跨中橫隔板對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)影響研究

張?jiān)＃埦?，陳東亮，王晨光

(蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730070)

隨著箱壁厚度的日趨減小，箱形梁在偏心荷載作用下扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面變形即畸變不容忽視，由此產(chǎn)生的附加翹曲應(yīng)力往往大于剛性扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力，而且畸變使箱板產(chǎn)生橫向彎曲，因此，箱形梁的畸變效應(yīng)分析受到許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。近年來(lái)，有些學(xué)者運(yùn)用三維有限元數(shù)值模擬方法分析箱形梁的畸變效應(yīng)，并分析了不同荷載形式、橫隔板間距、高跨比、高寬比及板厚等參數(shù)變化對(duì)箱形梁畸變翹曲應(yīng)力的影響[1-5]，其中，文獻(xiàn)[1-2]對(duì)偏心荷載進(jìn)行分解后，直接在有限元模型上施加分解后的畸變荷載，因而求得的應(yīng)力即為畸變翹曲應(yīng)力；文獻(xiàn)[3-5]通過(guò)分別計(jì)算偏心荷載和相應(yīng)對(duì)稱荷載作用下的應(yīng)力然后相減的途徑，間接得出偏載作用下的翹曲應(yīng)力，顯然這樣得到的應(yīng)力包含了扭轉(zhuǎn)翹曲應(yīng)力與畸變翹曲應(yīng)力，并未得出獨(dú)立的畸變翹曲應(yīng)力。除三維有限單元法外，一維梁段有限單元法也常被用于分析箱形梁的畸變效應(yīng)及其他空間效應(yīng)[6-8]，如，文獻(xiàn)[6]建立的梁段單元可對(duì)箱形梁的彎曲、扭轉(zhuǎn)、畸變及剪力滯效應(yīng)等進(jìn)行統(tǒng)一分析。雖然有限元數(shù)值解法特別是三維有限元法可用于任意邊界條件下復(fù)雜箱梁的空間分析，但獲得的變形、應(yīng)力或內(nèi)力不便于設(shè)計(jì)人員對(duì)結(jié)構(gòu)的特定剛度進(jìn)行判斷或采取相應(yīng)構(gòu)造措施，而解析法卻可以針對(duì)箱形梁的某種單一變形狀態(tài)如畸變狀態(tài)進(jìn)行針對(duì)性分析，并直觀反映各種影響因素，因此，解析法也被許多學(xué)者用于分析箱形梁畸變效應(yīng)。王晨光等[9]基于廣義坐標(biāo)法原理，針對(duì)雙軸對(duì)稱矩形截面箱梁，用總勢(shì)能變分法建立了畸變控制微分方程，并分析了剪切變形對(duì)畸變效應(yīng)的影響；張?jiān)５萚10]在箱梁橫截面的畸變中心處定義畸變角并建立控制微分方程，分析了頂板和底板兩側(cè)均設(shè)置外伸懸臂板的箱形梁畸變效應(yīng)。近年來(lái)，波形鋼腹板組合箱梁的畸變效應(yīng)分析也受到關(guān)注。李運(yùn)生等[11]用總勢(shì)能變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板曲線箱梁的彎扭及畸變控制微分方程；文獻(xiàn)[12-13]在分析箱梁各板元的面內(nèi)和面外力系平衡條件的基礎(chǔ)上，建立了波形鋼腹板箱梁的畸變控制微分方程，分析了幾何參數(shù)對(duì)畸變翹曲正應(yīng)力的影響。然而，上述文獻(xiàn)中的畸變效應(yīng)解析法只能用于無(wú)跨內(nèi)橫隔板的箱梁。文獻(xiàn)[14-15]提出了一種分析有跨內(nèi)橫隔板的箱形梁畸變效應(yīng)解析法，可考慮橫隔板的面內(nèi)變形影響。部分學(xué)者對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)開展了試驗(yàn)研究[16-17]。

