數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

　　摘要：在中學(xué)階段，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，它作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，能很好地把各部分內(nèi)容聯(lián)系起來，并貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的整體思路中. 本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過在基本知識的教學(xué)和基本題目的求解中不斷地滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，提高學(xué)生的解題能力.
　　關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；思維習(xí)慣；解題能力
　　
　　數(shù)形結(jié)合思想是指將數(shù)與圖結(jié)合起來解決問題的一種思維方式，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，這就是在強(qiáng)調(diào)把數(shù)和形結(jié)合起來的重要性. 對于初中學(xué)生而言，他們的思想還停留在“數(shù)”上，完全沒有“形”的概念，因此在教學(xué)過程中，要不斷滲透數(shù)形合思想，讓他們養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，利用圖形來解題.“數(shù)”與“形”反映了事物兩個方面的屬性，我們認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系. 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.
　　在人教版七年級上《有理數(shù)》里面用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示有理數(shù)，就是數(shù)形結(jié)合思想方法的體現(xiàn)，結(jié)合數(shù)軸表示有理數(shù)，能幫助學(xué)生較好地理解有理數(shù)的絕對值、相反數(shù)等概念，以及進(jìn)行兩個有理數(shù)的大小比較，特別是含有字母、沒有具體數(shù)字的題目，學(xué)生經(jīng)常不知從哪下手，其實(shí)只要借助圖形，就可以把抽象問題直觀化，達(dá)到簡化的目的.
　　例1已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，且a=b，化簡a－a+b－c－a+c－b+ac－－2b.
　　分析：本題從圖1中可以很直觀地發(fā)現(xiàn)點(diǎn)a，b，c在數(shù)軸上的位置和與原點(diǎn)的位置關(guān)系，b，c在原點(diǎn)的左側(cè)，并且c離原點(diǎn)的距離更長，a點(diǎn)在原點(diǎn)的右側(cè)，可以判斷這三個點(diǎn)的符號，而去掉絕對值的關(guān)鍵在于絕對值內(nèi)數(shù)的符號.
　　
　　圖1
　　解析：從數(shù)軸上看，a，b分別位于原點(diǎn)的左右兩側(cè)，且a=b，因此，a和b互為相反數(shù)，可得a+b=0. 因?yàn)閍>0，所以a=a；因?yàn)閏0，c<0，所以ac<0，ac= －ac. 因?yàn)閎<0，所以－2b>0，-2b=－2b.
　　因此，a－a+b－c－a+c－b+ac－－2b=a－0+（c－a）－（c－b）－ac+2b=3b－ac.
　　在《有理數(shù)》數(shù)軸的學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)畫圖、看圖的習(xí)慣能為下階段的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ). 在人教版七年級下《平面直角坐標(biāo)系》中，就是從一條數(shù)軸升華成一個平面直角坐標(biāo)系，用一個有序數(shù)對表示坐標(biāo)平面內(nèi)的一個點(diǎn)，這是用代數(shù)的形式解決幾何的問題，具體求解多邊形面積的時(shí)候，就是數(shù)量關(guān)系與直觀幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，因此，在教學(xué)過程中應(yīng)再次強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的重要性.
　　例2四邊形OABC各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（-2，8），B（-11，6），C（-14，0），計(jì)算這個四邊形的面積.
　　
　　圖2
　　分析：本題目要求四邊形的面積，這個四邊形不是特殊四邊形（平行四邊形、長方形、正方形、梯形），因此可以把這個四邊形切割成兩個三角形和一個梯形. 過A點(diǎn)作AE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E，過B點(diǎn)作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D，面積公式中的底和高就可以從圖中直接得出.
　　解析：如圖2所示，過A點(diǎn)作AE⊥x軸，垂足為點(diǎn)E（－2，0），過B點(diǎn)作BD⊥x軸，垂足為點(diǎn)D（－11，0）.
　　S△BCD=BD?CD=×6×3=9，
　　S梯形ABDE=（BD+AE）DE=×（6+8）×9=63，
　　S△AOE=AE?OE=×8×2=8，
　　S四邊形OABC=S△BCD+S梯形ABDE+S△AOE=9+63+8=80.
　　在《平面直角坐標(biāo)系》基礎(chǔ)上，將繼續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是學(xué)生的痛點(diǎn)，問題在于如何把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，或者把圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系. 數(shù)形結(jié)合思想在解決函數(shù)問題中的重要性是特別突出的，我們要利用函數(shù)圖象來理解函數(shù)的性質(zhì)和規(guī)律，而不是死記硬背“y隨著x增大而增大，或者y隨著x的增大而減小.”
　　例3在一次函數(shù)y=－x+3中，當(dāng)y>3時(shí)，x的取值范圍是________.
　　當(dāng)0　　
　　圖3
　　分析：本題如果直接從數(shù)的角度出發(fā)，對于初學(xué)函數(shù)的學(xué)生來說難以得出答案，從圖象上看卻形象直觀，易于學(xué)生理解.在教學(xué)中，要注意培養(yǎng)學(xué)生一個良好的習(xí)慣，遇到函數(shù)的題目，能畫圖的一定要畫圖，不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想.
　　解析：當(dāng)y>3時(shí)，圖象位于第二象限，因此x<0. 當(dāng)0　　例4反比例函數(shù)y=圖象上有三個點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1　　A. y1　　C. y3　　
　　圖4
　　分析：如果本題學(xué)生死記硬背，利用“y隨著x增大而增大，或者y隨著x的增大而減小”，那就很容易得出錯解. “數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”在本題里體現(xiàn)得淋漓盡致，只要把反比例函數(shù)的圖象畫出，把點(diǎn)的坐標(biāo)落實(shí)在圖象上，根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)從左到右是從小到大，從下到上也是從小到大，本題目的解就一目了然了.
　　解析：由x1　　在教學(xué)的過程中，教師要從一開始就培養(yǎng)學(xué)生畫圖的習(xí)慣，從數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系再到函數(shù)圖象，把數(shù)形結(jié)合思想方法滲透到學(xué)生的腦海里，為日后學(xué)習(xí)其他知識打下扎實(shí)的基礎(chǔ). 數(shù)形結(jié)合思想是一種可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數(shù)學(xué)思想方法. 要想提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，需要教師耐心細(xì)致的引導(dǎo)，使學(xué)生學(xué)會聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想、理解數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、掌握數(shù)形結(jié)合思想.