基于階段生長PGSA的索穹頂結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力優(yōu)化

姜正榮 蘇延 石開榮? 李之吉 魏德敏

（1.華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院，廣東 廣州 510640；2.華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國家重點實驗室，廣東 廣州 510640）

索穹頂是由美國工程師Geiger等［1］提出的一種連續(xù)拉、間斷壓的柔性張力結(jié)構(gòu)體系，具有極高的結(jié)構(gòu)效率，目前已成功應(yīng)用于眾多大型體育場館中［2-4］。索穹頂結(jié)構(gòu)在自然狀態(tài)下呈松弛狀，不具有剛度，施加預(yù)應(yīng)力方可使其產(chǎn)生剛度并抵抗外荷載，且預(yù)應(yīng)力的大小與分布決定了結(jié)構(gòu)形狀與結(jié)構(gòu)剛度［5］。因此，對該類結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化具有十分重要的科學(xué)意義。

國內(nèi)外學(xué)者對索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化進(jìn)行了相關(guān)研究，并取得了一系列成果。文獻(xiàn)［6］采用遺傳算法，分別以結(jié)構(gòu)自重最小及豎向位移最小為目標(biāo)，完成了索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化。文獻(xiàn)［7］采用NSGA-II遺傳算法，對Kiewitt型索穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，得到了最優(yōu)自應(yīng)力模態(tài)組合系數(shù)。文獻(xiàn)［8］對Geiger型索穹頂結(jié)構(gòu)的單目標(biāo)及多目標(biāo)的不同優(yōu)化算法進(jìn)行了對比分析，并探討了各種算法的適用范圍。

模擬植物生長算法（Plant Growth Simulation Algorithm，PGSA）是一種基于植物向光性機理的新型智能優(yōu)化算法［9］，自提出以來已應(yīng)用于多個行業(yè)的優(yōu)化分析，并逐步加以改進(jìn)。文獻(xiàn)［10］采用非支配排序及構(gòu)造偏序集等方法對PGSA進(jìn)行改進(jìn)，并對多目標(biāo)旅行商問題進(jìn)行了求解，對比其他優(yōu)化算法更具有優(yōu)勢。文獻(xiàn)［11］對形態(tài)素濃度的計算及新增點的生長策略進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［12］采用PGSA對RFID網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃模糊覆蓋問題進(jìn)行了研究，指出了該方法的有效性。文獻(xiàn)［13］在重新初始化、搜索步長、算法終止判據(jù)等方面對PGSA進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用于電子干擾資源分配的優(yōu)化中。近年來，PGSA在工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域得到發(fā)展與應(yīng)用，如高層懸掛結(jié)構(gòu)［14］、桁架結(jié)構(gòu)［15］及弦支穹頂結(jié)構(gòu)［16］等。

但是截至目前，涉及PGSA在索穹頂結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的研究尚鮮見報道，鑒于此，本研究針對原算法的局限性，提出新策略，在此基礎(chǔ)上，建立階段生長PGSA，以此對索穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化，并與其他算法進(jìn)行對比，驗證其適用性。

1 PGSA基本原理

根據(jù)植物生長的原理，PGSA將工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的約束空間視為植物的生長空間，將目標(biāo)函數(shù)視為光源。首先在生長空間內(nèi)選取一粒種子，即初始生長點x0，其對應(yīng)一個初始函數(shù)值f(x0)；然后采用一定的步長，在初始生長點的附近產(chǎn)生節(jié)，即下一批可生長點Sm，i（其中i為生長點序號），計算每個可生長點所對應(yīng)的函數(shù)值f(Sm，i)，并剔除大于f(x0)的點，最終組成可生長點集合Sm。通過對比該集合中可生長點函數(shù)值與初始函數(shù)值之間的差距，給予相應(yīng)的形態(tài)素濃度。函數(shù)值越優(yōu)于初始函數(shù)值的可生長點，其對應(yīng)的形態(tài)素濃度越高，反之則越低，形態(tài)素濃度的計算如式（1）所示：

式中，k為集合Sm中可生長點的個數(shù)，Pm，i為第i個可生長點的形態(tài)素濃度。

在可生長點集合Sm中，其形態(tài)素濃度之和滿足：

所有形態(tài)素濃度構(gòu)成了一個概率區(qū)間[0，1]，每個可生長點對應(yīng)一部分區(qū)域，通過隨機搜索的方式選擇其中一個區(qū)域，將對應(yīng)的點作為下一次生長點，如圖1所示?？缮L點的函數(shù)值越靠近目標(biāo)，其形態(tài)素濃度越高，所對應(yīng)的概率區(qū)域越大，那么被選為下一次生長點的概率相應(yīng)就越高。通過這種形態(tài)素生長機制，使該植物的枝節(jié)反復(fù)生長，直到搜索到光源的位置，即函數(shù)的最優(yōu)解。

