變拓撲多臂航天器高效統(tǒng)一動力學(xué)建模

王宏旭，柳子然，岳程斐，曹喜濱

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001； 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)空間科學(xué)與應(yīng)用技術(shù)研究院，深圳 518055)

0 引 言

隨著空間技術(shù)的不斷發(fā)展，動態(tài)非合作目標抓捕、大型空間設(shè)施建造等航天任務(wù)對服務(wù)航天器提出了更高的要求。與傳統(tǒng)單臂空間服務(wù)航天器相比，可變拓撲多臂航天器具備多臂協(xié)同、靈活重構(gòu)的能力，是滿足未來多樣化在軌操作任務(wù)和需求的重要手段。變拓撲多臂航天器具有單臂作業(yè)、多臂協(xié)同、多機協(xié)同等多種任務(wù)模式，會產(chǎn)生開鏈、閉環(huán)、環(huán)鏈混合等多種拓撲結(jié)構(gòu)，引起系統(tǒng)動力學(xué)模型發(fā)生相應(yīng)變化。傳統(tǒng)針對單一構(gòu)型的航天器動力學(xué)建模方法效率低下，需要人工介入，極大地限制了在軌服務(wù)航天器的靈活性和工作效率。因此，快速、準確地建立其動力學(xué)模型，是變拓撲多臂航天器研究的基礎(chǔ)與關(guān)鍵所在。

多臂航天器系統(tǒng)在不同任務(wù)形態(tài)下可能存在不同的拓撲結(jié)構(gòu)，這類變拓撲機械系統(tǒng)也被稱為變胞機構(gòu)。變胞機構(gòu)的概念由Dai等[1]于1996年首次提出。針對變胞機構(gòu)動力學(xué)的研究主要分為拓撲構(gòu)型的數(shù)學(xué)描述方法和相應(yīng)的動力學(xué)建模兩部分。對拓撲結(jié)構(gòu)及其變化進行完整準確的描述，是深入研究變胞機構(gòu)的前提和關(guān)鍵所在。目前常用的拓撲結(jié)構(gòu)描述方法有拓撲圖、Huston低序體陣列、關(guān)聯(lián)矩陣和鄰接矩陣等。白國超等[2]提出了用鉸鏈鄰接矩陣對機構(gòu)構(gòu)態(tài)變換進行描述；Dai等[3]用鄰接矩陣描述了變胞機構(gòu)的拓撲結(jié)構(gòu)變化，給出了不同構(gòu)態(tài)之間鄰接矩陣的轉(zhuǎn)化關(guān)系；吳艷榮等[4]將構(gòu)態(tài)切換分為構(gòu)件數(shù)減少、構(gòu)件數(shù)增加、構(gòu)件數(shù)不變?nèi)N情況，詳細敘述了不同情況下各構(gòu)態(tài)之間鄰接矩陣的轉(zhuǎn)化關(guān)系；王汝貴等[5]給出了一種既可衍生鄰接矩陣又可描述變胞機構(gòu)運動副空間位置的構(gòu)態(tài)變換矩陣；Tian等[6]對變胞機構(gòu)的各階段進行分析，得到變胞源機構(gòu)，進而得到相應(yīng)的子結(jié)構(gòu)。周楊等[7]基于各類變化矩陣，將拓撲結(jié)構(gòu)變化過程轉(zhuǎn)化為一系列的矩陣運算，并給出了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型。劉云平等[8]基于通路矩陣和低序體矩陣對多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)進行描述，建立移位算子與拓撲描述矩陣間的聯(lián)系，但未建立相應(yīng)的動力學(xué)模型。當(dāng)前針對變胞機構(gòu)拓撲構(gòu)型描述的研究已經(jīng)比較全面，但描述過程缺乏自主性，且拓撲構(gòu)型描述與動力學(xué)建模相互獨立，缺乏統(tǒng)一性。