本文提出一種分析有跨內(nèi)橫隔板時(shí)箱梁的畸變效應(yīng)解析法，首先解除跨內(nèi)橫隔板對(duì)畸變變形的約束作用，并代入相應(yīng)的未知畸變矩，然后利用畸變變形協(xié)調(diào)關(guān)系求解未知畸變矩，繼而在無(wú)跨內(nèi)橫隔板的初參數(shù)解基礎(chǔ)上獲得有跨內(nèi)橫隔板箱梁的畸變效應(yīng)解析解，最后以承受均布畸變荷載的簡(jiǎn)支箱梁為例，分析跨中橫隔板布置對(duì)箱形梁畸變效應(yīng)的影響。

1 箱梁畸變變形描述

具有豎向?qū)ΨQ軸的單室梯形箱梁橫截面示意見圖1。圖1中，A、B、C、D分別為4個(gè)角點(diǎn)位置，b1、b2、b3分別為頂板、底板、懸臂板寬度，bw為腹板的斜高，h為梁高，θ為斜腹板的傾角，t1、t2、tw分別為頂板、底板及腹板的厚度。

圖1 箱梁橫截面示意

圖2為箱梁橫截面發(fā)生畸變變形后的示意圖，角點(diǎn)A、B、C分別位移至A′、B′、C′。圖2中，P為豎向反對(duì)稱分布荷載，P1、P2、Pw分別為反對(duì)稱荷載分解后作用于頂板、底板及腹板的分布畸變荷載。選取角點(diǎn)B處腹板與底板夾角的改變量γ作為畸變角，并以使∠ABC減小時(shí)為正。

圖2 荷載及變形簡(jiǎn)圖

由圖2可以看出，截面畸變角γ由腹板的偏轉(zhuǎn)角γ1和底板的偏轉(zhuǎn)角γ2兩部分組成，即

( 1 )

式中：uAB為角點(diǎn)A、B的相對(duì)水平位移；vBC為角點(diǎn)B、C的相對(duì)豎向位移。

若用f1、f2、fw分別表示箱梁頂板、底板及腹板在畸變荷載P1、P2、Pw作用下各自的面內(nèi)位移，則有

uAB=f1+f2

( 2 )

圖3為角點(diǎn)B、C處變位示意圖，根據(jù)圖3所示角點(diǎn)B、C處的變位關(guān)系，可得

( 3 )

將式( 2 )和式( 3 )代入式( 1 )，可得

( 4 )

圖3 角點(diǎn)B、C處變位示意

2 畸變微分方程初參數(shù)解

根據(jù)總勢(shì)能變分法[18]，可得箱梁的畸變控制微分方程為

( 5 )

根據(jù)總勢(shì)能變分要求的邊界條件可知，與畸變角γ及其一階導(dǎo)數(shù)γ′(廣義翹曲位移)相應(yīng)的畸變內(nèi)力分別為

Md=-EJdγ?Bd=-EJdγ″

( 6 )

式中：Md為畸變矩；Bd為畸變雙力矩。

令微分方程( 5 )中md=0，即先不考慮跨內(nèi)畸變荷載作用，可得相應(yīng)齊次微分方程的通解為

γ(z)=[C1sin(λz)+C2cos(λz)]sinh(λz)+

[C3sin(λz)+C4cos(λz)]cosh(λz)=

C4Φ1(λz)+(C2+C3)Φ2(λz)+2C1Φ3(λz)+

2(C3-C2)Φ4(λz)

( 7 )

式中：C1～C4為積分常數(shù)；Φ1(λz)～Φ4(λz)為克雷洛夫函數(shù)，即

Φ1(λz)=cos(λz)cosh(λz)

Φ2(λz)=0.5[sin(λz)cosh(λz)+cos(λz)sinh(λz)]

Φ3(λz)=0.5sin(λz)sinh(λz)

Φ4(λz)=0.25[sin(λz)cosh(λz)-cos(λz)sinh(λz)]

選取4個(gè)初參數(shù)為γ0、γ′0、Md0、Bd0，分別為箱梁起始端(z=0)的畸變角、畸變翹曲、畸變矩、畸變雙力矩，由式( 6 )和式( 7 )建立各積分常數(shù)與各初參數(shù)之間的關(guān)系后，可將箱梁的畸變位移和內(nèi)力通過(guò)初參數(shù)表達(dá)為

( 8 )

( 9 )

Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

(10)

Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

4λBd0Φ4(λz)+Md0Φ1(λz)

(11)

當(dāng)箱梁沿全跨承受均布畸變矩荷載md作用時(shí)，只需在式(8)～(11)的初參數(shù)解基礎(chǔ)上按Md0所在項(xiàng)補(bǔ)充相應(yīng)的荷載項(xiàng)，從而可得初參數(shù)解為

(12)

(13)

Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

(14)

Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

(15)

式(12)～式(15)中，4個(gè)初參數(shù)可根據(jù)箱梁兩端的邊界條件確定。剛性固定端或梁端設(shè)置面內(nèi)面外均為無(wú)限剛性的橫隔板時(shí)，滿足γ=γ′=0，即截面不變形且不產(chǎn)生翹曲位移；當(dāng)梁端設(shè)置面內(nèi)無(wú)限剛性但面外無(wú)限柔性的橫隔板時(shí)，滿足γ=γ″=0，即截面不變形且不產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力；當(dāng)梁端不設(shè)置橫隔板時(shí)，滿足γ″=γ?=0，即不產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力。

3 跨內(nèi)橫隔板的處理

橫隔板位置及其約束畸變矩簡(jiǎn)圖見圖4。圖4中，跨內(nèi)第1道和第i道橫隔板所在截面的縱向坐標(biāo)分別為z1和zi，任一計(jì)算截面的縱向坐標(biāo)為z；若將跨內(nèi)各道橫隔板解除，其對(duì)畸變變形的約束作用可分別用相應(yīng)的未知畸變矩L1、Li代替。

圖4 橫隔板位置及其約束畸變矩簡(jiǎn)圖

根據(jù)初參數(shù)解，箱梁在畸變外荷載及未知畸變矩共同作用下的畸變位移和內(nèi)力可表達(dá)為

(16)

(17)

Bd(z)=4λ2EJdγ0Φ3(λz)+4λEJdγ′0Φ4(λz)+

(18)

Md(z)=4λ3EJdγ0Φ2(λz)+4λ2EJdγ′0Φ3(λz)-

(19)

式中：n為計(jì)算截面至箱梁起始端之間的跨內(nèi)橫隔板總數(shù)。

根據(jù)跨內(nèi)各道橫隔板所在截面zj處畸變角為零的變形協(xié)調(diào)條件，可建立補(bǔ)充方程為

γ(zj)=0j=1, 2,…,N

(20)

式中：N為跨內(nèi)橫隔板總數(shù)。

根據(jù)箱梁兩端4個(gè)邊界條件及式(20)，即可求得4個(gè)初參數(shù)及N個(gè)未知畸變矩Lj(j=1, 2,…,N)。

4 畸變翹曲應(yīng)力及橫向彎矩計(jì)算

箱梁發(fā)生畸變時(shí)，除在其橫截面上產(chǎn)生畸變翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力外，由于組成閉合箱室的各板件還發(fā)生橫向彎曲變形，故在各箱板內(nèi)還產(chǎn)生橫向彎矩?；儥M向彎矩可在沿箱梁縱向截取的單位長(zhǎng)度梁段所形成的閉合框架上按結(jié)構(gòu)力學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算，注意到橫向彎矩關(guān)于橫截面豎向?qū)ΨQ軸呈反對(duì)稱分布，且在各角點(diǎn)處有最大值，故只需計(jì)算角點(diǎn)A和B處的橫向彎矩MA和MB，可利用畸變角γ表示為

MA=ψAγMB=ψBγ

(21)

式中：ψA、ψB分別為角點(diǎn)A、B處的畸變橫向彎曲系數(shù)。

箱梁橫截面上任一點(diǎn)的畸變翹曲正應(yīng)力σd為

σd=-Eωdγ″

(22)

式中：ωd為畸變扇性坐標(biāo)。

利用式( 6 )中畸變雙力矩Bd的表達(dá)式，則式(22)可表示為

(23)

