剛性基底彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板各受載條件下屈曲分析

吳 韜， 莫時(shí)旭,b， 向勇斌， 鄒澤群， 鄭 艷,b

(桂林理工大學(xué) a. 土木與建筑工程學(xué)院； b. 廣西巖土力學(xué)與工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣西 桂林 541004)

隨著鋼材加工性能的改善，輕型化、薄壁化的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)在工程中有著越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，薄板鋼結(jié)構(gòu)帶來(lái)的穩(wěn)定性問(wèn)題越來(lái)越受到重視.部分充填混凝土-窄幅鋼箱連續(xù)組合梁中支座處的下箱室由于充填了混凝土，底板和腹板的局部抗屈能力較大提高.但是要使其達(dá)到結(jié)構(gòu)實(shí)際使用的要求，還需要進(jìn)一步研究合理的截面尺寸，建立該種條件下薄板實(shí)用的局部屈曲強(qiáng)度計(jì)算公式.

近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者從不同方向出發(fā)，提出對(duì)薄板屈曲問(wèn)題的多種研究方法.文獻(xiàn)[1-6]分別運(yùn)用不同方法研究了各種邊界條件矩形薄板在不同條件下的屈曲問(wèn)題.

薄板屈曲的一大主流研究方法是能量法.能量法主要包括Galerkin法(伽遼金法)和Rayleigh-Ritz法(瑞利-里茲法)等.根據(jù)屈曲模態(tài)的不同，矩形薄板的屈曲理論又可分為兩類(lèi).一類(lèi)是雙向屈曲問(wèn)題.Timoshenko等[7]利用里茲法研究了在周邊不同邊界條件下受面內(nèi)不同作用力的矩形薄板彈性屈曲理論模型.Qiao等[8-9]根據(jù)屈曲模態(tài)提出多種撓曲面函數(shù)，研究了四邊受均布?jí)毫λ倪厪椥赞D(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板的屈曲和受剪切荷載兩對(duì)邊簡(jiǎn)支兩對(duì)邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板的臨界屈曲荷載.陳沐宇等[10]采用里茲法推導(dǎo)了彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束的鋼混組合梁腹板在彎曲、剪切荷載單獨(dú)作用下的臨界屈曲應(yīng)力.另一類(lèi)是單向屈曲問(wèn)題.Wright[11]研究了鋼管約束混凝土的局部屈曲問(wèn)題.毛佳等[12]運(yùn)用里茲能量法獲得彈性支承上非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束均勻受壓矩形板的臨界荷載計(jì)算公式.鄭艷等[13-14]研究了剛性基底上非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束受面內(nèi)線(xiàn)性壓力作用下的矩形板局部屈曲問(wèn)題.

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)基于剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界受面內(nèi)復(fù)雜荷載作用矩形薄板的屈曲問(wèn)題研究尚少，對(duì)于復(fù)雜邊界條件下的屈曲問(wèn)題多依賴(lài)試驗(yàn)和有限元數(shù)值分析[15-16]，這對(duì)于參數(shù)分析有較大局限性.獲得具有剛性基底和彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界薄板的屈曲系數(shù)解析解，研究相關(guān)的理論公式仍極具意義.因此本文運(yùn)用Rayleigh-Ritz法探究了在剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界薄板在四邊受壓、受剪的屈曲模式，分別獲得臨界屈曲系數(shù)的理論計(jì)算公式，依據(jù)相關(guān)規(guī)范中穩(wěn)定相關(guān)性公式確定組合應(yīng)力下的屈曲方程，并采用殼單元和彈簧單元建立相關(guān)有限元模型驗(yàn)證本文理論計(jì)算的適用性及正確性.還對(duì)不同轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度下的臨界屈曲系數(shù)進(jìn)行了參數(shù)分析.