在早期多臂航天器的動力學(xué)建模研究中，大多基于牛頓、歐拉、拉格朗日等經(jīng)典動力學(xué)方法，以及基于達朗貝爾原理的Kane方法。但上述方法的計算效率至少為系統(tǒng)自由度數(shù)目的平方數(shù)量級O(n2)，在處理以多臂航天器系統(tǒng)為代表的大型、復(fù)雜、多自由度、多體系統(tǒng)時十分不利。Rodriguez[9]將卡爾曼濾波預(yù)測理論的狀態(tài)方程與多體系統(tǒng)動力學(xué)系統(tǒng)進行比擬，發(fā)現(xiàn)了二者的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展了O(n)階多體系統(tǒng)動力學(xué)的空間算子代數(shù)法(Spatial operator algebra, SOA)，實現(xiàn)了多體動力學(xué)的高效率簡單建模。魏承等[10]應(yīng)用SOA方法針對漂浮基空間雙臂機器人進行了動力學(xué)建模及仿真分析，得到兼顧高精度與高計算效率的動力學(xué)模型。胡景晨等[11]將空間算子代數(shù)與絕對節(jié)點坐標法相結(jié)合，得到了一個復(fù)雜度為O(n)，可處理非線性大變形系統(tǒng)的高效、高精度多柔體動力學(xué)方法。孫占庚等[12]用Kane方法建立了柔性機械臂的動力學(xué)方程，用假設(shè)模態(tài)法對方程進行離散求解，研究了不同模態(tài)截取情況對計算結(jié)果的影響。對于含有閉環(huán)的多體系統(tǒng)，黃文虎等[13]發(fā)展了約束的多體系統(tǒng)動力學(xué)Newton-Euler正交法，在繼承原矢量力學(xué)基礎(chǔ)上給出了結(jié)構(gòu)完善的動力學(xué)方程解析表達式，最后在機器人系統(tǒng)中得到應(yīng)用。陳禮等[14]通過引入約束正交補軸的概念，給出了幾種典型鉸/組合鉸的適用于計算機編程和數(shù)值求解的約束方程生成方法，但需要給定的參數(shù)較多，輸入較繁瑣。Hu等[15]針對對于樹系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)，采用空間算子理論建立了系動力學(xué)模型，但本質(zhì)上還是對多種拓撲構(gòu)型分別建模；史加貝等[16]基于共旋坐標法建立了大變形太陽電池陣展開的多體動力學(xué)模型，研究了電池陣展開過程中的動力學(xué)響應(yīng)及碰撞規(guī)律；邱雪松等[17]建立了兩級往復(fù)太陽能帆板的柔性多體動力學(xué)模型，分析鉸鏈間隙與驅(qū)動力之間的規(guī)律；游斌弟等[18]利用Lagrange和Newton方法建立了衛(wèi)星太陽陣系統(tǒng)的多剛體動力學(xué)模型，研究了鉸鏈副接觸碰撞對太陽陣展開及衛(wèi)星姿態(tài)的影響；黃澤兵等[19]基于Jourdian速度變分原理建立了空間桁架展開的動力學(xué)模型，分析了彈性變形對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。綜上，對于多臂航天器的動力學(xué)建模也已比較完善，計算效率至少為O(n)；但大部分研究僅針對單一拓撲構(gòu)型，不具備變拓撲能力。一部分研究建立了變拓撲系統(tǒng)動力學(xué)模型，但主要應(yīng)用于衛(wèi)星帆板展開、天線展開等簡單變拓撲，無法直接遷移至多臂航天器變拓撲動力學(xué)建模中。

針對上述問題，本文開展了變拓撲多臂航天器高效統(tǒng)一動力學(xué)建模研究。首先，提出了多臂航天器各連桿的構(gòu)型參數(shù)，用以描述連桿間的連接關(guān)系，并提出多臂航天器拓撲描述矩陣自生成算法。其次，基于空間算子代數(shù)理論，將通路矩陣P與空間轉(zhuǎn)移算子φ相結(jié)合，提出變拓撲多臂航天器統(tǒng)一建模方法。最后，將數(shù)值仿真結(jié)果與多體動力學(xué)仿真軟件的仿真結(jié)果進行比對，驗證所提方法的有效性。

1 空間算子代數(shù)建?；A(chǔ)理論

首先，以圖1所示的n體單鏈系統(tǒng)為例，說明SOA建模理論。定義連桿標號為k,其中基座為n+1，末端連桿為1。

圖1 單鏈系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of a single chain system

每個連桿的速度、加速度、力均采用旋量表示如下：

(1)

