基于SARAX/DAKOTA的快堆設計多目標優(yōu)化框架開發(fā)與驗證

李曉琪，鄭友琦，杜夏楠，王永平

(西安交通大學 核科學與技術學院，陜西 西安 710049)

與壓水堆相比，快堆的運行經驗相對匱乏。與此同時快堆的設計目標除壽期更長、功率峰因子更小以外還包括獲得更大的輻照量、更深的燃料增殖或焚燒等。在工程實踐中，還需要考慮諸多約束條件，如熱工、瞬態(tài)安全準則等。快堆優(yōu)化設計歸根結底是一個多變量、多目標、有約束的尋優(yōu)問題。考慮到龐大的搜索空間，枚舉法并不可行；考慮到問題的多峰特性，梯度下降法等數學模型亦不可取，因此需要引入智能優(yōu)化算法[1-8]。在本文中使用的遺傳算法作為經典的智能優(yōu)化算法，適合于解決這類多輸入、多目標、帶約束的問題。

反應堆燃料管理包括兩種類型的問題：1) 關注組件的制造參數以及燃料裝量等的“Out-of-core”問題；2) 對現成的組件關注布置方案的“In-core”問題。對這兩種問題進行優(yōu)化的方法分為兩類，分別是確定性方法和隨機性方法。早年關于壓水堆的燃料管理優(yōu)化方法中，確定性方法發(fā)展相對較早，如對燃料和毒物進行脫耦的哈林脫耦方法[9]，通過在中子擴散方程中引入0～1變量，將換料方案優(yōu)化轉化為數學規(guī)劃問題的直接優(yōu)化方法[1,10]等。隨機性方法多為啟發(fā)式，包括模擬微觀粒子熱運動特性實現優(yōu)化的模擬退火算法、對搜索方向進行標記進而提高搜索效率的禁忌搜索算法[11]、模擬動物群落通過標記信息尋找目標的粒子群算法[12]，以及模擬生物種群進化規(guī)律的遺傳算法等。上述隨機性算法通過從某種自然或社會現象中獲得啟發(fā)以實現對方案的定向搜索，具有較強的通用性，基本不依賴于物理背景本身，適用于本文要解決的快堆優(yōu)化設計問題。近年來蓬勃發(fā)展的人工智能推動了神經網絡在堆芯換料優(yōu)化及設計優(yōu)化領域中的應用，通過樣本訓練代理模型進行堆芯參數預測以實現優(yōu)化成為堆芯優(yōu)化研究的一重要方向[13-14]。

遺傳算法最早由從事自適應系統(tǒng)研究的Professor Holland團隊提出。1967年Holland教授的學生Bagley首次在論文中應用了遺傳算法，并使用了包括選擇、交叉、變異、占優(yōu)、倒置在內的遺傳算子。1992年，Poon與Parks最早將遺傳算法用于反應堆燃料管理優(yōu)化問題。在早年用遺傳算法進行反應堆優(yōu)化設計的研究中，優(yōu)化目標基本為keff和功率峰因子[15]。

使用遺傳算法進行換料優(yōu)化與堆芯設計的研究中，通常從隨機或人為給定的一組初始方案出發(fā)，通過不斷迭代改變搜索方向進行尋優(yōu)。如對每個組件進行獨立編號，以編號的排列作為方案的基因[2]，并配合使用改進的算子獲得新基因，從而避免無效方案的產生[16]。早期的研究大多對裝載方案的十進制排列進行二進制編碼，以模擬遺傳現象的本質[17]。對于規(guī)模較大并涉及到換料的問題，文獻[18]提出一種對裝載方案基因分段，分別表示組件類別與循環(huán)次數的方式。由于搜索空間對于整個尋優(yōu)過程是未知的，初始方案的偏移可能導致搜素過程陷入局部最優(yōu)，因此需要慎重確定初始方案。本文提供一種新的編碼方案，對搜索空間中含有的所有個體進行編碼，在優(yōu)化的起始在多個自變量維度上均勻抽取初始方案，從而一定程度避免陷入局部最優(yōu)。

