工科專業(yè)的大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究*

劉東旭 司文藝

（1.延邊大學(xué)理學(xué)院 吉林延吉 133002；2.東北大學(xué)流程工業(yè)綜合自動化國家重點實驗室 遼寧沈陽 110819；3.延邊教育出版社數(shù)字出版中心 吉林延吉 133000）

大學(xué)數(shù)學(xué)一般包括“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”和“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”三門基礎(chǔ)課，以及一些根據(jù)專業(yè)需要，專門為某些專業(yè)開設(shè)的課程，如自動化專業(yè)和通信工程專業(yè)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”、土木工程專業(yè)的“射影幾何”、物理專業(yè)的“數(shù)學(xué)物理方程”等。

大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教師大多畢業(yè)于數(shù)學(xué)專業(yè)，并且從教于數(shù)學(xué)專業(yè)或大學(xué)數(shù)學(xué)中心。而數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課為“數(shù)學(xué)分析”和“高等代數(shù)”，其內(nèi)容分別對應(yīng)了“高等數(shù)學(xué)”和“線性代數(shù)”。前者相較于后者，并不是簡單的內(nèi)容擴展，而是更加深入地討論數(shù)學(xué)工具的特性，具有更強的邏輯性和抽象性。反過來講，如果單純地將后者理解成前者的刪減版，那么在教學(xué)過程中，教育工作者常常會走向兩個極端：一是只注重講解計算技巧而忽略數(shù)理邏輯；二是以深入的理論去解讀計算技巧，造成學(xué)生理解上的困難。

事實上，工科專業(yè)對數(shù)學(xué)的要求甚高，如果在本科階段不能讓工科學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的核心技巧和思想，那么對他們的后續(xù)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生巨大的負面影響。如自動化專業(yè)的核心專業(yè)課“自動控制原理”“信號與系統(tǒng)”等課程，需要學(xué)生對復(fù)變函數(shù)、積分變換以及微積分有極深的理解，對某些方面的理解要求甚至超過對數(shù)學(xué)系本科生的要求（如傅里葉變換等工具）。而“現(xiàn)代控制理論”和“線性系統(tǒng)理論”等課程又需要大量與矩陣和泛函分析相關(guān)的理論工具，有些變換和技巧數(shù)學(xué)系本科階段的課程都沒有涵蓋（如多項式矩陣，黎卡提方程，變分法等）。因此，不能將工科的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)簡單地看做數(shù)學(xué)系課程的簡化版本，而應(yīng)該是與其專業(yè)課程相結(jié)合，有針對性地進行知識點講解。對一些教學(xué)大綱不做要求但對專業(yè)課用處很大的知識點，應(yīng)予以擴展到位，打通基礎(chǔ)課和專業(yè)課的關(guān)鍵聯(lián)系點。這對學(xué)生的理論學(xué)習(xí)是非常有益的。

一、工科專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀

工科專業(yè)低年級的數(shù)學(xué)課程主要包括“高等數(shù)學(xué)”“線性代數(shù)”和“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”。“高等數(shù)學(xué)”一般于第一和第二學(xué)期開設(shè)，“線性代數(shù)”一般在第二學(xué)期開設(shè)。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”一般在第三學(xué)期，即大學(xué)二年級第一學(xué)期開設(shè)。除此之外，電器類和自動化等專業(yè)在一般在第四學(xué)期開設(shè)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”等課程，建筑類和工業(yè)設(shè)計等專業(yè)一般在第四學(xué)期開設(shè)“攝影幾何”等課程[1]。