定義ξ為角點(diǎn)A和B處的翹曲正應(yīng)力之比，即ξ=σdA/σdB，ξ可根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力的自平衡條件確定，其大小只取決于橫截面的幾何尺寸。根據(jù)畸變翹曲正應(yīng)力分布特征，只要求得角點(diǎn)B處的畸變翹曲正應(yīng)力σdB，則箱梁全截面的翹曲正應(yīng)力即可確定。角點(diǎn)B處的畸變扇性坐標(biāo)ωdB為

(24)

為了計(jì)算畸變翹曲剪力流qd，需利用箱板微元體的平衡條件。箱板上任一點(diǎn)P處的微元體受力簡(jiǎn)圖見圖5。圖5中，t為箱板厚度，s為沿板厚中心線度量的周邊坐標(biāo)，在箱梁正面上以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎８鶕?jù)微元體的縱向平衡可得

(25)

圖5 箱板微元體受力簡(jiǎn)圖

將式(22)代入式(25)并對(duì)s積分，可得

qd=qd0+Eγ?Sdω

(26)

利用畸變翹曲剪力流qd在箱梁橫截面上不合成扭矩的條件，可求得qd0為

(27)

將式(27)代入式(26)，并利用式( 6 )中畸變矩Md的表達(dá)式，可得畸變翹曲剪力流qd計(jì)算式為

(28)

必須注意，式(28)中的積分應(yīng)在箱梁全截面上進(jìn)行計(jì)算，即對(duì)于帶懸臂板的箱梁，積分區(qū)域包括閉口箱室和懸臂板。有些文獻(xiàn)中只在閉口箱室范圍內(nèi)進(jìn)行積分計(jì)算，這顯然是錯(cuò)誤的，只對(duì)無(wú)懸臂板的純閉口截面箱梁才適用。

為便于實(shí)際應(yīng)用，給出畸變翹曲慣性矩Jd和橫向框架慣性矩JR的表達(dá)式為

b2t2+2bwtw(ξ2-ξ+1)]

(29)

(30)

式中：I1、I2、Iw分別為頂板、底板、腹板的橫向單寬抗彎慣性矩。

5 數(shù)值算例分析

預(yù)應(yīng)力混凝土簡(jiǎn)支箱梁計(jì)算跨徑l為40 m,梁端和跨中均布置有橫隔板，其厚度均為0.3 m，箱梁橫截面尺寸見圖6。箱梁采用C50混凝土，其彈性模量E為35 GPa，反對(duì)稱豎向均布荷載10 kN/m作用于兩側(cè)腹板與頂板交接處，其方向與圖2相同。

圖6 箱梁橫截面尺寸(單位：m)

按本文解析法和有限元軟件Ansys中的殼單元Shell63分別對(duì)箱梁的畸變翹曲應(yīng)力進(jìn)行了計(jì)算，跨中截面和1/4跨截面角點(diǎn)A處的畸變翹曲正應(yīng)力見表1。有限元計(jì)算時(shí)，全梁共離散為3 350個(gè)殼單元，3 378個(gè)節(jié)點(diǎn)；從反對(duì)稱荷載中分解出各板件的畸變荷載后，以集中力方式施加在各相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上。由表1可以看出，本文解析解與Ansys有限元數(shù)值解總體上吻合良好。

表1 角點(diǎn)A處畸變翹曲正應(yīng)力比較

為考察跨中布置橫隔板后對(duì)箱梁畸變效應(yīng)的影響，按本文解析法分別計(jì)算了有跨中橫隔板和無(wú)跨中橫隔板時(shí)箱梁的畸變效應(yīng)，圖7～圖9分別繪出了畸變雙力矩、畸變矩及角點(diǎn)A處橫向彎矩沿跨度分布曲線。

