Linex損失函數(shù)下Laplace分布尺度參數(shù)的Bayes估計

王瑞鴻, 徐 寶

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 吉林 四平 136000)

Laplace分布是常見的連續(xù)型概率分布，也叫作雙指數(shù)分布，具有重尾特征。該分布在證劵金融經(jīng)濟領(lǐng)域、語音辨識、圖像壓縮過程、工程測繪數(shù)據(jù)的處理等實際問題中有著重要的應(yīng)用[1]。

Laplace分布定義：若隨機變量X的密度函數(shù)為

(1)

則稱隨機變量X服從Laplace(μ,σ)分布，μ為位置參數(shù)，σ為尺度參數(shù)，σ>0，且記作X～La(μ,σ)。由Laplace密度函數(shù)能夠得到其分布函數(shù)為

(2)

在位置參數(shù)μ已知時，從Laplace分布中抽取容量為n的簡單樣本X1,X2,X3,…Xn，記X=(X1,X2,X3,…Xn),x=(x1,x2,x3…xn)為X的觀察值。

Linex損失函數(shù)也稱為線性指數(shù)損失函數(shù)，其損失是非對稱的。該損失函數(shù)自提出以來，學(xué)者們將它應(yīng)用于參數(shù)的統(tǒng)計研究。

Linex損失函數(shù)其形式為：

L(δ,h(θ))=b{ec[h(θ)-δ]-c[h(θ)-δ]-1},(c≠0,b>0)

式中：h(θ)是δ的估計;c、b分別為尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，簡寫為

(3)

本文僅考慮c>0的情形。

文獻[2]研究了以倒伽馬分布為共軛先驗分布的Laplace分布參數(shù)θ的估計和風(fēng)險函數(shù)，并進行了實例分析。文獻[3]研究了構(gòu)造一類損失函數(shù)，具有較好的去躁效果，導(dǎo)出多元Laplace分布的方差、協(xié)方差等。文獻[4]研究Laplace分布的主要性質(zhì)和各個分布相互之間的聯(lián)系以及擬合優(yōu)度檢驗。文獻[5]討論了2種不同先驗信息分布下，二項分布參數(shù)θ的3種類別的貝葉斯估計。王學(xué)敏等[6，7]探討了Linex損失的發(fā)展，在Gamma分布為共軛先驗分布時，對Poisson分布和Burr分布求出參數(shù)的Bayes估計的可容許性和多層Bayes估計。其他學(xué)者也對不同的損失函數(shù)針對不同分布函數(shù)進行研究，并對其中參數(shù)進行相關(guān)的Bayes估計等[8-11]。

參數(shù)估計的優(yōu)劣水平大部分取決于損失函數(shù)的抉擇。選取不同的損失函數(shù)，估計量的不同，優(yōu)良性也會產(chǎn)生差別。本文在Linex損失函數(shù)下，當Laplace分布中位置參數(shù)已知時，在不同的先驗分布下，研究尺度參數(shù)的Bayes估計形式與性質(zhì)。

1 尺度參數(shù)的Bayes估計

在Linex損失函數(shù)下，研究Laplace分布尺度參數(shù)的Bayes估計的形式。

定理1 在Linex損失函數(shù)下，對任意先驗分布，Laplace分布尺度參數(shù)θ的Bayes估計為

證明：設(shè)Linex損失函數(shù)為

則決策函數(shù)的Bayes風(fēng)險為

(4)

要使Bayes估計最小，則需要使Bayes風(fēng)險最小，即E(P)取最小值，通過求導(dǎo)等于零，推出參數(shù)θ的Bayes估計為

(5)

當該分布處于無先驗信息時，設(shè)樣本來自Laplace分布，在Linex損失下，以定理的方式給出關(guān)于參數(shù)的Bayes估計。

定理2 在Linex損失函數(shù)下，設(shè)樣本來自Laplace分布，取參數(shù)θ=(μ,σ)的無信息先驗分布，則參數(shù)θ的Bayes估計為

證明：參數(shù)θ=(μ,σ)的對數(shù)似然函數(shù)為

(6)

其Fisher信息陣為

I(θ)=(Iij(θ))2×2

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

θ的無信息先驗密度為

(13)

則在Linex損失函數(shù)下，參數(shù)θ=(μ,σ)的Bayes的估計為

(14)

當分布的共軛先驗分布為倒伽馬分布時，設(shè)樣本來自Laplace分布，在Linex損失下，以定理的方式給出關(guān)于參數(shù)的Bayes估計。

2 尺度參數(shù)的Bayes估計的性質(zhì)

定理3 在Linex損失函數(shù)下，設(shè)X1,X2,X3,…Xn是來自Laplace分布的一個簡單隨機變量，取參數(shù)σ的共軛先驗分布為ΙΓ(α,β)，則

(1)參數(shù)σ的唯一Bayes估計為

給定來自Laplace分布的樣本X=(X1,X2,X3,…Xn)，則σ后驗概率密度為

從而

(15)

3 結(jié) 語

利用Linex損失函數(shù)質(zhì)，研討了Laplace分布中的尺度參數(shù)基于不同先驗分布下的Bayes估計的形式。當Laplace分布處于無信息分布時，通過求Fisher信息陣和它的后驗密度，推出其Bayes估計；當Laplace分布取共軛先驗分布為ΙΓ(α,β)時，推測其Bayes估計的唯一性及其可容許性。在現(xiàn)有信息的基礎(chǔ)上豐富了Laplace分布的參數(shù)估計，將Linex損失函數(shù)應(yīng)用更加寬泛。