式中：下角標k表示第k個關(guān)節(jié)；ωk,vk分別表示關(guān)節(jié)k的角速度和線速度矢量；Nk,Fk分別表示關(guān)節(jié)力矩和力矢量。

相鄰連桿間速度、加速度遞推關(guān)系為[20]

(2)

式中：φ(k+1,k)為第k根連桿到第k+1根連桿的空間轉(zhuǎn)移算子；H(k)為第k個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸的方向矢量或線位移單位矢量；θ(k)為繞關(guān)節(jié)k旋轉(zhuǎn)的角度或線位移；a(k)為機械臂的科氏加速度。

相鄰連桿間力、力矩遞推關(guān)系為[20]

(3)

式中：M(k)為第k根連桿的慣性矩陣，僅與連桿自身特性有關(guān)；b(k)為機械臂的離心力。

定義機械臂的系統(tǒng)速度算子為V=[V(1),…,V(n-1),V(n)]T，并以同樣的形式表示機械臂的加速度算子α、科氏力算子a、離心力算子b、力算子f、力矩算子T。則式(2)和式(3)可表示為

(4)

推導(dǎo)得到機械臂系統(tǒng)逆動力學(xué)方程為

(5)

式中：MG表示機械臂廣義慣性矩陣；C表示機械臂的非線性力矩陣；MG表達式為

MG=HφMφTHT

(6)

以上式中φ為空間轉(zhuǎn)移算子，與機械臂拓撲構(gòu)型有關(guān)，對于單鏈結(jié)構(gòu)，其表達式為

(7)

對于樹狀結(jié)構(gòu)，可將其拆分為多個單鏈，每個單鏈為一個分支。在兩個相連的分支中，更接近根部的分支為另一個分支的父分支。對于每個分支，其空間轉(zhuǎn)移算子滿足上述表示形式。對于整個樹系統(tǒng)，其空間轉(zhuǎn)移算子的分塊元素滿足如下關(guān)系：

(8)

由文獻[19]可知，φj,k中的元素定義為：

φj,k(m,l)=φ(mj,lk)=φ(mj,mj-1)

φ(mj-1,mj-2)…φ(lk+1,lk)

(9)

式中：k,j分別表示第k、第j個分支；mj表示在j分支上的編號為m的連桿；lk表示在k分支上的編號為l的連桿。

在傳統(tǒng)動力學(xué)求解過程中，對廣義慣性陣MG的求逆是計算效率為O(n3)的過程，將消耗大量計算時間。在SOA理論中，可將廣義慣量陣進行因式分解，簡化求逆過程。具體地，采用卡爾曼濾波平滑方法將廣義慣性陣表示為如下形式[21]：

MG=(E+HΦK)D(E+HΦK)T

(10)

其逆矩陣為[21]

(11)

式中：K為過渡矩陣;D為對角陣，其求逆過程是算法復(fù)雜度為O(n)階的過程，相較傳統(tǒng)動力學(xué)算法，大大提高了計算效率。

2 拓撲構(gòu)型及其描述方法

2.1 變拓撲多體系統(tǒng)動力學(xué)建模的問題與挑戰(zhàn)

傳統(tǒng)動力學(xué)建模方法大多針對于固定拓撲構(gòu)型的系統(tǒng)，應(yīng)用于變拓撲航天器動力學(xué)建模時會遇到諸多問題與挑戰(zhàn)，具體表現(xiàn)為：傳統(tǒng)動力學(xué)建模過程中，拓撲構(gòu)型描述與動力學(xué)建模相互獨立，沒有聯(lián)系在一起，建模過程繁瑣；傳統(tǒng)動力學(xué)建模中部組件編號嚴格與拓撲構(gòu)型相關(guān)，拓撲構(gòu)型改變后需重新編號，建模效率低；拓撲構(gòu)型及動力學(xué)描述過程仍需要大量人工介入，建模自主性差、效率低。本章將介紹拓撲構(gòu)型及其描述方法。

2.2 變拓撲多臂航天器的拓撲結(jié)構(gòu)