“高等數(shù)學(xué)”是工科專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，將學(xué)習(xí)兩個學(xué)期。其內(nèi)容一般包含分析學(xué)的三大基本理論，即極限理論，微積分理論和級數(shù)理論。微積分理論是高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的分水嶺，其在17世紀中后葉由牛頓和萊布尼斯分別獨立建立。但當時的微積分無法描述“無窮小”量，因此其理論框架不夠嚴謹。后來由法國數(shù)學(xué)家柯西和德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯建立了極限理論，并系統(tǒng)地說明了“無窮小”變量以及引入了“ε-δ”語言等工具，將微積分理論嚴格化。但在教科書中，我們以形式邏輯為主體，顛倒了上述兩個理論的誕生順序，先講授極限理論，后講授微積分理論，使其形成嚴謹?shù)倪壿嬜郧?，并且易于初學(xué)者接受。而級數(shù)理論是基于極限理論的另一個分析學(xué)分支，從離散角度分析函數(shù)，并可用于近似計算。而有些專業(yè)開設(shè)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程，可以視作微積分理論在復(fù)數(shù)域的推廣。其理論結(jié)果更加豐富多彩，且在后續(xù)學(xué)習(xí)的信號與系統(tǒng)中是極為重要的分析工具。

“線性代數(shù)”的主要學(xué)習(xí)對象是矩陣。本課程一般從解多元線性代數(shù)方程組講起，當方程的個數(shù)和未知數(shù)個數(shù)不等式，自然引出了矩陣的概念。并以此介紹了矩陣的性質(zhì)，各種代數(shù)運算，以及各種變換。矩陣作為數(shù)學(xué)中強有力的工具，廣泛運用于工學(xué)各個理論課程以及科研領(lǐng)域中?！熬€性代數(shù)”的內(nèi)容和課時均少于“高等數(shù)學(xué)”課程，但其講解過程并不容易。其內(nèi)容可以相當寬泛，而且矩陣變換和運算的背后所蘊含的數(shù)學(xué)理論和事實非常的豐富和深刻。受課時所限，教師想在課堂上全部講透幾乎不可能。線性代數(shù)的講授角度也存在爭議。我國廣泛使用的思路，是從解多遠線性代數(shù)方程組的角度進行講授。其優(yōu)點是形式邏輯強，學(xué)生易學(xué)易懂。但其缺點在于大部分的計算和矩陣的性質(zhì)，學(xué)生只能通過背結(jié)論的方式學(xué)習(xí)，很難理解其背后的深刻含義。另一種講授角度是從線性變換的角度引入矩陣。這種方法可將對矩陣的性質(zhì)和運算介紹得非常透徹和深入，并使學(xué)生接觸到泛函分析的一些知識。但缺點在于難度較高，初學(xué)者不容易理解。第三種角度是從代數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體的“?！边@一角度講授線性代數(shù)的相關(guān)知識。但這種方式僅適用于數(shù)學(xué)專業(yè)，工學(xué)專業(yè)不開“代數(shù)學(xué)”這門課程，因此這種講授方法并不合適[2]。

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”是以隨機事件為研究對象的一門課程。其理論與方法已廣泛應(yīng)用于工業(yè)、農(nóng)業(yè)、軍事和科學(xué)技術(shù)中，如預(yù)測和濾波應(yīng)用于空間技術(shù)和自動控制，時間序列分析應(yīng)用于石油勘測和經(jīng)濟管理，馬爾科夫過程與點過程統(tǒng)計分析應(yīng)用于地震預(yù)測等，同時他又向基礎(chǔ)學(xué)科、工科學(xué)科滲透，與其他學(xué)科相結(jié)合發(fā)展成為邊緣學(xué)科，這是概率論與數(shù)理統(tǒng)計發(fā)展的一個新趨勢。

二、工科專業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題

數(shù)學(xué)是工科專業(yè)核心課程的重要理論工具。例如信號與系統(tǒng)、自動控制原理等課程，需要用到很深的復(fù)變函數(shù)知識。如頻域方法、伯德圖和奈奎斯特曲線等工具背后的數(shù)學(xué)知識，需要學(xué)生有較強的數(shù)學(xué)功底才能完全理解。而上述工具的數(shù)學(xué)理論在大學(xué)數(shù)學(xué)課中都有涉及[3]。