1 剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形 薄板屈曲分析

使用靜力法求解板的屈曲問(wèn)題，確定板的撓曲面函數(shù)必須歸諸于板在相應(yīng)荷載下的彎曲平衡微分方程在相應(yīng)邊界條件下的積分：

(1)

式中：w=w(x,y)為板的撓曲面函數(shù)；D為板的單寬抗彎剛度；Nx、Ny和Nxy為板中面沿x、y方向的壓力荷載和xOy面內(nèi)的剪力荷載;E、ν為板的彈性模量及泊松比；t為板厚.作為高階偏微分方程，其求解是困難的.Rayleigh-Ritz法作為應(yīng)用勢(shì)能駐值原理求解穩(wěn)定問(wèn)題的一種近似方法，采用具有廣義坐標(biāo)的位移函數(shù)近似地代替真實(shí)位移曲面方程，也即將泛函變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)極值問(wèn)題，將求解偏微分方程變?yōu)榍蠼獯鷶?shù)方程來(lái)處理.

1.1 剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板線(xiàn)性荷載壓 屈分析

1.1.1計(jì)算模型以及撓曲面函數(shù)的選取 先考慮受壓屈曲的情形.為了滿(mǎn)足彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束的邊界條件，撓曲面函數(shù)的選取必須滿(mǎn)足一定條件.圖1所示為剛性基底上雙邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板受壓屈曲模型，圖中γ為長(zhǎng)寬比.通過(guò)選取帶參數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)模擬在y方向上的彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界[9]，選取一般三角級(jí)數(shù)來(lái)模擬在x方向上的固支邊界和單向屈曲模態(tài)，則剛性支承上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形板壓屈時(shí)面外位移函數(shù)的形式為

(2)

(3)

(4)

式中：m、n分別為x、y方向的屈曲半波數(shù)；am為廣義坐標(biāo)；a為板長(zhǎng)；參數(shù)N為需根據(jù)板非加載邊的邊界條件方程個(gè)數(shù)確定.在式(3)中，為了構(gòu)造彈性邊界的特征函數(shù)，考慮冪級(jí)數(shù)[12]：

(5)

將式(5)代入式(3)，將式(3)、(4)代入式(2)，即可寫(xiě)出彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束受壓矩形板的撓曲面函數(shù)為

(6)

式中：b為板寬.

圖1 剛性基底上雙邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板受壓屈曲模型Fig.1 Local compressive buckling mode of rectangular plate with rotationally restrained sides on rigid base

如圖1(a)所示，矩形薄板的厚度為t；作用在剛性基底上，加載邊y=0、y=b的彈性轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分別為kb、kt.為分析方便，可以假設(shè)薄板的上下邊界均布兩種剛度的彈簧.

如圖1(b)所示，N0和Nb為y=0和y=b處的壓力荷載，簡(jiǎn)支邊x=0、x=a受面內(nèi)荷載Nx作用，彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊y=0、y=b受荷載Ny作用，沿作用邊線(xiàn)性分布，單位板寬的荷載表達(dá)式為

Nx=σxt

(7)

Ny=μN(yùn)x

(8)

(9)

式中：μ為縱橫荷載比；σ0為y=0處的壓應(yīng)力值；λ=(σ0-σb)/σ0為荷載梯度.

顯然該位移函數(shù)滿(mǎn)足邊界x=0、x=a面外位移為0和轉(zhuǎn)角為0的邊界條件.根據(jù)邊界y=0、y=b受彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束的邊界條件，面外位移為0且板邊彎矩與約束力矩相等，即滿(mǎn)足：

(10)

(11)

(12)

根據(jù)彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界的邊界條件方程個(gè)數(shù)，式(6)中N可取為4，則式(6)可改寫(xiě)為

(13)

式中：待定系數(shù)a0～a4是由邊界條件式(10)～(12)確定.

將式(13)代入式(10)～(12)，求出待定系數(shù)a0～a4：

a0=0

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：χb、χt為引入的無(wú)量綱剛度系數(shù).

則撓曲面函數(shù)可表示為

(19)

式中：廣義坐標(biāo)bm=a1am；ai(i=2, 3, 4)的值由式(14)～(17)給出.