一般的多臂航天器如圖2所示，可用樹形拓撲描述。樹的連桿即為航天器的臂桿；連接連桿的鉸即為航天器的運動關(guān)節(jié)；樹的每條分支即為航天器的每條臂；樹的根連桿即為航天器的中心體；根連桿與慣性空間通過六自由度虛鉸連接。圖中S表示連桿的首端，E表示連桿的末端，下標表示所在連桿編號。對于多臂航天器系統(tǒng)，所有連桿都直接或間接與根連桿相連。對于同一鉸連接的兩個連桿，接近根連桿一側(cè)的稱為內(nèi)接體，遠離根連桿的稱為外接體[13]。

圖2 多臂航天器的基本拓撲結(jié)構(gòu)Fig.2 Topological structure of multi-arm spacecraft

當(dāng)多臂航天器需要執(zhí)行大范圍移動或搬運的在軌任務(wù)時，基本構(gòu)型下的工作空間大小無法滿足任務(wù)需求，可將某個連桿甚至某個完整分支連接至另一個分支的末端，從而大幅拓展航天器的工作空間。例如，將連桿1的S1端從分支1斷開，連接至分支2連桿m的Em端，形成分支2′，如圖3(a)所示；如果需要更大的工作空間，可將分支1的連桿k的Sk端與根連桿斷開，E1端連接至分支2的Em端，形成分支2′，如圖3(b)所示。當(dāng)多臂航天器執(zhí)行多臂夾持任務(wù)時，某些臂的末端與被夾持物體連接，形成環(huán)狀拓撲結(jié)構(gòu)，如圖3(c)所示。當(dāng)多臂航天器執(zhí)行大規(guī)模靈巧操作任務(wù)時，需要兼顧操作高靈活度和大工作空間的要求，可將多個多臂航天器按照一定規(guī)律進行連接，組成大規(guī)模的空間樹網(wǎng)系統(tǒng)，形成復(fù)雜的環(huán)鏈混合結(jié)構(gòu)，如圖3(d)所示。

圖3 典型多臂航天器變拓撲構(gòu)型Fig.3 Typical topological configurations of multi-arm spacecraft

2.3 構(gòu)型參數(shù)定義

為實現(xiàn)空間多臂航天器拓撲結(jié)構(gòu)在軌自主描述，避免人工介入，提升在軌服務(wù)效率。本文提出空間多臂航天器構(gòu)型參數(shù)的概念。

對于如圖1所示的多臂航天器，其基本組成單元為臂桿，臂桿間通過關(guān)節(jié)連接。將臂桿看作樹結(jié)構(gòu)中的結(jié)點，連接臂桿的關(guān)節(jié)看作樹結(jié)構(gòu)中連接結(jié)點的連線，則可定義航天器臂桿的構(gòu)型參數(shù)。具體地，定義構(gòu)型參數(shù)為Cf，其結(jié)構(gòu)如圖4所示。臂桿序號(Link ID)為臂桿在系統(tǒng)內(nèi)的編號，該編號在同一航天器系統(tǒng)內(nèi)唯一。由于航天器中心體通過六自由度虛鉸與慣性空間鏈接，臂桿編號最大值為s+6，其中s表示系統(tǒng)中包含的臂桿總數(shù)，數(shù)值最大的6個編號表示6個單自由度虛擬體，分別表示虛鉸三個方向平動和三個方向轉(zhuǎn)動。臂桿的接口數(shù)(Degree)為該臂桿允許連接的最大桿數(shù)，設(shè)計完成后根據(jù)機電接口確定。一般來說，多臂空間航天器臂桿的接口數(shù)為2。航天器中心體也可看作連桿，其接口數(shù)為多臂航天器最大臂數(shù)。接口指針(Interface)為與對應(yīng)接口連接的臂桿編號，接口的編號在出廠前確定，指針的數(shù)值通過接口處實際采集接口的識別碼生成，指針在構(gòu)型參數(shù)中儲存位置與接口編號一一對應(yīng)。特別的，機械臂末端的接口指針為0，與慣性虛鉸連接的接口指針為s+1。在構(gòu)型參數(shù)的各個參數(shù)中，臂桿序號和允許連接數(shù)在臂桿出廠前確定并寫入軟件中，接口指針根據(jù)在軌實際連接的臂桿編號自主檢測確定。

圖4 構(gòu)型參數(shù)的結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of configuration parameters

具體地，以圖1中k連桿為例，其臂桿序號為k；其接口數(shù)為2；k連桿有兩個接口，分別與k-1連桿、k+1連桿連接，所以其接口指針有兩個，分別為k-1和k+1。k連桿的構(gòu)型參數(shù)可描述為下圖所示的結(jié)構(gòu)。