但多年來，通過院系反饋和學(xué)生反饋，我們發(fā)現(xiàn)，專業(yè)課教師在教授學(xué)生這些專業(yè)課時，一旦涉及背后的較深入的數(shù)學(xué)知識，教學(xué)通常會有很大的困難。有些教師甚至反映，學(xué)生好像從來沒學(xué)過相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識。學(xué)生也普遍反映，感覺到數(shù)學(xué)功底不夠，學(xué)習(xí)過程比較吃力。

除此之外，工科專業(yè)的學(xué)生普遍專注于計算方法，而忽略其背后的理論；重計算結(jié)果，而忽略算法的適用范圍和先決條件。這是工科數(shù)學(xué)教學(xué)中廣泛存在的問題。例如，在自動控制原理、信號與系統(tǒng)等課程中，系統(tǒng)經(jīng)常采用傳遞函數(shù)進行描述，而傳遞函數(shù)即為微分方程的拉普拉斯變換，學(xué)生在學(xué)習(xí)時只考慮傳遞函數(shù)的性能，但很少考慮系統(tǒng)可否進行拉普拉斯變換，能否用傳遞函數(shù)表示等問題，即忽略了拉普拉斯變換的適用范圍。

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中比較抽象的一門課程。其中大量的定理與結(jié)論證明略顯煩瑣，且非常不直觀。因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中普遍存在生記硬背的現(xiàn)象，考試中經(jīng)常將算法和公式生搬硬套，最后得出的結(jié)果是錯誤的。

此外，工科專業(yè)高年級課程中大量的計算問題，無法采用大學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的方法進行直接計算。事實上，大學(xué)數(shù)學(xué)中的計算方法和技巧適用范圍非常有限。例如，求矩陣特征值的題目一般在考題中超過三階的方陣，必有計算技巧。但在專業(yè)課中涉及的很多實際問題，高階矩陣不夠特殊，無法用大學(xué)數(shù)學(xué)中的計算技巧進行求解，從而使學(xué)生要重新學(xué)習(xí)使用軟件進行數(shù)值求解。

基于上述問題，我們圍繞數(shù)學(xué)問題描述的適用性、計算方法的有效性和分析方法的前提條件等因素給出工科大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的建議。

三、數(shù)學(xué)問題（模型）描述的適用性

大學(xué)數(shù)學(xué)課程中對問題的描述往往相對比較抽象，初學(xué)者在理解上往往存在困難。例如，函數(shù)極限中常用的“N-ε”和“ε-δ”語言。從理解難度上講，這是大學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)期中最難懂的一個知識點。但為了極限理論和微積分理論的嚴格性，此處的理論鋪墊不能省略。因此，教師在講述理論的同時，必須佐以適當?shù)睦雍蛨D像，讓學(xué)生明確二者的適用范圍，即如何描述對應(yīng)的極限[4]。

再如，線性代數(shù)中矩陣的加法和乘法運算，教師在講授時應(yīng)給予一定的拓展和適用性說明?！凹臃ā焙汀俺朔ā眱煞N運算的概念，教學(xué)大綱上是沒有的，即使在數(shù)學(xué)系，這兩種運算的概念也是在高年級的課程中才予以詳細講授。但對工科專業(yè)的學(xué)生，兩種運算概念的簡述，不僅可以拓寬他們的知識面，而且可以促使學(xué)生理解為何矩陣的加法和乘法與實數(shù)的相應(yīng)運算差異如此巨大。比如，從概念上來說，乘法并不要求運算的元素滿足交換律。實數(shù)的乘法滿足交換律是因為實數(shù)集的特殊性（因為實數(shù)集構(gòu)成“域”，即實數(shù)域），而矩陣的乘法不滿足交換律并不特殊，而是乘法的一般情況。另外，矩陣乘法也可以給出對應(yīng)的例子，輔助學(xué)生理解為何矩陣的乘法要如此定義。