1.1.2壓屈板各部分能量及其變分 板產(chǎn)生彈性屈曲變形的彎曲應(yīng)變能：

(20)

上下邊界受彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束的勢(shì)能：

(21)

面內(nèi)線(xiàn)性壓力荷載所作的功：

(22)

對(duì)彎曲應(yīng)變能求一階變分為

(23)

邊界彈性約束勢(shì)能的一階變分為

(24)

對(duì)壓力做功求一階變分：

(25)

根據(jù)最小勢(shì)能原理有：

δΠ=δUe+δUΓ-δWN=0

(26)

式中：Π=Ue+UΓ-WN，為板產(chǎn)生屈曲變形時(shí)的總勢(shì)能.于是

(27)

將求解泛函變分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于bm的特征值問(wèn)題，由式(27)可得關(guān)于bm的線(xiàn)性方程.為了使廣義坐標(biāo)bm存在非零解，則其系數(shù)矩陣的行列式必須為0.由此可求得矩形板在線(xiàn)性壓力作用下發(fā)生屈曲的臨界荷載Nx，其表達(dá)式可整理為

(28)

對(duì)于單位厚度的線(xiàn)性荷載：

(29)

式中：κ為受壓屈曲系數(shù).

1.1.3壓屈板臨界屈曲系數(shù)的解析解 將式(19)代入式(23)～(27)，可得到剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形板受四邊線(xiàn)性壓力荷載時(shí)的屈曲系數(shù)解析解為

(30)

A1=η1+η2+η3

A2=η4+η5+η6

A3=η7+η8+η9

A4=η10+η11+η12

A5=η13+η14+η15

式中：長(zhǎng)寬比γ=a/b；η1～η15為剛度系數(shù)χb、χt的函數(shù)；η10～η15還包含荷載梯度λ.

η11=18χb[18(52-31λ)+105(2-λ)χt+

η12=162[204(2-λ)+2(52-21λ)χt+

η14=2χb[12(95-51λ)+136(2-λ)χt+

η15=2[2 232(2-λ)+12(95-44λ)χt+

由此可見(jiàn)，屈曲系數(shù)κ是半波數(shù)m、剛度系數(shù)χb、χt、長(zhǎng)寬比γ、荷載梯度λ和縱橫荷載比μ的函數(shù).

取λ=0，由式(30)可得，對(duì)于每一屈曲半波m=1, 2, …, 可繪制出κ與γ的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖2所示.

圖2 κ與γ的關(guān)系曲線(xiàn)(λ=0, χb=χt=0)Fig.2 κ versus γ(λ=0, χb=χt=0)

(1) 當(dāng)μ=0即Ny=0時(shí)，κ-γ曲線(xiàn)如圖2(a)所示，可見(jiàn)每一支曲線(xiàn)先減再增，最低點(diǎn)處為臨界屈曲系數(shù).

各屈曲半波數(shù)m和γ相關(guān)，若表示半波m=p-1 與m=p兩支曲線(xiàn)相交，則令：

κ|m→p-1=κ|m→p

(31)

式中：p-1表示前一半波數(shù).式(31)為曲線(xiàn)交點(diǎn)(γp-1, p,κp-1, p)所滿(mǎn)足.代入式(30)，可得：

(32)

p(γ)=γ-1(p)=

(33)

m=[p(γ)]

(34)

式(34)表示對(duì)p(γ)取整.

(2) 當(dāng)μ>0即四邊均受壓時(shí)，κ-γ曲線(xiàn)的形態(tài)出現(xiàn)較大差異，如圖2(b)所示.在特定條件下曲線(xiàn)的每一支單調(diào)遞減，最終收斂于某一值，即臨界屈曲系數(shù).探索縱橫荷載比μ對(duì)于κ-γ曲線(xiàn)單調(diào)性的影響，令?κ/?γ=0，代入式(30)得：

(35)

μ(γ)是單支κ-γ曲線(xiàn)的下界，若要使每一支κ-γ曲線(xiàn)單調(diào)，γ將趨于無(wú)窮大，即

(36)

當(dāng)給定荷載梯度λ和剛度系數(shù)χb、χt時(shí)，式(36)給出每一支κ-γ曲線(xiàn)滿(mǎn)足單調(diào)遞減的縱橫荷載比最小值.以λ=0、χt=10、χb=0為例，代入式(36)得μmin=0.845，即當(dāng)縱橫荷載比μ大于0.845時(shí)，屈曲系數(shù)κ始終隨著薄板長(zhǎng)寬比γ的增大而減小，并收斂于臨界值κcr.