圖5 構(gòu)型參數(shù)示例Fig.5 Sample of configuration parameters

2.4 拓撲描述矩陣自生成方法

多臂航天器的拓撲構(gòu)型可用基于圖論的關(guān)聯(lián)矩陣S和通路矩陣P進行描述。關(guān)聯(lián)矩陣可以說明鉸hk的內(nèi)接體和外接體，對于n個連桿組成的樹系統(tǒng)，關(guān)聯(lián)矩陣為(n×n)階矩陣，其元素定義為

(12)

通路矩陣P描述由體Bi到根體Bn的通路上有哪些鉸，對于n個連桿組成的樹系統(tǒng)，其也為(n×n)階矩陣，元素定義為

(13)

在多體系統(tǒng)中，通常定義Bi體的內(nèi)接鉸即為hi。所以通路矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣的對角線元素均為1。由通路矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣的定義，得如下關(guān)系：

S·P=E

(14)

式中：E為n階單位方陣。

在建立構(gòu)型描述矩陣的過程中，首先根據(jù)編號找到根體。再以分支為單位，從根體向末端開始遍歷連桿的構(gòu)型參數(shù)。根據(jù)與根體的連接關(guān)系，確定每個臂桿的內(nèi)接體和外接體，從而生成關(guān)聯(lián)矩陣S，對關(guān)聯(lián)矩陣求逆，生成通路矩陣P。

由于多臂航天器在夾持工況下可能存在閉環(huán)拓撲結(jié)構(gòu)，需要對其進行閉環(huán)檢測。具體地，在某一分支的遍歷過程中，如某一連桿的外接體為根體，則系統(tǒng)中產(chǎn)生了閉環(huán)，同時繼續(xù)進行遍歷。當(dāng)系統(tǒng)遍歷完成，對檢測到的閉環(huán)進行拆分，對拆分后的系統(tǒng)重新遍歷，生成拆分后系統(tǒng)的通路矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣。特別地，在夾持外部物體時，外部物體自身無法生成構(gòu)型參數(shù)，需要在夾持操作完成后人為賦值。

上述算法流程如圖6所示。

圖6 算法流程圖Fig.6 Flowchart of the algorithm

3 基于SOA與構(gòu)型矩陣的動力學(xué)建模

3.1 基于構(gòu)型矩陣的動力學(xué)建模方法

在空間算子代數(shù)建模理論中，只有空間轉(zhuǎn)移算子φ和科氏力算子a與系統(tǒng)拓撲連接關(guān)系相關(guān)。而其中，科氏力算子a又可根據(jù)2.4節(jié)算法輸出的內(nèi)接體序列、外接體序列直接得到。所以根據(jù)拓撲構(gòu)型自主快速生成空間轉(zhuǎn)移算子φ是變拓撲多臂航天器動力學(xué)建模的關(guān)鍵所在。

從式(8)可看出，對于空間轉(zhuǎn)移算子的對角線元素，其元素恒存在且不為全零矩陣；對于非對角線元素φj,k，如果j在k到根部的路徑上，則元素存在，否則為全零矩陣。這與拓撲描述矩陣中的通路矩陣定義是一致的：通路矩陣的對角線元素恒存在；非對角線元素，如果i在j在到根部的路徑上，則元素存在，否則元素不存在。

據(jù)此，本文提出變拓撲系統(tǒng)空間轉(zhuǎn)移算子生成思路如下：首先，定義虛擬轉(zhuǎn)移算子φo，用以表征多體系統(tǒng)內(nèi)任意兩個連桿之間均互為內(nèi)接體的情況下，該系統(tǒng)的空間轉(zhuǎn)移算子。這種多體系統(tǒng)實際上是不存在的，故稱為虛擬轉(zhuǎn)移算子。其次，將通路矩陣改寫為一分塊選擇矩陣Ps。具體的，將通路矩陣所有1元素修改為6階單位陣；將所有0元素修改為6階全零方陣。最后，將選擇矩陣Ps與虛擬轉(zhuǎn)移算子φo作哈達瑪積(Hadamard product)，即對應(yīng)分塊子矩陣相乘，得到當(dāng)前拓撲構(gòu)型下系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子φr。虛擬轉(zhuǎn)移算子φo、選擇矩陣Ps、真實轉(zhuǎn)移算子φr的表達式如下：