1 理論與優(yōu)化框架開發(fā)

1.1 DAKOTA/SARAX耦合

在本文的優(yōu)化框架中，使用了開源工具箱DAKOTA中的多目標遺傳算法模塊MOGA。DAKOTA工具箱由桑迪亞國家實驗室開發(fā)，包含優(yōu)化、敏感性分析等功能。優(yōu)化模塊MOGA可作為黑箱使用，由中子學計算程序SARAX[19-20]對個體(方案)進行分析(計算)并反饋給DAKOTA作為遺傳操作的憑據。SARAX是由西安交通大學開發(fā)的快堆中子學計算程序，適用于快堆的臨界和次臨界計算。使用Python腳本將兩個外部程序進行耦合，功能是將DAKOTA提供的個體(方案)翻譯為堆芯計算的參數或建模作為輸入卡片傳遞給SARAX，并調用SARAX進行穩(wěn)態(tài)計算、燃耗計算、反應性計算等，在計算結束后將計算結果處理成遺傳算法可以讀取的“適應度”即衡量方案優(yōu)劣的指標返還給DAKOTA進行下一步操作。

SARAX是一套中子學計算程序，包括用于截面產生的模塊Tulip、堆芯穩(wěn)態(tài)計算模塊Lavender及瞬態(tài)模塊Daisy。本文的工作集中在使用預先準備的截面實現堆芯層面的參數或裝料的優(yōu)化方案搜索，使用堆芯穩(wěn)態(tài)計算模塊Lavender。

在燃料管理與堆芯設計中使用遺傳算法，流程如圖1所示，分為以下步驟：1) 遺傳算法模塊產生第1代隨機個體(方案)的基因文件，翻譯成堆芯程序輸入后傳遞給堆芯計算模塊；2) 堆芯計算的結果處理成適應度函數返回給遺傳算法模塊；3) 遺傳算法模塊進行選擇、交叉、變異操作，形成包含新個體(方案)的種群；4) 重復步驟3和4直到種群收斂。

圖1 堆芯設計和燃料管理中的遺傳算法流程Fig.1 Genetic algorithm flowchart in design of reactor core and fuel management

該流程在本框架中的數據流動如圖2所示。

圖2 優(yōu)化框架的流程圖Fig.2 Flowchart of optimal frame

1.2 編碼策略

遺傳算法模仿生物進化的過程，其中包含一個重要的步驟即基因與設計參數或裝載方案之間的編碼/解碼過程。將二進制或十進制的編碼翻譯成連續(xù)的堆芯參數相對簡單，而翻譯成裝載方案則需要一定的策略。

本文提出了一種直接實現十進制基因文件與裝載排列或組合方案之間的一一映射的編碼/解碼思路，并用于此框架，具體實現如下。

1) 從十進制到全排列

在這種裝載策略下，每一個組件具有獨一無二且連續(xù)的編號，組件數量與裝載位數量一致，如圖3所示。使用一種映射算法“康托展開”，實現十進制整數與全排列之間的一一映射。表1列出對3個數字1/2/3進行全排列下排列方式與序號之間的對應關系。此過程可以通過式(1)實現。

圖3 全排列問題Fig.3 Arrangement problem

X=a[n]×(n-1)!+a[n-1]×

(n-2)!+…+a[i]×(i-1)!+

…+a[1]×0!