1.1.4壓屈板臨界屈曲系數(shù)參數(shù)分析 設(shè)當(dāng)κ取得最小值κcr時(shí)，縱橫比為γcr.令?κ/?γ=0，代入式(30)得：

(37)

式(37)也可通過(guò)式(35)的反算推出.

將式(37)代入式(30)，得臨界屈曲系數(shù)：

(38)

進(jìn)一步得臨界屈曲荷載：

(1)γcr與χb、χt的關(guān)系.

由式(37)可得m=1時(shí)，γcr隨χt、χb變化的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖3所示.μ=0，對(duì)于χb=0，χt=0, 5, 10, 50, 100時(shí)，γcr分別為1.519，1.350，1.302，1.237，1.226.由此可見(jiàn)，相同屈曲半波數(shù)時(shí)，γcr隨著χb、χt的增大而減小.χt一定時(shí)，γcr隨著χb的增大而減小.χt增大時(shí)，γcr-lgχb曲線(xiàn)整體下降，且γcr的變化幅度減緩.由于彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界的剛度系數(shù)χb、χt具有對(duì)稱(chēng)性，γcr-lgχt曲線(xiàn)隨χb的變化規(guī)律與圖3完全一致.

(2)κcr與χb、χt的關(guān)系.

由式(38)可得λ=0,χb=χt時(shí)，曲線(xiàn)κcr-lgχb隨縱橫荷載比μ變化的關(guān)系，如圖4(a)所示.縱橫荷載比越大，臨界屈曲系數(shù)越小；縱橫荷載比為負(fù)值時(shí)，Ny表現(xiàn)為拉力，因此臨界屈曲系數(shù)大幅提升.

當(dāng)μ=0,χb=χt時(shí)，曲線(xiàn)κcr-lgχb隨荷載梯度λ變化的關(guān)系如圖4(b)所示.荷載梯度越大，矩形板受拉區(qū)越大，臨界屈曲荷載越大，相應(yīng)的屈曲越難發(fā)生.

同樣，當(dāng)λ=0,μ=0時(shí)，曲線(xiàn)κcr-lgχb隨單邊彈性剛度系數(shù)的χt變化如圖4(c)所示.隨著χt的增大，κcr-lgχb曲線(xiàn)整體上升，但κcr的變化幅度減緩，可見(jiàn)板彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界剛度的提高對(duì)板抗屈能力的提升是有限的.

對(duì)χb取常用對(duì)數(shù)，可看出每條κcr-lgχb曲線(xiàn)都有上、下兩條漸近線(xiàn)，分別代表矩形板彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界退化為固支和簡(jiǎn)支時(shí)的臨界屈曲系數(shù)κcr.

圖3 γcr與χb、χt的關(guān)系Fig.3 γcr versus χb and χt

圖4 κcr與lg χb的關(guān)系Fig.4 κcr versus lg χb

1.2 剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形板純剪屈曲分析

1.2.1計(jì)算模型以及撓曲面函數(shù)的選取 剛性基底彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板受剪屈曲的計(jì)算模型如圖5所示.

圖5 剛性基底雙邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束受剪薄板屈曲模型Fig.5 Buckling mode of rectangular plate under shear with rotationally restrained sides on rigid base

與受壓屈曲相似，矩形板受剪屈曲時(shí)的撓曲面函數(shù)滿(mǎn)足式(2)，由分別滿(mǎn)足x和y方向的邊界條件函數(shù)耦合而成.x方向的特征函數(shù)仍選用式(4)，為構(gòu)造y方向彈性邊界的特征函數(shù)，考慮選用關(guān)于待定權(quán)重系數(shù)w1的三角函數(shù)一次組合：

(39)

(40)

(41)

但是受剪屈曲時(shí)由于傾斜角的存在，如圖6所示，假設(shè)板的變形是線(xiàn)性，且滿(mǎn)足小變形假設(shè)，則圖示的理想傾斜節(jié)線(xiàn)的坐標(biāo)近似滿(mǎn)足以下關(guān)系：

(42)

(43)

式中：α為節(jié)線(xiàn)與y軸的傾斜角.