圖7 畸變雙力矩分布

圖8 畸變矩分布

圖9 角點(diǎn)A處畸變橫向彎矩分布

由圖7～圖9可以看出，在跨中截面布置橫隔板后，雖然使跨中截面的畸變橫向彎矩變?yōu)榱悖姆种豢缃孛娴臋M向彎矩也減小了34.4%，然而，跨中截面的畸變雙力矩絕對(duì)值卻增大了27.2倍(由22.39 kN·m2變?yōu)?631.23 kN·m2)，四分之一跨截面的畸變雙力矩也增大了1.02倍，而且畸變矩內(nèi)力也顯著增大了(如跨中截面由零變?yōu)椤?85.98 kN·m)?？梢钥闯?，要通過(guò)設(shè)置跨中橫隔板的方式減小畸變變形和畸變橫向彎矩，必須以顯著增加畸變雙力矩和畸變矩從而顯著增加畸變翹曲應(yīng)力為代價(jià)。對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁，畸變翹曲應(yīng)力的顯著增加必然會(huì)降低正截面和斜截面的抗裂性。進(jìn)一步計(jì)算表明，與僅在跨中截面布置橫隔板相比，若同時(shí)在1/4跨和3/4跨處也布置橫隔板時(shí)，畸變內(nèi)力分布才能得到明顯改善。因此，在實(shí)際箱形梁的設(shè)計(jì)中，是否需要布置橫隔板以及在哪些位置布置橫隔板，必須根據(jù)具體情況決定。

跨中布置橫隔板時(shí)箱梁跨中右截面的畸變翹曲剪應(yīng)力分布見圖10，圖10中79.6 kPa為腹板上的畸變翹曲剪應(yīng)力最大值，箭頭表示剪應(yīng)力方向。由圖10可以看出，本例箱梁全截面最大剪應(yīng)力發(fā)生在懸臂板根部，在底板中點(diǎn)及腹板內(nèi)也存在較大的畸變翹曲剪應(yīng)力。

圖10 跨中右截面畸變翹曲剪應(yīng)力分布(單位：kPa)

為了考察懸臂板寬度變化對(duì)畸變翹曲應(yīng)力的影響，引入懸臂板相對(duì)寬度概念。定義懸臂板相對(duì)寬度κ為懸臂板寬度與頂板寬度之比，即κ=b3/b1，在維持頂板寬度b1不變的條件下，令懸臂板寬度從0增大至4.7 m，則相應(yīng)κ從0增大至1.0，用本文解析法得到設(shè)置跨中橫隔板的箱梁跨中截面角點(diǎn)A和角點(diǎn)B處畸變翹曲正應(yīng)力隨κ變化曲線見圖11。由圖11可以看出，隨著懸臂板相對(duì)寬度的增大，角點(diǎn)A處畸變翹曲正應(yīng)力迅速減小，而角點(diǎn)B處畸變翹曲正應(yīng)力絕對(duì)值雖然逐漸增大，但其增大幅度很小?？梢?，角點(diǎn)A處畸變翹曲正應(yīng)力對(duì)懸臂板寬度的變化很敏感。

圖11 畸變翹曲正應(yīng)力隨懸臂板相對(duì)寬度變化曲線

6 結(jié)論

(1) 本文提出了一種適用于跨內(nèi)有橫隔板箱梁的畸變效應(yīng)解析法，將跨內(nèi)橫隔板用相應(yīng)的約束畸變矩代替并根據(jù)變形協(xié)調(diào)關(guān)系確定其大小，從而在初參數(shù)解基礎(chǔ)上獲得有跨內(nèi)橫隔板的箱梁畸變效應(yīng)解析解，通過(guò)Ansys有限元數(shù)值解驗(yàn)證了本文解析法的正確性。

(2) 布置跨中橫隔板雖然可以減小箱梁的畸變變形及畸變橫向彎矩，但同時(shí)顯著改變了箱梁的畸變雙力矩和畸變矩大小及其分布規(guī)律，從而使橫截面內(nèi)畸變翹曲應(yīng)力顯著增大，設(shè)計(jì)中應(yīng)充分重視。

(3) 懸臂板寬度變化對(duì)頂板與腹板交接處的畸變翹曲應(yīng)力有顯著影響；隨著懸臂板寬度的增大，頂板與腹板交接處的畸變翹曲應(yīng)力迅速減小，而腹板與底板交接處的畸變翹曲應(yīng)力變化很小。

(4) 算例箱梁的畸變翹曲剪應(yīng)力最大值發(fā)生在懸臂板根部，在底板中心處及腹板內(nèi)也有較大的畸變翹曲剪應(yīng)力，在驗(yàn)算預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁斜截面抗裂性時(shí)應(yīng)充分考慮畸變翹曲剪應(yīng)力影響。