(1)

式中：a[1]，…，a[n]為全排列時第n位上的組件編號(對組件從1開始編號)；X為該全排列的十進制序列號(從0開始)，對于本框架相當于基因從十進制基因到全排列的過程，需要將表1右側的十進制整數(即基因)翻譯成左側的排列方案，進而作為組件的布置，此過程可通過康托展開的逆過程實現。

表1 十進制整數與全排列的對應Table 1 Correspondence between decimal integer and full permutation

2) 從十進制整數到組合數

對于大多數裝載策略，同一類型的組件有多個，都需要參入到排列中。如果直接套用上述的全排列思路，則會產生多個基因對應本質上同一種排列方式的問題，導致大量重復方案產生，進而影響優(yōu)化效果。對于這種組合問題，本文提供一種編碼方案：(1) 先針對一種類型的組件，挑選相應數量的裝載位，此過程是1個組合問題，其中需要進行1次十進制整數與組合數之間的映射，即將十進制整數轉換為一系列組合數，而這個組合數就是裝載該種類型組件的裝載位，此十進制數是基因的一段；(2) 對另一種類型的組件，在剩下的裝載位上重復過程1，以此類推；(3) 當只剩下一種類型的組件，則直接填充剩下的裝載位。

組合問題的編碼過程如圖4所示。

圖4 組合問題的編碼Fig.4 Coding of combinatorial problem

考慮到如圖5所示的情況，待裝載的組件總數比裝載位多。解決方案是在原基因前增加一段，用于決定哪些組件不參與此次排列。

圖5 考慮的后備組件Fig.5 Considering of reserved assembly

由于快堆不需要考慮1/4對稱或1/8對稱的情況，上述編碼方案基本可以應對快堆中的編碼問題，并且具有以下優(yōu)勢：(1) 有效方案與指定范圍內連續(xù)變化的基因一一對應，搜索空間中每個個體都有1個獨一無二的編號，利用這些編號可在優(yōu)化初始進行均勻抽樣，無需提供初始方案，如圖6所示；(2)基因型的微小變化對應表現型的微小變化，該特點對于隨機性優(yōu)化算法是重要的評估標準。

a——傳統(tǒng)遺傳算法初值選??；b——本文改進方法初值選取圖6 初始方案的分布Fig.6 Distribution of initial scheme

1.3 多目標處理

遺傳算法廣泛用于多目標優(yōu)化問題，包括反應堆設計和燃料管理。由于優(yōu)化目標不止1個，如何讓算法綜合考慮每個優(yōu)化目標以評估方案的優(yōu)劣，直接影響到優(yōu)化效果。處理方式分為兩種類型：將多目標與約束條件按權重組合成1個適應度函數作為評估準則，或直接使用多目標。本文搭建的框架中，使用了DAKOTA中內置的多目標適應度處理功能domination_count和layer_rank。這兩種功能對被評估的個體在每個優(yōu)化目標維度上進行比較，將“占優(yōu)”數量作為評估個體優(yōu)劣程度的指標。這與傳統(tǒng)的將多目標用1組權重線性相加合成1個適應度函數相比，不需要人為給定權重，使用更簡單且不易因為權重選取不合適導致對多目標評估的偏差，是遺傳算法適應度函數處理當下發(fā)展的一個主流做法。

1.4 約束條件處理

除優(yōu)化目標，方案優(yōu)化問題中可能需要設置約束條件，對不滿足約束條件的方案直接淘汰。由于遺傳算法通過適應度函數對方案進行評估，因此約束條件也將通過作用于方案的適應度函數來實現，稱為罰函數，即對不滿足某個約束條件的方案在其適應度函數后加上1個數值，降低該方案在后續(xù)的選擇操作中被選中的概率。對于多目標問題，當采用將多目標與約束條件按權重組合成1個適應度函數的權重法處理方式時，將罰函數按式(2)所示添加在適應度函數中即可。本文中直接使用多目標優(yōu)化，則將罰函數依次添加在不符合某一條件的方案的每一個優(yōu)化目標函數值內。

fit=ω1f1+ω2f2+…+P

(2)