圖6 受剪薄板屈曲變形示意圖Fig.6 Buckling deformation diagram of plate under shear

為簡(jiǎn)化模型，將兩彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界的剛度均取為ky，將式(39)～(43)代入式(2)，可寫(xiě)出剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束受剪矩形板屈曲時(shí)的撓曲面函數(shù)為

(44)

w1由板的邊界條件方程式(10)～(12)確定：

(45)

1.2.2剪屈板各部分能量及其變分 剛性基底矩形板受剪屈曲時(shí)各部分能量與壓屈板屈曲時(shí)各部能量基本一致.

將式(21)修改為

(46)

將式(22)修改為

(47)

同樣可求得矩形板在剪切荷載作用下發(fā)生屈曲的臨界荷載Nxy，其表達(dá)式同樣可整理為

(48)

式中：κ2為受剪屈曲系數(shù).

1.2.3剪屈板臨界屈曲系數(shù)的解析解 為后續(xù)參數(shù)化研究，引入無(wú)量綱剛度系數(shù)：

將式(44)代入式(26)～(27)，可得到剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形板受剪切荷載時(shí)的屈曲系數(shù)解析解為

(49)

式中：ξ1～ξ4為屈曲半波數(shù)n和剛度系數(shù)χ2的函數(shù).

由此可見(jiàn)，屈曲系數(shù)κ是半波數(shù)m，n、剛度系數(shù)χ2、長(zhǎng)寬比γ和節(jié)線(xiàn)傾斜角α的函數(shù).

圖7 受剪薄板κ與γ關(guān)系曲線(xiàn)Fig.7 κ versus γ of plate under shear

同樣，當(dāng)n=1時(shí)，由式(49)可知，對(duì)于每一屈曲半波m=1, 2, …,可繪制出κ與γ的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖7所示.若表示半波m=p-1與m=p兩支曲線(xiàn)相交，令：

κ2|m→p-1=κ2|m→p

(50)

代入式(49)，可得：

(51)

p(γ)=γ-1(p)=

(52)

m=[p(γ)]

(53)

1.2.4剪屈板臨界屈曲系數(shù)參數(shù)分析 設(shè)當(dāng)κ2取最小值κ2cr時(shí)，長(zhǎng)寬比為γcr，傾斜角為αcr.考慮到必有一組(γcr,αcr)使得Nxy取得最小值(Nxy)cr，令：

(54)

代入式(49)得：

γcr=

其中：

將γcr的表達(dá)式代入式(49)，得臨界屈曲系數(shù)：

κ2cr=

(55)

(1)γcr與χ2的關(guān)系.

由式(55)可得m=1, 2, …時(shí)，臨界長(zhǎng)寬比γcr隨剛度系數(shù)χ2變化的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖8所示.隨著屈曲半波數(shù)的增加，γcr均勻遞增；對(duì)于同一屈曲半波數(shù)，γcr隨著彈性轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的增大而遞減.在m=1,χ2=0時(shí)，γcr約為1.91.

(2)αcr與χ2的關(guān)系.

由γcr的表達(dá)式可得臨界傾斜角αcr隨剛度系數(shù)χ2變化的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖9所示.臨界傾斜角隨χ2的增大而遞增，在χ2=0, 100時(shí)，存在上下漸近線(xiàn)，αcr約為0.76和0.82.

(3)κ2cr與χ2的關(guān)系.

由式(55)可得臨界屈曲系數(shù)κ2cr-lgχ2的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖10所示.κ2cr隨彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度系數(shù)χ2的增大而增大，可以看出κ2cr-lgχ2曲線(xiàn)同樣存在上、下兩條漸近線(xiàn)，分別代表矩形板彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界退化為固支和簡(jiǎn)支時(shí)的狀態(tài).