圖1 形態(tài)素濃度及其對應(yīng)的生長概率Fig.1 Morphactin concentration and its growth probability

2 PGSA新策略

從多段步長搜索及生長機制等方面，探討原PGSA的局限性。參考文獻(xiàn)［17］，以具有兩個獨立變量的Rastrigin函數(shù)為測試算例（圖2），其表達(dá)式為

圖2 目標(biāo)函數(shù)三維視圖Fig.2 Three-dimensional view of objective function

式中：f(x1，x2)為目標(biāo)函數(shù)，即模擬植物生長的光源，兩個設(shè)計變量分別為x1、x2，將可行域設(shè)為-5≤x1，x2≤5，以函數(shù)的全局最小值為優(yōu)化目標(biāo)，精度為0.1。

由圖2可見，該函數(shù)有非常多的局部極小點，但僅有一個全局最優(yōu)解，即x1=x2=0，此時函數(shù)值f(x1，x2)=0，達(dá)到最小。下文分析中，以圖2的函數(shù)為基礎(chǔ)，對不同參數(shù)取值分別運行50次，并記錄其優(yōu)化得到的最小目標(biāo)函數(shù)值的均值及平均生長空間（平均生長點數(shù)量），以此對比不同優(yōu)化機制的優(yōu)化效果與效率。

2.1 原算法的局限性

2.1.1 步長機制

為探討原PGSA的局限性，在此提出多段步長生長機制，即采用非固定的步長進(jìn)行生長，并與常規(guī)的單一步長生長機制進(jìn)行對比。限定最大生長次數(shù)為1 000，分別采用原PGSA的單一步長（步長為0.1）、兩段步長（大步長為2，生長10次，小步長為0.1）及三段步長（大步長為2，生長10次，中步長為0.5，生長100次，小步長為0.1）進(jìn)行優(yōu)化分析，結(jié)果見表1，優(yōu)化效果曲線如圖3所示。

表1 各步長機制的優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimization results of each step mechanism

圖3 各步長機制的優(yōu)化效果曲線Fig.3 Curves of optimization effect of each step mechanism

由表1及圖3可見，與原PGSA的單一步長相比，兩段和三段步長的平均最優(yōu)函數(shù)值較小，且后者更接近全局最優(yōu)解，但隨著步長段數(shù)的增加，生長空間也隨之迅速擴大。由此表明，采用多段步長生長可提高PGSA的全局搜索能力，但在缺乏有效篩選機制時，該方法必然會增加計算工作量。

2.1.2 生長點分布

在多段步長生長機制的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究大步長生長次數(shù)對優(yōu)化結(jié)果的影響。以兩段步長PGSA為例，同樣采用大步長為2，小步長為0.1，分別以大步長生長1次與30次進(jìn)行對比，優(yōu)化結(jié)束后生長點的分布如圖4所示。在此將以大步長生長產(chǎn)生的點稱為大生長點。

圖4 不同大步長生長次數(shù)的生長點分布Fig.4 Distribution of growth points with different growth numbers of large step

由圖4可見，當(dāng)大步長生長1次時，大生長點僅分布在x1，x2∈(-2，4)區(qū)間內(nèi)，未能擴散至整個可行域，其全局搜索能力較差；當(dāng)大步長生長30次時，大生長點擴散至x1，x2∈(-5，5)的范圍。當(dāng)大生長點以大步長為間距完全充滿整個可行域，即達(dá)到飽和后，每次生長得到的點均會與原有的大生長點重復(fù)且被忽略，使該生長點無法在后續(xù)以小步長進(jìn)行生長，從而形成了一片無效區(qū)域，生長點無法在其中擴散。由此表明，大步長具有散播生長點、提高全局搜索能力的作用，但若生長次數(shù)過多，使其達(dá)到飽和后，則反而會弱化全局搜索能力，影響優(yōu)化結(jié)果。