式中：ωi為優(yōu)化目標i的權重；fi為優(yōu)化目標i在當前方案下的值；P為罰函數，當前方案不滿足某個約束條件時P不為0，都滿足則取為0。

2 優(yōu)化框架驗證

2.1 旅行商問題

在對反應堆優(yōu)化設計問題進行框架驗證之前，先通過1個旅行商問題(TSP)驗證編碼方案是否合理以及DAKOTA內置選項使用是否正確。

此處設計了1個簡單的TSP：若干城市以1個單位長度為間隔排列成1圈，則最短路徑是依次環(huán)繞這些城市1圈，如圖7所示。該模型的優(yōu)點是容易確定最短路徑與對應的距離，并且易于增加或減小問題的規(guī)模。

圖7 簡化旅行商問題Fig.7 Simplified TSP problem

本文考慮了12個城市，即進行12個整數的全排列問題搜索，解空間的大小為479 001 600個方案，最優(yōu)方案數目為24個，隨機生成初始方案。適應度即為當前方案下遍歷12個城市的路徑長度。遺傳算法參數設置列于表2。方案搜索過程中，每代最短路徑變化如圖8所示。DAKOTA內置小生境選項，即根據當前種群個體的分散或聚集程度，通過調整個體適應度，避免個體分布過于集中，以提高種群的基因多樣性從而避免陷入局部最優(yōu)。測試表明，本文給出的編碼方案可在無初值的條件下，可接受計算時間內，配合小生境的使用，對12個城市的TSP收斂到全局最優(yōu)，從而驗證了編碼方案的合理性，以及DAKOTA遺傳算法參數的選擇的正確性。

表2 TSP的遺傳算法參數設置Table 2 Parameter setting in TSP

圖8 城市數為12的TSP收斂Fig.8 Convergence of 12 cities TSP

2.2 基于ABTR的優(yōu)化與枚舉法

本文基于先進燃燒實驗堆ABTR的燃料裝載優(yōu)化，通過與同一問題的枚舉結果對比，驗證本文提出的編碼方式對于十進制與組合數轉換的處理。ABTR是一個用于驗證嬗變技術的概念堆，堆中有兩種不同富集度的燃料組件，其中高富集度燃料分布在外圈，低富集度燃料分布在內圈，周期為4個月，批數分別為12和15。此外還有一些用于進行材料輻照實驗的測試組件分布在活性區(qū)中。堆芯活性區(qū)的1/3示意圖如圖9所示。

圖9 ABTR原始活性區(qū)布置Fig.9 Original active zone layout of ABTR

對給定數量的3種燃料組件，重新布置其排列方式，目標是對keff和功率峰因子擾動最小的前提下在測試組件中獲得最大的中子通量。以1/6堆為對稱條件，解空間有1 260個方案，通過枚舉獲得每個可能方案的3個參數，作為判斷優(yōu)化搜索是否尋找到最優(yōu)解的依據。在該問題下，基因文件具有兩段信息，分別用于決定外圈高富集度燃料(未必仍然排在外圈)和內圈低富集度燃料在堆芯中的位置。當兩種燃料的位置確定后，剩余位置即為測試組件的位置。對3個優(yōu)化目標的函數值采用1∶1∶1的權重加和為1個適應度函數，其中keff和功率峰因子擾動量的絕對值直接取為優(yōu)化目標函數值，測試組件的中子通量取負作為優(yōu)化目標函數值，如式(3)所示。

fit=ω1keff+ω2|ppf-ppf0|+ω3(-φtest)

(3)

式中：ω1、ω2、ω3為權重，ω1=ω2=ω3=1；ppf和ppf0分別為當前方案下的功率峰因子和原始方案的功率峰因子；φtest為測試組件處的中子通量。

經過對353個個體的計算，獲得了一最終優(yōu)化結果，堆芯活性區(qū)布置示意圖如圖10所示。此外對整個優(yōu)化空間的1 260個方案依次進行中子學計算，并記錄下keff、功率峰因子、測試組件處的中子通量密度，與最終優(yōu)化結果一起繪制成三維示意圖，如圖11所示。用kh表示功率峰因子，T_flux表示測試組件處的中子通量密度，紅色點表示搜索出的最優(yōu)方案，在二維坐標上的投影如圖12所示。