圖8 γcr與χ2的關(guān)系Fig.8 γcr versus χ2

圖9 αcr與χ2的關(guān)系Fig.9 αcr versus χ2

圖10 κ2cr與χ2的關(guān)系Fig.10 κ2cr versus χ2

2 剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形 薄板復(fù)合應(yīng)力下屈曲分析

復(fù)合應(yīng)力指的是矩形薄板面內(nèi)同時(shí)作用有彎曲應(yīng)力和切應(yīng)力，這種情況更符合工程實(shí)際，如鋼箱-混凝土組合梁受橫力彎曲時(shí)，腹板上同時(shí)存在彎矩和切應(yīng)力.鋼-混組合剪力墻承受剪力的同時(shí)承受豎向荷載，故只研究矩形板在單一應(yīng)力下的單側(cè)屈曲行為是不夠的.理論上找到符合復(fù)合應(yīng)力下的屈曲模態(tài)的撓曲面位移函數(shù)比較困難，故求解復(fù)合應(yīng)力下的穩(wěn)定問(wèn)題也較不容易，因此一般是以穩(wěn)定相關(guān)性驗(yàn)算公式來(lái)判斷屈曲問(wèn)題.

2.1 復(fù)合應(yīng)力下矩形板屈曲計(jì)算相關(guān)性公式

為了使復(fù)合應(yīng)力下的計(jì)算公式簡(jiǎn)便且適用于工程上的驗(yàn)算，采用以下兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式比較分析.

(1) 《鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定設(shè)計(jì)指南》[17]提出的在非均受壓、剪切組合作用下腹板局部穩(wěn)定性計(jì)算公式：

(56)

(2) Bijlaard[18]提出的偏心受壓、剪切聯(lián)合作用的屈曲計(jì)算公式：

(57)

式中：τcr、σcr分別為在純剪、純彎狀態(tài)下的臨界屈曲應(yīng)力；τ、σ分別為復(fù)合應(yīng)力狀態(tài)下的剪切、彎曲應(yīng)力.

2.2 矩形板彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度計(jì)算公式

利用式(56)驗(yàn)算實(shí)際工程中板的屈曲，需要確定板的臨界屈曲應(yīng)力，而臨界屈曲應(yīng)力取決于板的臨界屈曲系數(shù)，它又是彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度系數(shù)的函數(shù)，因此在得到彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度后，才可確定臨界屈曲應(yīng)力.以充填混凝土-鋼箱連續(xù)組合梁的腹板為例，利用文獻(xiàn)[14]，將約束鋼板的寬度折減一半，以考慮內(nèi)填混凝土對(duì)約束轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的提高，得到鋼板非加載邊彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束系數(shù)的近似計(jì)算公式：

(58)

(59)

(60)

2.3 半充填式鋼箱-混凝土組合試驗(yàn)梁負(fù)彎矩區(qū)腹 板屈曲分析

試驗(yàn)的主要目的是研究組合梁鋼箱腹板的局部屈曲的行為，將試驗(yàn)實(shí)測(cè)的屈曲臨界荷載與理論計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，驗(yàn)證理論公式的正確性.

2.3.1試驗(yàn)梁的設(shè)計(jì) 試驗(yàn)梁整體尺寸設(shè)計(jì)：試驗(yàn)梁縱長(zhǎng) 4 400 mm，翼板寬 1 000 mm，厚120 mm，采用混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C40，如圖11所示.

鋼箱梁高為300 mm，頂板、底板的寬度均為180 mm，頂板、底板厚度均為10 mm，腹板的厚度為 4 mm，高度為280 mm.在端部支座區(qū)設(shè)置橫向加勁肋，鋼梁采用Q235級(jí)鋼板焊接而成.鋼箱全長(zhǎng)半充填混凝土高度為138 mm，強(qiáng)度等級(jí)為C40，試驗(yàn)梁橫截面如圖12所示.