2.2 算法新策略

基于上文分析，從大步長生長擴散機制及生長點篩選機制兩方面，提出PGSA的新策略。

2.2.1 大步長生長擴散機制

針對大步長生長次數(shù)過多而導(dǎo)致生長點飽和的問題，對大步長采用多倍步長一次性擴散的方式以替代原PGSA中的隨機漸進(jìn)擴散。如圖5所示，按原生長機制，初始生長點將向兩個維度進(jìn)行步長為dx的生長，從而產(chǎn)生8個新增的生長點，可跨越2倍步長（2dx）的空間，下一次將從新增生長點中隨機選擇一個生長點，并重復(fù)該生長流程，直至生長點布滿整個可行域。多倍步長一次性擴散生長則分別以1～n倍步長進(jìn)行生長。以3倍步長一次性擴散生長為例，其將向兩個維度分別以1、2及3倍步長（3dx）的距離進(jìn)行一次生長，便可產(chǎn)生48個新增的生長點，所跨越的距離達(dá)到6倍步長（6dx）。由于不再進(jìn)行隨機生長，所有的生長點均不會被淘汰。通過該生長擴散機制，并選擇合適的大步長，便可得到布滿整個可行域的大生長點，起到了散播生長點的作用，且避免了生長點的過早“廢棄”。

圖5 大步長生長擴散機制Fig.5 Growth diffusion mechanism of large step

2.2.2 生長點篩選機制

在此引入篩選系數(shù)w與篩選空間Sw，在每一次搜索時，對已求得的函數(shù)值從優(yōu)至劣進(jìn)行排序，得到篩選集合R，以該集合中排在第q位的函數(shù)值為對比指標(biāo)，即f(Rq)，其中q=Sw×w。將函數(shù)值比該對比指標(biāo)差的新增生長點剔除，以此控制生長空間的規(guī)模。在搜索到全局最優(yōu)解之后，該篩選機制會使可生長點集合逐漸縮小直至無可生長點，從而達(dá)到快速收斂并停止運算。

3 階段生長PGSA

3.1 算法機制及其計算流程

依據(jù)上述新策略，提出了基于階段生長的模擬植物生長算法（階段生長PGSA），即將植物生長分為多個階段，并在不同階段引入相應(yīng)的生長擴散機制或生長點篩選機制，從而實現(xiàn)該算法的快速收斂，并提高全局搜索能力。

其基本思路為：對初始生長點x0采用大步長進(jìn)行搜索，并以3倍步長一次性擴散生長，得到布滿整個可行域的生長點；隨后以中步長進(jìn)行快速搜索，配合較寬松的篩選機制，以控制生長點的數(shù)量；最后以與精度相同的小步長，結(jié)合較嚴(yán)格的篩選機制，從而達(dá)到快速收斂的目的，且在搜索到滿足精度要求的全局最優(yōu)解后及時終止計算。

該算法流程如圖6所示，具體步驟如下：

步驟1定義初始生長點x0，并定義大、中、小步長及其對應(yīng)的生長次數(shù)、篩選系數(shù)w與篩選空間Sw。

步驟2計算得到初始生長點x0對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f(x0)，以此作為全局最優(yōu)函數(shù)值Fmin的初始值。

步驟3在不同階段選擇不同的步長，對新增生長點對應(yīng)的函數(shù)值f(Sm，i)進(jìn)行排序，以排在第q位的函數(shù)值f(Rq)為對比指標(biāo)，其中q=Sw×w；將函數(shù)值劣于篩選標(biāo)準(zhǔn)(f(Sm，i)＞f(Rq))的新增生長點剔除，其余則加入可生長點集合Sm中。

步驟4判斷可生長點集合是否為空集，若為空集，則跳轉(zhuǎn)至步驟8，若不為空集，則繼續(xù)進(jìn)行下一步。

步驟5找出當(dāng)前次新增生長點對應(yīng)的最優(yōu)函數(shù)值fmin，與既有全局最優(yōu)函數(shù)值Fmin對比，判斷是否為更優(yōu)，若是，則更新全局最優(yōu)函數(shù)值Fmin及其對應(yīng)的最優(yōu)生長點Xmin。

步驟6對生長點集合中所有的可生長點按式（1）計算形態(tài)素濃度，并按概率隨機選取下一次的生長點。

步驟7判斷是否達(dá)到最大生長次數(shù)，若未達(dá)到，則回歸步驟3繼續(xù)進(jìn)行優(yōu)化，若達(dá)到，則進(jìn)行下一步。