圖10 優(yōu)化框架提供的最優(yōu)方案Fig.10 The best scheme provided by optimal frame

圖11 最優(yōu)方案在完整解空間中的分布Fig.11 Distribution of optimal schemein whole solution space

圖12 最優(yōu)方案在二維坐標的投影Fig.12 Mapping of optimal scheme in two-dimensional coordinate

3 優(yōu)化框架在實際問題中的使用

引入中國實驗快堆(CEFR)作為研究目標。CEFR是中國第一座鈉冷實驗快堆，運行周期為80 d，活性區(qū)布置如圖13所示，是一個用于各種燃料、材料輻照實驗與放射性同位素生產的優(yōu)良平臺[21]?？於训挠猛局皇峭凰胤贌蜕a，可以用于焚燒隨著壓水堆的運行產生的大量對環(huán)境有危害的237Np。237Np可通過嬗變轉換成能制作同位素電源的238Pu。基于CEFR堆芯，裝載含有237Np的組件以實現238Pu在1個運行周期內產量最大化為目標，同時保證后備反應性、功率形狀分布盡可能不偏離原始堆芯。237Np以NpO2的形式裝載到堆芯中，包括在燃料活性區(qū)和增殖區(qū)的裝載，如圖14所示。通過搜索在哪個組件的活性區(qū)或增殖區(qū)中裝載以及活性區(qū)中的裝載量，實現表3所列的優(yōu)化目標與約束條件。其中對功率波動的優(yōu)化與約束是由于考慮Np的裝載影響堆芯的中子價值，進而影響控制棒組的價值，而7%的功率波動限值是考慮了CEFR的反應性控制系統(tǒng)設計誤差限給出的經驗值。

圖13 CEFR的活性區(qū)布置Fig.13 Layout of active zone in CEFR

表3 優(yōu)化目標與約束Table 3 Optimization objective and constraint

圖14 裝載NpO2的組件Fig.14 Subassembly with NpO2

此處采用直接的多目標優(yōu)化方法，故不構造適應度函數，而是由DAKOTA直接對每個方案的每個優(yōu)化目標之間進行比較。

使用DAKOTA內部提供的rank_method作為選擇算子，個體在keff和功率波動兩個維度上的分布如圖15所示，其中紅框內是符合約束條件的個體。顯而易見，符合條件的個體在這種搜索條件下并沒有得到很好的保存，原因是在rank_method內，以罰函數形式出現的約束條件并不能發(fā)揮作用。隨后將選擇算子改為傳統(tǒng)的權重函數加和的形式，獲得的個體在keff和功率波動兩個維度上的分布如圖16所示。其中最優(yōu)方案的堆芯布置如圖17所示，對應的功率波動分布如圖18所示。在該方案下，237Np的轉換率為0.616%，80 d238Pu產量為0.549 kg。

圖15 rank_method個體的keff和功率波動Fig.15 keff and power fluctuation of individual in rank_method

圖16 權重法個體的keff和功率波動Fig.16 keff and power fluctuation of individual in weighting method

圖17 最終方案的堆芯布置Fig.17 Core layout of final scheme

圖18 最終方案的功率波動Fig.18 Power fluctuation of final scheme

4 總結

本文搭建了一個用于快堆設計的優(yōu)化框架，可實現讀入一定范圍的決策變量、優(yōu)化目標以及約束條件。搜索過程基于初始均勻抽樣，對應提出一套對整個解空間進行編碼的編碼方式，可以對排列問題、組合問題進行連續(xù)編碼。基于該框架，驗證了簡化的TSP、ABTR裝料問題，從而證明編碼方式的合理性和框架的可行性。最后通過一個基于CEFR實現Np-Pu生產優(yōu)化的算例示范了優(yōu)化框架在工程實際中的具體應用。