(15)

(16)

(17)

式中：{i,j}表示分塊矩陣第i行第j列的分塊子矩陣；⊙表示哈達瑪積，即對應(yīng)分塊子矩陣相乘。

在基于SOA的動力學(xué)方程中，除空間轉(zhuǎn)移算子外，其他量均與拓撲構(gòu)型無關(guān)，故將真實轉(zhuǎn)移算子代入動力學(xué)方程，即可完成系統(tǒng)動力學(xué)建模。

傳統(tǒng)動力學(xué)建模中，要求連桿編號滿足末端到基座遞增或遞減的規(guī)則。但本方法采用了完整的虛擬轉(zhuǎn)移算子，經(jīng)選擇矩陣處理后的轉(zhuǎn)移算子可視為傳統(tǒng)算子通過行列變換得到，因此對于連桿編號沒有嚴格要求，僅要求每個連桿編號固定。這種編號性質(zhì)正適合于多臂航天器拓撲構(gòu)型復(fù)雜多變的特點。

3.2 臂桿不對稱情況下的動力學(xué)建模

在空間算子代數(shù)建模理論中，使用到了每個臂桿的慣性矩陣M(k)，其表達式為

(18)

但在實際工程實踐中，機械臂的臂桿往往為非對稱臂，其質(zhì)心通常不在機械臂中心，不同本體坐標系下Ik和Pk(k)均不一致。在SOA動力學(xué)建模理論中，每個連桿的本體系坐標原點定義在內(nèi)接鉸中心，坐標系的定義與拓撲構(gòu)型相關(guān)，由此導(dǎo)致系統(tǒng)慣量參數(shù)變化。例如，對如圖7所示的臂桿，當(dāng)鉸k為該臂桿的內(nèi)接鉸時，其本體坐標系為k系，質(zhì)心向量為b；當(dāng)鉸k+1為該臂桿的內(nèi)接鉸時，其本體坐標系為k+1系，質(zhì)心向量為a。慣性張量矩陣同理。

圖7 臂桿坐標系及質(zhì)心示意Fig.7 The coordinate and the center of mass of the link

針對上述因拓撲構(gòu)型變化，導(dǎo)致的動力學(xué)參數(shù)不一致的問題。本文提出一種基于構(gòu)型參數(shù)的動力學(xué)參數(shù)選擇方法。具體地，預(yù)先分別將不同坐標系定義下的質(zhì)心向量、慣性張量矩陣儲存至計算機中。在動力學(xué)建模過程中，根據(jù)圖6所示算法輸出的內(nèi)接體序列，確定與每個臂桿的內(nèi)接鉸，確定本體坐標系定義，再根據(jù)坐標系選擇對應(yīng)的慣量參數(shù)。

3.3 含閉環(huán)拓撲系統(tǒng)的動力學(xué)建模

對于含閉環(huán)拓撲系統(tǒng)，將系統(tǒng)在閉環(huán)處進行分割，將系統(tǒng)拆分為樹系統(tǒng)。對于分割得到的樹系統(tǒng)，采用SOA進行動力學(xué)建模，再對動力學(xué)方程附加閉環(huán)約束方程，得到含閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)方程[22]。

具體地，對于閉環(huán)結(jié)構(gòu)，定義閉環(huán)約束為

(19)

對式(19)應(yīng)用虛功原理，得到閉環(huán)約束力為

(20)

將式(19)和式(20)合并至系統(tǒng)動力學(xué)方程，可得

(21)

式中：

(22)

(23)

在動力學(xué)求解過程中，首先通過式(23)的第二行求解約束力，再通過第一行求解系統(tǒng)動力學(xué)。

對于多個多臂航天器組成的環(huán)鏈混合系統(tǒng)，同樣地，將系統(tǒng)在閉環(huán)處進行分割，將系統(tǒng)拆分為樹系統(tǒng)，進行樹系統(tǒng)動力學(xué)建模，再附加閉環(huán)約束。與單個航天器的閉環(huán)系統(tǒng)相比，多航天器的環(huán)鏈系統(tǒng)存在多個中心體，需要將其中一個中心體視作整個樹系統(tǒng)的根，其他中心體視作樹系統(tǒng)的連桿，對整個樹系統(tǒng)進行動力學(xué)建模。