圖11 鋼-混組合試驗(yàn)梁立體圖(mm)Fig.11 Diagram of steel-concrete composite test beam (mm)

圖12 試驗(yàn)梁橫截面圖(mm)Fig.12 Cross section of test beam (mm)

2.3.2加載方案與測(cè)點(diǎn)布置 半充填式鋼箱-混凝土組合試驗(yàn)梁采用反向加載方式來(lái)模擬負(fù)彎矩區(qū)受力狀態(tài).將千斤頂置于地面，千斤頂壓力通過(guò)置于上面的壓力傳感器來(lái)測(cè)量，產(chǎn)生的推力由分配梁通過(guò)一個(gè)活動(dòng)支座和一個(gè)固定支座，分成兩對(duì)稱(chēng)集中力分別作用于試驗(yàn)梁下翼緣的鋼箱底板，兩作用點(diǎn)間距為 1 400 mm.在試驗(yàn)梁混凝土翼板中軸線(xiàn)上距梁端200 mm處布置同樣一活動(dòng)支座和一固定支座，通過(guò)反力架提供反力.試驗(yàn)梁的計(jì)算跨徑為 4 000 mm.如圖13所示.

鋼箱腹板表面布置的應(yīng)變片如圖14所示.在跨中兩加載點(diǎn)之間的純彎段(1.4 m)內(nèi)設(shè)3個(gè)應(yīng)變測(cè)量斷面，用來(lái)測(cè)量負(fù)彎矩區(qū)的彎曲正應(yīng)變.在靠近邊支座處的東側(cè)鋼箱腹板表面設(shè)置3個(gè)斷面粘貼應(yīng)變花，用來(lái)測(cè)量剪應(yīng)變.

圖13 試驗(yàn)梁加載圖(mm)Fig.13 Loading diagram of test beam (mm)

圖14 翼板和鋼箱腹板應(yīng)變片布置圖(mm)Fig.14 Strain gauges for flange plate and steel box web (mm)

2.3.3試驗(yàn)結(jié)果分析 在兩點(diǎn)試驗(yàn)的加載值F=570 kN 時(shí)，鋼箱負(fù)彎矩區(qū)支座腹板處發(fā)生板件局部屈曲，如圖15所示.

圖15 負(fù)彎矩區(qū)鋼箱腹板局部屈曲失穩(wěn)Fig.15 Buckling of web in negative moment region

假設(shè)鋼箱腹板上的切應(yīng)力均勻分布，梁截面滿(mǎn)足平截面假定，則試驗(yàn)梁加載點(diǎn)處負(fù)彎矩區(qū)鋼箱腹板屈曲時(shí)計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖16所示.板長(zhǎng)為屈曲范圍400 mm，板寬為腹板高度280 mm.

圖16 負(fù)彎矩區(qū)腹板受復(fù)合應(yīng)力屈曲計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.16 Calculation diagram of box web buckling under combined stress in negative moment region

鋼箱負(fù)彎矩區(qū)支座處腹板應(yīng)變片數(shù)值如表1所示.根據(jù)平截面假設(shè)，截面鋼箱腹板應(yīng)變隨梁高總體呈線(xiàn)性關(guān)系，可計(jì)算出腹板下緣即10 mm處正應(yīng)變?chǔ)艦?-1 132.36×10-6，腹板上緣即280 mm處正應(yīng)變?chǔ)艦?-319.06×10-6.

同樣，在橫力彎曲段靠近端支座處鋼箱腹板表面設(shè)置3組應(yīng)變花，由測(cè)量的應(yīng)變數(shù)據(jù)可得屈曲時(shí)切應(yīng)變?chǔ)脼?-1 547.82×10-6.則試驗(yàn)梁鋼箱腹板發(fā)生屈曲時(shí)實(shí)際應(yīng)力為

表1 YY1截面屈曲時(shí)正應(yīng)變數(shù)值表Tab.1 Normal strain of section YY1 during buckling

σ=Eε=226.47 (MPa)

(61)

(62)

式中：E為彈性模量.負(fù)彎矩區(qū)支座彎曲荷載梯度為

λ=(σmax-σmin)/σmax=0.718

(63)

利用式(58)，由圖12可得腹板下緣的彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束剛度系數(shù)χb=56.05.鋼箱上箱室雖未填充混凝土，但考慮到剪力釘對(duì)翼緣板彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束的制約作用[10]，仍考慮折減一半約束鋼板的寬度，得到腹板上下緣的彈性轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)χt=χb=56.05.