步驟8輸出最終搜索得到的最優(yōu)函數(shù)值Fmin及其對應(yīng)的最優(yōu)生長點Xmin，結(jié)束優(yōu)化流程。

3.2 算例分析

仍以式（3）所示的Rastrigin函數(shù)為例，基于圖6的流程進(jìn)行優(yōu)化。設(shè)置大步長為2，以3倍步長進(jìn)行一次性擴散，中步長為0.5、生長100次，小步長為0.1，最大生長次數(shù)為1000。中、小步長對應(yīng)的篩選系數(shù)分別為0.8、0.4，篩選空間均為100。對文中提出的階段生長PGSA（三段步長+擴散機制+篩選機制）與純多段步長PGSA（兩段步長及三段步長）及原PGSA的單一步長的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行對比，如圖7所示。

圖6 階段生長PGSA流程圖Fig.6 Flow chart of stage growth PGSA

圖7 不同PGSA的優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Optimization results of different PGSA

由圖7可見，階段生長PGSA通過大范圍生長，在提高全局搜索能力的同時避免了生長點的飽和，且由于篩選機制的引入有效地縮小了生長空間，其平均最優(yōu)函數(shù)值及平均生長空間均優(yōu)于原PGSA。

4 索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化

在上文分析的基礎(chǔ)上，對索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力進(jìn)行優(yōu)化。該結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化有兩個特點：一是搜索域中存在大量無解的點，二是最優(yōu)解相對集中于某些區(qū)域。階段生長PGSA可通過大步長有效跨越這些無解空間，再通過中步長與小步長快速搜索有解的空間，從而提高優(yōu)化效率。因此，相比于其他優(yōu)化算法，當(dāng)階段生長PGSA應(yīng)用于索穹頂結(jié)構(gòu)的預(yù)應(yīng)力優(yōu)化時，其具有顯著的優(yōu)勢。

4.1 優(yōu)化模型

為驗證階段生長PGSA在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的適用性，以某實際工程為背景，構(gòu)建圖8所示的復(fù)合型索穹頂結(jié)構(gòu)，對其進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化（標(biāo)高單位為m，其余單位為mm）。結(jié)構(gòu)跨度為100m，矢高為7.5m，設(shè)有內(nèi)拉環(huán)及兩道環(huán)索，周邊固定鉸支座。拉索采用彈性模量為195 GPa的平行鋼絲束；撐桿及內(nèi)拉環(huán)采用Q355B鋼材，彈性模量為206 GPa。結(jié)構(gòu)的自應(yīng)力模態(tài)數(shù)為2，構(gòu)件截面面積及各組自應(yīng)力模態(tài)如表2所示。

圖8 優(yōu)化模型Fig.8 Optimal model

4.1.1 優(yōu)化變量

將表2中的兩組自應(yīng)力模態(tài)記為{X1}和{X2}，并將其與組合系數(shù)β1、β2相乘，疊加得到最終的結(jié)構(gòu)初始預(yù)應(yīng)力{T}，如式（4）所示。以該組合系數(shù)β1、β2為優(yōu)化變量。

表2 構(gòu)件截面面積及自應(yīng)力模態(tài)Table 2 Section areas and self-stress modes of members

4.1.2 目標(biāo)函數(shù)

當(dāng)索穹頂結(jié)構(gòu)張拉完成時，結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能由張拉設(shè)備所提供，在滿足約束條件下，應(yīng)變能越小，張拉設(shè)備所做的功越少，張拉難度越低，施工越方便，其對應(yīng)的經(jīng)濟效益越好。因此，在確定自應(yīng)力模態(tài)組合系數(shù)時，以結(jié)構(gòu)的初始應(yīng)變能最小為優(yōu)化目標(biāo)：

式中，Ti為第i類桿件的初始預(yù)應(yīng)力，n為結(jié)構(gòu)的桿件類別數(shù)，Ei、Ai、li分別為第i類桿件的彈性模量、截面面積及長度，ni為第i類桿件的同類桿件數(shù)量。

4.1.3 約束條件

（1）整體可行性

由組合得到的初始預(yù)應(yīng)力，應(yīng)滿足索受拉、撐桿受壓且同一圈同類桿件預(yù)應(yīng)力相等的整體可行性。這是索穹頂結(jié)構(gòu)的自有特性，即依據(jù)節(jié)點平衡條件，索僅受拉力，撐桿僅受壓力，且所有桿件的受力均滿足對稱性。

（2）剛度要求

荷載態(tài)時，在自重、附加恒載0.5 kN/m2及不上人屋面活載0.3 kN/m（2全跨布置）的共同作用下，結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點豎向位移不大于跨度的1/400，荷載組合為1.0恒載+1.0活載的標(biāo)準(zhǔn)組合。

