整體徑向傳輸線諧振特性分析

周 全，鄒曉兵，王新新

(1. 清華大學(xué) 電機工程和應(yīng)用電子技術(shù)系，北京 100084；2. 國防科技大學(xué) 前沿交叉學(xué)科學(xué)院，長沙 410005)

1997年，Z箍縮研究取得了突破性進展[1]。據(jù)估計，當Z箍縮裝置的驅(qū)動電流達到60 MA時可望實現(xiàn)聚變點火[2]。然而，現(xiàn)階段世界上最大的Z箍縮驅(qū)動源為美國的Z Refurbishment(ZR)裝置，電流峰值僅為26 MA。近些年，各國紛紛提出了一系列新型Z箍縮裝置的概念設(shè)計，如美國圣地亞國家實驗室提出的Z-800裝置[3]及我國提出的CZ-30裝置[4]等。在這些設(shè)計中，通常采用整體徑向傳輸線(monolithic radial transmission line, MRTL)將許多脈沖發(fā)生器產(chǎn)生的脈沖匯聚并傳輸至負載。為實現(xiàn)阻抗匹配，MRTL一般為非均勻傳輸線，波阻抗沿傳輸方向單調(diào)變化。

以往對于MRTL的研究大多采用電路仿真模型，將其等效為足夠多段的均勻傳輸線的級聯(lián)[5-9]。電路仿真結(jié)果顯示MRTL具有高通特性，這一特性有利于縮短主脈沖上升沿。然而，電路仿真的基本假設(shè)是電磁波以準TEM模式傳播。Z箍縮裝置中使用的MRTL尺寸巨大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，準TEM假設(shè)需進行驗證。2008年，Welch等[10]對MRTL進行了2維電磁場模擬，發(fā)現(xiàn)2維電磁場仿真結(jié)果與電路仿真結(jié)果基本相同。2015年，毛重陽等[11]對MRTL進行了3維電磁場時域仿真，發(fā)現(xiàn)MRTL的最大功率傳輸效率比電路仿真結(jié)果低約15%，表明準TEM模假設(shè)對Z箍縮裝置中使用的MRTL并不成立。2019年，本文作者團隊[12]構(gòu)建了完整Z箍縮裝置的仿真模型，仿真結(jié)果表明，與MRTL電路模型相比，采用3維電磁場模型時，負載電流幅值更低且上升時間更長，該研究進一步說明準TEM假設(shè)對Z箍縮中的MRTL并不成立，研究MRTL時應(yīng)采用3維電磁場模型。

2020年，本文作者團隊[13]首次利用3維電磁場模型獲得了MRTL的頻域傳輸效率曲線，并發(fā)現(xiàn)了MRTL的諧振頻率現(xiàn)象，即由于非TEM模的存在，MRTL并不呈現(xiàn)以往電路仿真中得到的高通特性，反而非TEM模諧振將在高頻段造成一系列傳輸效率接近0的特殊頻率點。由于MRTL內(nèi)非TEM模不可忽略這一現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)時間較近，且MRTL結(jié)構(gòu)復(fù)雜、尺寸巨大，3維電磁場仿真分析難度大、耗時長，目前并未有其他學(xué)者利用3維電磁場模型對MRTL傳輸特性進行分析。

然而，上述研究只是提出了諧振頻率現(xiàn)象，并未深入研究MRTL諧振頻率的影響因素。研究諧振頻率的影響因素對MRTL的設(shè)計和使用具有重要的實踐指導(dǎo)意義，可使MRTL的工作頻率遠離這些諧振頻率點。根據(jù)電磁場模型，眾多因素都可能對諧振頻率存在影響，部分因素的影響可通過理論計算公式進行分析，而理論計算公式中未考慮的因素包括輸入結(jié)構(gòu)、線型和挖孔設(shè)計。因此，本文首先從諧振頻率的理論計算公式出發(fā)，分析公式所包含因素對諧振頻率大小的影響，接著分析上述剩余3個變化因素的影響。

1 理論計算公式中的影響因素

由于分析諧振頻率大小影響因素的意義在于指導(dǎo)MRTL的設(shè)計和使用，使MRTL的諧振頻率遠離其工作頻率范圍，因此本文重點關(guān)注第一個諧振頻率點的變化。第一個諧振頻率點為所有諧振頻率點中頻率最低的[13]，只要第一個諧振頻率點的頻率大于MRTL最大工作頻率，那么所有諧振頻率點都不處于MRTL的工作頻率范圍內(nèi)，諧振頻率現(xiàn)象就不會影響MRTL工作時的傳輸性能。對于Z箍縮，其電流脈沖上升時間在百納秒量級。圖1為MRTL輸入脈沖等效波形及對應(yīng)的頻譜。由圖1可見，輸入脈沖的頻域分量主要集中在0～10 MHz。因此，第一個諧振點的頻率需大于10 MHz。

