起著重要作用，據(jù)統(tǒng)計(jì)，全球每年發(fā)表的相關(guān)計(jì)算傳熱問(wèn)題的文章中約有60%使用有限體積法。有限體積法基于熱積分方程，可以使用儲(chǔ)能常數(shù)法和傅里葉定律直接從溫度場(chǎng)的任何有限區(qū)域分析中獲得。取溫度場(chǎng)中任何一個(gè)閉合面F，將周?chē)鷧^(qū)域記錄為V，并根據(jù)能量保存方法對(duì)該區(qū)域的熱平衡進(jìn)行分析，單位時(shí)間內(nèi)輸入和輸出區(qū)域之間的熱差與內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量必須等于該區(qū)域中物體內(nèi)部能量的增加。在有限體積法中，由于使用了單元中溫差的函數(shù)，結(jié)果為近似值。由于體積循環(huán)的控制方式不同，得到了不同的線(xiàn)性方程和分析結(jié)果，控制體積選擇的效率直接取決于有限體積法計(jì)算的準(zhǔn)確性。目前，控制矩形元素體積的最常用方法是圓形繪制方法。在有限元法中，溫度場(chǎng)是離散的，每個(gè)方程被分解成每個(gè)單元的貢獻(xiàn)，最終合成一系列線(xiàn)性方程，元素搜索法計(jì)算每個(gè)元素對(duì)單個(gè)方程的貢獻(xiàn)，并且有限體積法，即能量方程，可以圍繞每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行求解和創(chuàng)建。受有限元法的啟發(fā)，可以使用相同的單位搜索方法，首先執(zhí)行單位分析，計(jì)算每個(gè)元素對(duì)每個(gè)方程的貢獻(xiàn)，然后執(zhí)行積分綜合。為了得到節(jié)點(diǎn)溫度未知的線(xiàn)性方程，必須為每個(gè)單元建立一個(gè)單位插值函數(shù)，單元內(nèi)的溫度分布必須表示為節(jié)點(diǎn)的溫度，有限體積法與有限元法完全相同。對(duì)于矩形單元，單元中的溫度分布是任意四個(gè)節(jié)點(diǎn)的溫度的線(xiàn)性函數(shù)，熱流的密度是恒定的。有限體積具有很多優(yōu)點(diǎn)，但有限體積方法在某些情況下還存在一些計(jì)算誤差，所以對(duì)有限體積方法的理解有待提高和細(xì)化。

5 無(wú)網(wǎng)格法

無(wú)網(wǎng)格法是近幾十年分析工程問(wèn)題的重要數(shù)值分析方法，其在數(shù)值計(jì)算時(shí)不需要生成網(wǎng)格，只需尋找一些隨意分布的坐標(biāo)點(diǎn)，然后將這些坐標(biāo)點(diǎn)通過(guò)插值函數(shù)列出離散控制方程，從而可清晰地表達(dá)出各種復(fù)雜狀態(tài)的熱場(chǎng)。這種方法采用點(diǎn)的近似值，可以從根本上或一部分地消除網(wǎng)格，具有較強(qiáng)的適用性和靈活性。目前已經(jīng)提出了十幾種無(wú)網(wǎng)格法，如無(wú)單元伽遼金法、重構(gòu)核粒子法、無(wú)單元伽遼金比例邊界法等。但無(wú)網(wǎng)格法沒(méi)有近似的解析表達(dá)式，而且大部分都是以伽遼金原理為基礎(chǔ)，導(dǎo)致求解時(shí)計(jì)算量大、計(jì)算較為困難。最近新興的一種無(wú)網(wǎng)格方法—插值型無(wú)單元伽遼金比例邊界法是一種在改進(jìn)的插值型移動(dòng)最小二乘法框架下，結(jié)合了比例邊界法和無(wú)單元伽遼金法長(zhǎng)處的半解析數(shù)值方法。這種方法通過(guò)引入比例邊界坐標(biāo)系，只需在求解域的環(huán)向上進(jìn)行數(shù)值離散，在徑向上采用解析的方法進(jìn)行計(jì)算，處理工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)擁有可觀的精度與效率，且具有一定的靈活性。這主要?dú)w因于以下兩點(diǎn)：（1）引入改進(jìn)的插值型移動(dòng)最小二乘插值法，使得形成的形函數(shù)具有高階連續(xù)性，很大程度上提高了計(jì)算精度與收斂速度；（2）運(yùn)用矩陣函數(shù)與Schur分解并行的求解技術(shù)，避免出現(xiàn)平行特征向量問(wèn)題，保證了數(shù)值解的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。目前這種方法已被成功應(yīng)用于穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題分析中，并通過(guò)具體的數(shù)值算例驗(yàn)證了其高精度的特點(diǎn)。王峰、陳佳莉與陳燈紅等建立了以滑動(dòng)Kriging插值為基礎(chǔ)的無(wú)單元伽遼金比例邊界法，并采用這種方法準(zhǔn)確地分析了有限域及半無(wú)限域熱傳導(dǎo)問(wèn)題。王曉飛、李興國(guó)、任紅萍提出了求解瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的插值型復(fù)變量伽遼金法，為驗(yàn)證此方法在二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題中的有效性，對(duì)兩個(gè)瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的第一類(lèi)邊值問(wèn)題運(yùn)用CVEFG方法進(jìn)行求解。首先運(yùn)用插值型復(fù)變量伽遼金法推導(dǎo)二維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題的控制方程，然后對(duì)該控制方程進(jìn)行伽遼金積分弱離散化，經(jīng)過(guò)一系列的流程實(shí)施，最后通過(guò)數(shù)值算例，對(duì)二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題進(jìn)行求解，最終得出結(jié)論，對(duì)求解二維瞬態(tài)熱傳導(dǎo)的第一類(lèi)邊值問(wèn)題，運(yùn)用插值型復(fù)變量伽遼金法具有較好的擬合效果?？偟膩?lái)說(shuō)，在用無(wú)網(wǎng)格法在求解二維熱傳導(dǎo)問(wèn)題時(shí)，具有一定的優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)語(yǔ)

有限元法、比例邊界有限元法、有限差分法、有限體積法及無(wú)網(wǎng)格法等數(shù)值方法都存在自身的優(yōu)勢(shì)與不足，在未來(lái)研究發(fā)展方向上，有必要不斷改進(jìn)方法，完善解析路線(xiàn)減弱缺點(diǎn)帶來(lái)的不利影響甚至是消除缺點(diǎn)。其中插值型無(wú)單元伽遼金比例邊界法在解決穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題上相比其他方法具有一定的優(yōu)勢(shì)，說(shuō)明了該方法在熱傳導(dǎo)問(wèn)題分析上的可行性，故采用該方法進(jìn)一步處理瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題將具有一定的理論意義和實(shí)際價(jià)值。