3.4 對多柔體系統(tǒng)的推廣

(24)

式中：φ(tk,k+1)為k體經(jīng)有限元離散后與k+1鉸連接的元素到k+1體的轉(zhuǎn)移算子；Km(k)為柔性體的剛度矩陣；?(k)表示k體模態(tài)坐標和鉸坐標組成的廣義坐標；下角標m表示柔性體。式(24)寫成算子形式為

(25)

(26)

對式(25)、式(26)與式(2)～式(6)，顯然相比于多剛體系統(tǒng)，多柔體系統(tǒng)的動力學(xué)模型結(jié)構(gòu)并沒有發(fā)生改變，式(10)～式(12)的關(guān)系仍然成立。因此，對于多柔體系統(tǒng)，本文在3.1節(jié)和3.2節(jié)提出的動力學(xué)建模方法仍適用。

4 仿真驗證

4.1 仿真條件

為驗證上述動力學(xué)建模方法的準確性和有效性，本文分別使用數(shù)值仿真軟件和多體動力學(xué)仿真軟件建立了雙臂航天器的動力學(xué)模型?；緲?gòu)型(構(gòu)型1)下雙臂航天器如圖8所示，雙臂航天器由一個中心體和兩個三自由度機械臂組成，航天器參數(shù)如表1所示。為驗證雙臂航天器變拓撲動力學(xué)模型，本文設(shè)計了幾種航天器構(gòu)型變化，其拓撲構(gòu)型示意如圖9所示。為簡化研究，該雙臂航天器僅可進行二維運動，且基座固定。SOA理論在漂浮基機器臂及三維空間內(nèi)運動領(lǐng)域已有大量研究，可認為SOA理論本身是準確有效的。且本文研究重點為系統(tǒng)的變拓撲特性，并沒有對系統(tǒng)的變拓撲特征進行簡化。因此，本文對空間雙臂航天器所作的簡化是合理的。

圖8 雙臂航天器示意Fig.8 Diagram of a dual-arm spacecraft

圖9 雙臂航天器的拓撲構(gòu)型變化示意圖Fig.9 Diagram of topology configuration changes of a dual-arm spacecraft

表1 航天器參數(shù)表Table 1 Parameters of the spacecraft

4.2 樹狀系統(tǒng)動力學(xué)仿真

在數(shù)值仿真軟件中，采用腳本文件的形式，基于本文提出的動力學(xué)理論，分別針對基本構(gòu)型、構(gòu)型2、構(gòu)型3建立其數(shù)值仿真模型。相應(yīng)地，在多體動力學(xué)仿真軟件中，分別建立不同構(gòu)型的多臂航天器動力學(xué)模型。假定仿真前，所有關(guān)節(jié)均處于零位，初始加速度為0。在仿真過程中，分別對6個關(guān)節(jié)施加q=45°·sin(π·t/2000)的關(guān)節(jié)角運動，其中t為仿真時間，單位為s，比較各關(guān)節(jié)所需輸出的關(guān)節(jié)力矩。以多體動力學(xué)仿真軟件的仿真結(jié)果為基準，驗證算法的準確性。算法生成的通路矩陣如式(27)～式(29)所示，式(27)對應(yīng)圖8所示拓撲構(gòu)型，動力學(xué)仿真結(jié)果如圖10所示；式(28)對應(yīng)圖9(a)所示拓撲構(gòu)型，動力學(xué)仿真結(jié)果如圖11所示；式(29)對應(yīng)圖9(b)所示拓撲構(gòu)型，動力學(xué)仿真結(jié)果如圖12所示。

(27)

圖10 構(gòu)型1動力學(xué)仿真結(jié)果Fig.10 Dynamics simulation results of Configuration 1

(28)

圖11 構(gòu)型2動力學(xué)仿真結(jié)果Fig.11 Dynamics simulation results of Configuration 2

(29)

圖12 構(gòu)型3動力學(xué)仿真結(jié)果Fig.12 Dynamics simulation results of Configuration 3