(a) Waveform

(b) Spectrum

研究表明，MRTL諧振頻率可由磁壁模型計算[13]，表示為

(1)

式(1)中存在的變量有貝塞爾函數(shù)的階數(shù)m、外圈半徑ri、內(nèi)圈半徑ro、絕緣介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr和相對磁導(dǎo)率μr。由于MRTL內(nèi)圈一般與磁絕緣線相連，內(nèi)徑很小且可變范圍不大，因此本文不考慮內(nèi)圈半徑ro對諧振頻率大小的影響。常規(guī)絕緣介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率μr一般為1，因此也不考慮μr的影響。從前文的分析可知貝塞爾函數(shù)的階數(shù)m是輸入同軸線數(shù)N的整數(shù)倍，因此分析貝塞爾函數(shù)的階數(shù)對諧振頻率大小的影響，其實就是分析輸入同軸線數(shù)對諧振頻率大小的影響。綜上，對式(1)中出現(xiàn)的變量，本文僅討論輸入同軸線數(shù)N、外圈半徑ri和絕緣介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr對諧振頻率大小的影響，下面將對這些變量一一進行理論分析和電磁場模擬研究，仍使用Z-800裝置中的MRTL為仿真案例。

1.1 輸入同軸線數(shù)

對一個輸入同軸線數(shù)為N的MRTL，其諧振模式為TEm,n,0，其中，m為N的正整數(shù)倍，n為正整數(shù)。當N變化時，諧振模式也將變化，即式(1)第一個方程的解k將會變化。根據(jù)文獻中給出的磁壁模型的模式圖[14]，當n相同時，貝塞爾函數(shù)的階數(shù)m越大則k解越大。因此，對第一個諧振模式TEN,1,0，N越大則k越大，進而f越大，即諧振頻率大小和N成正相關(guān)。為驗證這一分析，建立不同N下MRTL的3維電磁場模型，除N外其余參數(shù)都不變，仿真得到前3個諧振頻率及對應(yīng)的諧振模式，如表1所列。由表1可知，隨著N的增大，雖然諧振模式不同，但第一個諧振頻率在變大。其余位于同一次序的諧振模式由于n值相同，因此諧振頻率也隨著N的增大而增大。為使諧振頻率規(guī)避Z箍縮電流所在的主頻范圍，輸入同軸線數(shù)應(yīng)大于22。

表1 改變MRTL輸入同軸線數(shù)后諧振頻率仿真值對比Tab.1 Comparison of the resonant frequencies after changing the number of MRTL inputs

1.2 外圈半徑

當外圈半徑ri變化時，MRTL內(nèi)的諧振模式并不改變，只是對應(yīng)的諧振頻率大小發(fā)生變化。對MRTL而言，ro/ri很小，因此，為簡化分析，認為當ri變化時，ro/ri近似不變。那么，對某一諧振模式，式(1)第一個方程的解k近似不變。由k的表達式可知，為保證k不變，當ri增加時f應(yīng)減少。因此，對任一確定的諧振模式，ri與對應(yīng)的諧振頻率呈負相關(guān)。為驗證這一分析，建立不同ri下MRTL的3維電磁場模型，除ri外其余參數(shù)都不變，仿真得到前3個諧振頻率及對應(yīng)的諧振模式，如表2所列。由表2可知，隨著ri的增大，同一個諧振模式對應(yīng)的諧振頻率在減少。對需重點關(guān)注的第一個諧振頻率，隨著ri的增加而減少。為使諧振頻率規(guī)避Z箍縮電流所在的主頻范圍，MRTL外圈半徑應(yīng)小于17.5 m。

表2 改變MRTL外圈半徑后諧振頻率仿真值對比Tab.2 Comparison of the resonant frequencies after changing the outer radius of MRTL

1.3 絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)

與外圈半徑變化時的分析類似，當絕緣介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr變化時，MRTL內(nèi)的諧振模式不變，且k解不變。由k的表達式可知，對任一確定的諧振模式，εr與對應(yīng)的諧振頻率呈負相關(guān)。為驗證這一分析，建立采用不同εr的絕緣介質(zhì)時MRTL的3維電磁場模型，除εr外其余參數(shù)都不變，仿真得到前3個諧振頻率以及對應(yīng)的諧振模式，如表3所列。

表3 改變絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)后諧振頻率仿真值對比Tab.3 Comparison of the resonant frequencies after changing the relative permittivity of insulating medium

由表3可知，隨著絕緣介質(zhì)εr的增加，同一個諧振模式對應(yīng)的諧振頻率在減少。需重點關(guān)注的是，第一個諧振頻率隨著絕緣介質(zhì)εr的增加而減少。為使諧振頻率規(guī)避Z箍縮電流所在的主頻范圍，絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)應(yīng)小于115。

