積分形式的Bonnesen型不等式①

馬磊，董旭，曾春娜

1.廣東茂名幼兒師范專科學(xué)校 理學(xué)院，廣東 茂名 525200；2.重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331

等周不等式源于等周問(wèn)題，是幾何中最著名的不等式之一，對(duì)數(shù)學(xué)的諸多分支的發(fā)展起到了重要的促進(jìn)作用． 等周不等式的加強(qiáng)形式是著名的Bonnesen 型等周不等式． 文獻(xiàn)[1]深入研究了平面等周不等式，利用凸體的最大內(nèi)接圓半徑和最小外接圓半徑給出了等周不等式的加強(qiáng)形式，文獻(xiàn)[2]稱這類等周型不等式為Bonnesen型等周不等式，目前，一般簡(jiǎn)稱為Bonnesen型不等式． Bonnesen型不等式是著名的等周不等式的經(jīng)典推廣與加強(qiáng)，它刻畫(huà)了平面上簡(jiǎn)單幾何閉曲線的周長(zhǎng)與其所圍成的面積以及其內(nèi)接圓半徑、外接圓半徑等其他幾何量的關(guān)系． 文獻(xiàn)[3-8]利用積分幾何中的包含測(cè)度理論，系統(tǒng)地得到了這類不等式及其進(jìn)一步的加強(qiáng)形式． 關(guān)于平面多邊形的離散型的Bonnesen型不等式，目前，我們知道的或許只有文獻(xiàn)[9-11]中的結(jié)果，這些不等式的證明都通過(guò)尋找與他們等價(jià)的分析形式的不等式而得到． 我們尚未注意到關(guān)于平面上一般閉凸區(qū)域K的Bonnesen型不等式的純分析等價(jià)形式，如下列經(jīng)典Bonnesen型不等式的純分析的等價(jià)形式至今未知：

(1)

(2)

L2-4πA≥π2(re-ri)2

(3)

其中L，A分別為平面閉凸區(qū)域K的邊界周長(zhǎng)與面積，ri和re分別為K的最大內(nèi)接圓半徑與最小外接圓半徑． 即使K為具有光滑邊界的且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的閉凸區(qū)域，其Bonnesen型不等式的純分析形式的結(jié)論甚少．

M=max{p：0≤θ≤π}

m=min{p：0≤θ≤π}

因此，當(dāng)K關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，不等式(1)，(2)，(3)等價(jià)于下面我們獲得的不等式(4)的特殊形式(5)，(6)，(7)．

設(shè)p(θ)是以π為周期的C2(二階連續(xù)可微)函數(shù)，則

(4)

特別地，當(dāng)m=min{p：0≤θ≤π} 時(shí)，

(5)

當(dāng)M=max{p：0≤θ≤π} 時(shí)，

(6)

從而可得

(7)

注1由于閉凸區(qū)域K的邊界C2光滑且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且p(θ)+p″(θ)>0時(shí)，不等式(5)，(6)，(7)等價(jià)于經(jīng)典的Bonnesen型不等式(1)，(2)，(3)． 因此我們稱積分不等式(5)，(6)，(7)為積分形式的Bonnesen型不等式． 事實(shí)上，我們相當(dāng)于為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且具有光滑邊界的閉凸區(qū)域K的Bonnesen型不等式，找到了一種純分析的證明．

1 主要引理

下面的引理1由文獻(xiàn) [16]給出． 特別地，當(dāng)a=0時(shí)，由文獻(xiàn)[17]利用傅里葉級(jí)數(shù)的方法得到．

引理1設(shè)g(x)，g′(x)∈L2[a，b]，其中b>a≥0，g(a)=g(b)=0，則

(8)

引理2設(shè)u(x)是以T>0為周期的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意的a，都有

(9)

證設(shè)x=t+T，有dx=dt，則

從而

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，則

(10)

證令

g(θ)=p(θ)-p(θ0)

因?yàn)閜(θ)是以π為周期的函數(shù)，則

g(θ0+π)=p(θ0+π)-p(θ0)=p(θ0)-p(θ0)=g(θ0)=0

由(8)式可知

即

由p(θ)是以π為周期的函數(shù)，結(jié)合(9)式可知

因此

又因?yàn)?/p>

故

定理2設(shè)p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，則

(11)

特別地，當(dāng)m=min{p：0≤θ≤π}時(shí)，

(12)

當(dāng)M=max{p：0≤θ≤π}時(shí)，

(13)

證由定理1的(10)式可知

(14)

由于m=min{p：0≤θ≤π}，則存在θm∈[0，π]，使得p(θm)=m． 在(14)式中取θ0=θm，可得

由于M=max{p：0≤θ≤π}，則存在θM∈[0，π]，使得p(θM)=M． 在(14)式中取θ0=θM，可得

推論1設(shè)p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，若

m=min{p：0≤θ≤π}

M=max{p：0≤θ≤π}

則

證由平均值不等式

可知

根據(jù)不等式(12)，(13)可得

推論2設(shè)p(θ)是以π為周期的C2函數(shù)，則

(15)