從式(27)～式(29)中可看出，對于不同拓撲構(gòu)型，本文所提方法均能準確生成相應(yīng)的通路矩陣。從仿真結(jié)果可看出，數(shù)值仿真軟件的仿真結(jié)果能準確地描述系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。對比多體動力學(xué)仿真軟件的仿真結(jié)果，數(shù)值仿真軟件的仿真誤差與實際結(jié)果相差6個數(shù)量級，幾乎可以忽略不計。因此，本文所提出的變拓撲系統(tǒng)動力學(xué)建模方法可應(yīng)用于多種樹狀拓撲系統(tǒng)構(gòu)型，建模方法準確有效。

4.3 閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)仿真

為驗證上述建模方法對于閉環(huán)系統(tǒng)動力學(xué)建模的有效性和準確性，分別建立了如圖13所示的閉環(huán)動力學(xué)系統(tǒng)的數(shù)值仿真模型和多體動力學(xué)仿真模型，航天器參數(shù)如表1和表2所示。同樣地，為簡化模型，驗證建模方法對不同拓撲構(gòu)型的有效性，將航天器基座固定。

圖13 閉環(huán)構(gòu)型示意Fig.13 Diagram of the close-loop configuration

表2 操作目標參數(shù)Table 2 Parameters of the target

仿真前，所有關(guān)節(jié)角均為-45°，初始速度、初始加速度均為0。在仿真過程中，對其中5個關(guān)節(jié)施加0.1 N·m的恒定力矩，其余關(guān)節(jié)自由，比較關(guān)節(jié)的角加速度。以多體動力學(xué)仿真軟件的仿真結(jié)果為基準，驗證算法的準確性。仿真結(jié)果如圖14所示，生成的通路矩陣如式(30)所示。

(30)

圖14 閉環(huán)構(gòu)型動力學(xué)仿真結(jié)果Fig.14 Dynamics simulation results of the close-loop configuration

從式(30)中可看出，對于如圖13所示的閉環(huán)系統(tǒng)，本文提出的算法將系統(tǒng)在連桿3與連桿8中間斷開，變成與圖9(b)類似的單鏈系統(tǒng)，完成了由閉環(huán)系統(tǒng)向樹狀系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換與描述。從仿真結(jié)果可看出，數(shù)值仿真軟件的仿真結(jié)果能準確地描述系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)。對比多體動力學(xué)仿真軟件的仿真結(jié)果，數(shù)值仿真軟件的角加速度誤差曲線為規(guī)則曲線，這可能是積分誤差導(dǎo)致的。但誤差與實際結(jié)果相差3個數(shù)量級，幾乎可以忽略不計。因此，本文所提出的變拓撲系統(tǒng)動力學(xué)建模方法可應(yīng)用于閉環(huán)拓撲系統(tǒng)，建模方法準確有效。

5 結(jié) 論

針對多臂航天器可能存在的開鏈、閉環(huán)、環(huán)鏈混合等多種拓撲構(gòu)型及相應(yīng)動力學(xué)模型變化的問題，本文提出了基于圖論和空間算子代數(shù)理論的變拓撲多體系統(tǒng)動力學(xué)統(tǒng)一建模方法，且具有O(n)階的高計算效率。本文提出多臂航天器構(gòu)型參數(shù)的概念，用于描述航天器臂桿間的連接關(guān)系，并生成用于描述拓撲構(gòu)型的關(guān)聯(lián)矩陣和通路矩陣；將通路矩陣與空間轉(zhuǎn)移算子結(jié)合，考量多臂航天器實際特性，基于空間算子代數(shù)方法建立樹系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)的動力學(xué)模型，該建模方法適用于開鏈、閉環(huán)、環(huán)鏈混合等多種拓撲構(gòu)型，并可擴展到多柔體系統(tǒng)，是一種具有統(tǒng)一形式的高效的動力學(xué)建模方法。數(shù)值仿真軟件的仿真與多體動力學(xué)仿真軟件的仿真結(jié)果對比表明：本文所提方法對于不同拓撲構(gòu)型的多臂航天器均能實現(xiàn)較高精度的建模，建模有效，仿真結(jié)果準確。本文所提出的多提系統(tǒng)變拓撲統(tǒng)一建模方法對未來多臂航天器的設(shè)計與應(yīng)用具有一定的理論參考價值與工程指導(dǎo)意義。