上述因素對諧振頻率的影響也可通過諧振頻率形成的物理機制進行定性認識。對于第一個諧振頻率點，對應(yīng)的波長約等于MRTL外圓周上相鄰脈沖源間的角向距離[13]。因此，輸入同軸線數(shù)越大，相鄰脈沖源間的角向距離越小，對應(yīng)的第一個諧振頻率越大；外圈半徑越大則相鄰脈沖源間的角向距離越大，對應(yīng)的第一個諧振頻率越??；絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)增大時，雖相鄰脈沖源間的角向距離不變，但由于波速變慢，因此，對應(yīng)的第一個諧振頻率減少?？梢?，通過物理機制的分析，同樣可得到輸入同軸線數(shù)與諧振頻率大小成正相關(guān)，外圈半徑和絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)與諧振頻率大小成負相關(guān)。

從理論計算公式出發(fā)，分析了上述因素對諧振頻率的影響后，下面將討論輸入結(jié)構(gòu)、線型和挖孔設(shè)計等理論計算公式中未考慮的因素對諧振頻率的影響。

2 剩余影響因素

2.1 輸入結(jié)構(gòu)

根據(jù)式(1)得到的Z-800裝置諧振頻率理論值與3維電磁場模擬得到的仿真值的對比，如表4所列。

表4 Z-800裝置諧振頻率理論值與仿真值對比Tab.4 Comparison between theoretical value and simulation value of resonant frequencies of Z-800 facility

由表4可知，諧振頻率仿真值都小于理論值。這是由MRTL和輸入同軸線連接處的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)造成的。圖2為MRTL和輸入同軸線連接處的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)。與波長相比，同軸線內(nèi)導(dǎo)體相對外導(dǎo)體的額外長度較小，因此可忽略其影響，僅考慮同軸線內(nèi)外導(dǎo)體表面電場的影響。根據(jù)微波理論，同軸線內(nèi)外導(dǎo)體上垂直表面的電場可等效為一個并聯(lián)電容[14]，因此輸入端轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)的電磁場最終等效為一個并聯(lián)電容。在諧振頻率點，輸入端的電壓幅值最大，因此MRTL內(nèi)的諧振可視為并聯(lián)諧振。輸入端轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)等效的并聯(lián)電容相當于增加了這個諧振系統(tǒng)的電容，因而降低了諧振頻率。

圖2 MRTL和輸入同軸線連接處的轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)Fig.2 Input structure at the junction of MRTL and input coaxial line

為驗證這一猜測，本文將輸入同軸線外導(dǎo)體的厚度由Z-800裝置設(shè)計的0.6 m減少為0.05 m。在減少同軸線外導(dǎo)體厚度后，由外導(dǎo)體表面電場帶來的影響范圍縮小，輸入端轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)處等效的電容值減少，因此，諧振頻率的3維電磁場仿真值應(yīng)更接近磁壁模型得到的理論值。表5為減少外導(dǎo)體厚度后，前3個諧振頻率及其諧振模式的仿真值和理論值對比。由表5可知，前3個諧振頻率對應(yīng)的諧振模式仍相同，且諧振頻率理論值和仿真值的相對偏差變小。

表5 減少同軸線外導(dǎo)體厚度后Z-800裝置諧振頻率理論值與仿真值對比Tab.5 Comparison between theoretical value and simulation value of resonant frequencies of Z-800 after reducing the thickness of the outer conductor of the input coaxial line

2.2 線型

Z箍縮裝置中常用的MRTL線型有線性線、指數(shù)線和雙曲線。Z-800裝置中使用指數(shù)線型。不同線型MRTL的區(qū)別在于阻抗變化規(guī)律，線性線、指數(shù)線和雙曲線的波阻抗分別沿著徑向位置呈線性、指數(shù)和雙曲線規(guī)律變化。阻抗變化反映在幾何結(jié)構(gòu)上則是極板間距隨徑向位置的變化規(guī)律不同。圖3為不同線型MRTL極板間距h(r)隨徑向位置r的變化關(guān)系。

圖3 不同線型MRTL極板間距隨徑向位置的變化關(guān)系Fig.3 h(r) vs. r in different line type of MRTLs

為分析MRTL線型對諧振頻率大小的影響，本文分別建立了不同線型MRTL的3維電磁場模型，通過頻域仿真得到了前3個諧振頻率及對應(yīng)的諧振模式，如表6所列。

表6 不同線型MRTL的第一個諧振頻率對比Tab.6 Comparison of the first resonant frequency in different type line of MRTLs