四、計算方法的有效性

工科專業(yè)在后續(xù)的理論專業(yè)課中，大部分計算均借助計算機完成，而非手算。但在大學(xué)數(shù)學(xué)的課程當中，基本計算均是手算完成。從某種意義上講，二者的銜接存在一定問題。因為能夠通過推導(dǎo)求出的計算結(jié)果，一般其對應(yīng)的問題不能太復(fù)雜，只能以簡單的算例和考題為載體為學(xué)生進行講解和考評。這會使得學(xué)生在大學(xué)初期誤認為計算僅此而已，而當專業(yè)課中出現(xiàn)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生有時會誤以為按照基本的計算方法即可算出結(jié)果，只是過程略顯復(fù)雜。而事實上，有些問題由于計算復(fù)雜度過高等原因，不可能利用簡單的推導(dǎo)進行計算。而有些理論上可行的算法有時在實際中甚至是無效的。當進一步講解有效的計算方法時，會造成學(xué)生的困惑，甚至覺得無法理解，也無必要[5]。

例如，在求矩陣A的特征值時，線性代數(shù)中一般是利用 det(sI-A)=0，以s為變元來求解特征值。而事實上，超過5次的一元代數(shù)方程是不存在一般的求根公式的。也即矩陣的維數(shù)超過5，則無法以解析方式表達矩陣的特征值，而要通過數(shù)值逼近來求解。維度更高的矩陣一般需要采取一些矩陣分解或分割的處理手段（如QR分解等），才能進行求解。這些問題應(yīng)根據(jù)課時量給予學(xué)生一定程度的擴展。雖然在專業(yè)課學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往采用數(shù)學(xué)軟件進行求解，無需知道背后的算法，但這些思想方法會使學(xué)生對問題的理解以及后續(xù)研究生階段學(xué)習(xí)“矩陣論”或“矩陣分析”打下良好的基礎(chǔ)。

五、分析方法的前提條件

大學(xué)數(shù)學(xué)中涉及很多定理和分析工具，使用時應(yīng)特別注意其前提條件。但由于工科學(xué)生偏重計算技巧的學(xué)習(xí)，往往對前提條件不夠重視，甚至常常予以忽略。這可能給學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)和理論研究過程中造成巨大的障礙和邏輯漏洞。因此，對于數(shù)學(xué)工具和分析方法的前提條件，應(yīng)在教學(xué)過程中予以重點強調(diào)[6]。

又如，矩陣對角化問題。工科學(xué)生在專業(yè)課和文獻中遇到線性控制系統(tǒng)，有時需要利用矩陣變換將系統(tǒng)變量解耦。但此時系統(tǒng)矩陣能否對角化，需要根據(jù)其特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)是否相等進行判斷，否則計算結(jié)果很可能造成錯誤。

“信號與系統(tǒng)”和“自動控制原理”等工科專業(yè)核心課程均是以傳遞函數(shù)描述控制系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)工具為Laplace變換。這使很多工科學(xué)生誤以為Laplace變換對線性系統(tǒng)的描述是萬能的。因此，在大學(xué)數(shù)學(xué)的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程中必須強調(diào)，系統(tǒng)可采用Laplace變換描述或求解，前提是系統(tǒng)初值必須屬于系統(tǒng)算子平方的定義域。如此條件得不到不滿足，則即使用Laplace變換可求出系統(tǒng)的解，那么此解也只是弱解（形式解），而不一定是系統(tǒng)的強解（真實解）。

結(jié)語

本文根據(jù)工科專業(yè)對數(shù)學(xué)的要求及理論特點，結(jié)合筆者自身的實際經(jīng)歷和體會，給出了工科大學(xué)數(shù)學(xué)的幾點教學(xué)改進策略。即數(shù)學(xué)描述注重適用性，計算方法注重有效性，分析方法應(yīng)注重前提條件等，均是我們作為大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教師應(yīng)重點關(guān)注的改進重點。