除上述約束條件外，還需對拉索的強度、撐桿的強度及穩(wěn)定性進(jìn)行驗算。限于篇幅，在此不再贅述，具體詳見文獻(xiàn)［18］。

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

基于上文提出的階段生長PGSA，通過MATLAB與ANSYS的協(xié)同編程實現(xiàn)參數(shù)化建模、結(jié)構(gòu)計算以及優(yōu)化算法的執(zhí)行。將階段生長PGSA的優(yōu)化結(jié)果與純多段步長PGSA（兩段步長及三段步長）進(jìn)行對比，參數(shù)設(shè)定見表3，最大生長次數(shù)為1000，篩選空間均為100。經(jīng)試算，該設(shè)定參數(shù)下，優(yōu)化效率及優(yōu)化效果均較佳，其優(yōu)化效果曲線如圖9所示。

表3 不同PGSA的參數(shù)設(shè)定Table 3 Parameter setting for different PGSA

圖9 不同PGSA的優(yōu)化效果曲線Fig.9 Curves of optimization effect of different PGSA

由圖9可見，采用純多段步長PGSA（兩段步長及三段步長）搜索時，其生長至1000次仍未搜索到全局最優(yōu)解；階段生長PGSA運行至第286步便搜索到全局最優(yōu)解（對應(yīng)的結(jié)構(gòu)初始應(yīng)變能f=892.58 kN·m），且在第351步迭代終止。

進(jìn)一步地，將階段生長PGSA與多島遺傳算法（MIGA）、自適應(yīng)模擬退火算法（ASA）及粒子群優(yōu)化算法（PSO）等優(yōu)化方法進(jìn)行對比，優(yōu)化效果曲線如圖10所示（不同算法的每次計算迭代時間基本一致，其關(guān)鍵參數(shù)設(shè)定詳見文獻(xiàn)［18］）。

圖10 不同算法的優(yōu)化效果曲線Fig.10 Curves of optimization effect of different algorithms

由圖10可見，與其他優(yōu)化算法相比，階段生長PGSA的計算迭代次數(shù)最少，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)初始應(yīng)變能也最?。ǚ謩e為MIGA的39.7%、ASA的58.9%及PSO的84.1%）。由此表明，該算法具有更高的優(yōu)化效率及更好的優(yōu)化效果，從而驗證了其適用性。此外，以階段生長PGSA求得的全局最優(yōu)解為β1=58×105，β2=-145×105。荷載標(biāo)準(zhǔn)組合下，結(jié)構(gòu)的最大節(jié)點豎向位移為247.3 mm，小于結(jié)構(gòu)跨度的1/400（250 mm）。由組合得到的初始預(yù)應(yīng)力如表4所示，滿足索受拉、撐桿受壓的整體可行性要求，且拉索的強度、撐桿的強度及穩(wěn)定性驗算，均滿足相關(guān)規(guī)范的要求。

表4 階段生長PGSA優(yōu)化后的初始預(yù)應(yīng)力Table 4 Initial prestress obtained by stage growth PGSA

5 結(jié)論

（1）相比原PGSA的單一步長，多段步長生長機制可提高PGSA的全局搜索能力，但隨著步長段數(shù)的增加，其計算量相應(yīng)增大；當(dāng)大步長生長次數(shù)過多時，易造成生長點的飽和，產(chǎn)生無效搜索區(qū)域，從而影響優(yōu)化結(jié)果。

（2）針對原PGSA的局限性，提出了階段生長PGSA，將優(yōu)化過程分為多個階段，先引入大步長生長擴散機制，以多倍步長一次性擴散生長的方式實現(xiàn)生長點的散播，再以中步長配合較寬松的篩選機制進(jìn)行快速搜索，最后以精度要求的小步長與較嚴(yán)格的篩選機制進(jìn)行收斂。結(jié)果表明：與原PGSA相比，階段生長PGSA可有效增強全局搜索能力、縮小生長空間且避免了生長點飽和的問題。

（3）采用階段生長PGSA對索穹頂結(jié)構(gòu)進(jìn)行預(yù)應(yīng)力優(yōu)化，并與多島遺傳算法、自適應(yīng)模擬退火算法及粒子群優(yōu)化算法等優(yōu)化方法進(jìn)行對比。結(jié)果表明：階段生長PGSA的計算迭代次數(shù)最少，優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)初始應(yīng)變能最小，表現(xiàn)出更高的優(yōu)化效率及更好的優(yōu)化效果，由此驗證了該算法對索穹頂結(jié)構(gòu)預(yù)應(yīng)力優(yōu)化的適用性。