由表6可知，不同線型MRTL的諧振頻率大小基本相同，即線型對諧振頻率大小基本沒有影響。這是因為不同線型MRTL的區(qū)別在于極板間距，而引起諧振現(xiàn)象的原因是角向電流，與極板間距變化無關(guān)。此外，極板間距變化造成的非TEM?？珊雎裕@在對MRTL的2維電磁場仿真中已得到證明[7]，因此，不同極板間距的MRTL都可等效為平板電極的磁壁模型，可利用磁壁模型估算諧振頻率。鑒于此，MRTL線型對諧振頻率基本沒有影響。

2.3 挖孔設(shè)計

第2.2節(jié)討論的MRTL的極板都是完整的，依靠極板間距變化實現(xiàn)不同的線型。對Z-800裝置所用的指數(shù)三板MRTL而言，為實現(xiàn)極板間距的變化規(guī)律，中間極板為平面，上下極板為曲面。然而，在實際應(yīng)用中，為便于多個MRTL疊放，希望MRTL上下極板也是平面。因此，挖孔設(shè)計MRTL被提出。在挖孔設(shè)計中，MRTL的極板都為平面，為達到希望的線型，會在相鄰輸入端間挖孔。挖孔后，MRTL波阻抗可表示為

(2)

其中，θ(r)為極板在徑向位置r處對應(yīng)的圓心角。通過改變挖孔面積的大小，進而改變θ(r)，這樣就算使用平板電極，也可實現(xiàn)不同的線型。對于Z-800使用的指數(shù)線，挖孔設(shè)計的MRTL結(jié)構(gòu)如圖4所示。

(a) Waveform

(b) Spectrum

本文建立圖4挖孔設(shè)計MRTL結(jié)構(gòu)的3維電磁場模型，頻域仿真得到的挖孔和非挖孔設(shè)計MRTL的傳輸效率S21隨諧振頻率的變化關(guān)系如圖5所示。

圖5 挖孔和非挖孔設(shè)計MRTL的傳輸效率S21隨諧振頻率的變化關(guān)系Fig.5 S21 of the MRTL with and without digging holes vs. f

由圖5可見，與非挖孔設(shè)計MRTL類似，挖孔設(shè)計MRTL的S21曲線上同樣存在一系列傳輸效率接近0的特殊頻率點。通過觀察挖孔設(shè)計MRTL工作在每個特殊頻率的電磁場時空分布可見，挖孔設(shè)計MRTL在每個特殊頻率點也發(fā)生了諧振。挖孔設(shè)計和非挖孔設(shè)計MRTL的前3個諧振頻率和對應(yīng)的諧振模式如表7所列。

表7 挖孔設(shè)計和非挖孔設(shè)計MRTL的前3個諧振頻率和對應(yīng)的諧振模式對比Tab.7 Comparison of the first three resonant frequency of the MRTL with and without digging holes

由表7可知，挖孔設(shè)計MRTL的諧振模式與不挖孔MRTL的諧振模式相同，且對應(yīng)的諧振頻率十分接近。這是因為，對于MRTL的任一諧振頻率，相鄰輸入端的中間部分都是電荷聚集區(qū)，也就是電壓幅值最大點。諧振時，電流是在相鄰的電壓幅值最大點間流動。由于挖孔部分即是在相鄰輸入端的中間部分，所以挖孔部分在諧振模式下是沒有電流流過的。因此，是否挖孔對諧振現(xiàn)象的產(chǎn)生沒有影響。由于挖孔面積占總面積的比例一般不大，因此挖孔設(shè)計對諧振頻率大小影響也較小。

3 結(jié)論

(1) 諧振頻率大小的影響因素有輸入同軸線數(shù)、外圈半徑、絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)和輸入結(jié)構(gòu)，其中輸入同軸線數(shù)與諧振頻率大小成正相關(guān)，外圈半徑和絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)與諧振頻率大小成負相關(guān)，而輸入結(jié)構(gòu)將使諧振頻率值降低。各因素的影響機制為：輸入同軸線數(shù)和外圈半徑的影響機制相同，均是通過改變相鄰輸入脈沖源間的角向距離來改變諧振頻率對應(yīng)的波長；絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)則是通過改變波速來改變頻率；輸入結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的非TEM?？傻刃橐徊⒙?lián)電容，減小了諧振頻率。

(2) 可通過增加輸入同軸線數(shù)，減小外圈半徑或絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)及合理設(shè)計輸入結(jié)構(gòu)，使諧振頻率遠離其工作頻率范圍。對Z-800裝置而言，在原有設(shè)計基礎(chǔ)上各參數(shù)單獨變化的范圍為：輸入同軸線數(shù)應(yīng)大于22；外圈半徑應(yīng)小于17.5 m；絕緣介質(zhì)相對介電常數(shù)應(yīng)小于115。