根據(jù)式(30)、(49)可以計(jì)算得到彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束的板件在彎曲、剪切荷載單獨(dú)作用下的臨界屈曲系數(shù)，考慮腹板高度方向只有下箱室充填了混凝土，故對(duì)屈曲系數(shù)折減一半，可得：

κ=8.75，κ2=6.20

代入式(29)、(48)可得在彎、剪單獨(dú)作用下的臨界屈曲應(yīng)力為：σcr=323 MPa，τcr=228 MPa.

那么穩(wěn)定驗(yàn)算相關(guān)性公式可以寫(xiě)出：

文獻(xiàn)[17]：

(64)

文獻(xiàn)[18]：

(65)

試驗(yàn)結(jié)果和式(64)、(65)在彎-剪復(fù)合作用下腹板局部穩(wěn)定性計(jì)算公式如圖17所示.

圖17 試驗(yàn)值與理論彎-剪復(fù)合屈曲應(yīng)力曲線(xiàn)對(duì)比Fig.17 Comparison of test value and theoretical bend-shear complex buckling stress

由此可知，本試驗(yàn)結(jié)果略低于文獻(xiàn)[17]和文獻(xiàn)[18]彎剪復(fù)合屈曲應(yīng)力值，吻合良好，驗(yàn)證了本文對(duì)于剛性基底彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束矩形板受壓屈曲和受剪屈曲系數(shù)求解的準(zhǔn)確性.計(jì)算結(jié)果比簡(jiǎn)單地將非加載邊界按簡(jiǎn)支或固支處理的計(jì)算結(jié)果更符合鋼箱-混凝土梁腹板局部屈曲的試驗(yàn)結(jié)果.

3 部分充填式鋼箱-混凝土組合梁負(fù) 彎矩區(qū)腹板屈曲有限元分析

由于全梁模型鋼箱腹板的臨界屈曲系數(shù)受腹板自身寬厚比、上下翼緣板寬厚比、剪力釘?shù)倪B接剛度、混凝土充填高度、加載點(diǎn)和彎剪比等諸多因素的影響，為了控制單因素條件得到復(fù)雜受力下的彎-剪復(fù)合臨界屈曲應(yīng)力，對(duì)在受力狀態(tài)(圖(16))下的腹板單獨(dú)建立ANSYS有限元模型，并結(jié)合試驗(yàn)及本文理論解比較分析其適用性.

薄板模型采用Shell63四節(jié)點(diǎn)彈性殼單元.對(duì)于彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界和剛性基底，分別采用兩種Combin14彈簧—阻尼器單元模擬，分別賦予沿板邊的扭轉(zhuǎn)自由度和垂直于板面的自由度，使彈簧單元只有繞坐標(biāo)軸的扭轉(zhuǎn)剛度或沿坐標(biāo)軸的軸向拉壓剛度.需要指出的是，在薄板底面布置雙向拉壓彈簧，用來(lái)模擬在彈性基底上的薄板屈曲行為.本文通過(guò)將底面彈簧的剛度系數(shù)χ1控制在一個(gè)較小值以模擬試驗(yàn)中半填充混凝土鋼箱腹板的屈曲特性.

引入的無(wú)量綱剛度系數(shù)χ1定義為

(66)

式中：k0為彈性基底的支承剛度，分布化后作為每個(gè)底面彈簧的倔強(qiáng)系數(shù).χ1描述了底面彈簧和矩形板剛度的相對(duì)大小.

為滿(mǎn)足重復(fù)分析的需要，編寫(xiě)了模型建立和特征值屈曲分析的命令流程序.采用先生成全部節(jié)點(diǎn)，后建立相關(guān)單元的模式，可快速便捷建立有限元模型.設(shè)定主要參數(shù)有：χ1、χ2、γ、λ和彎剪比β.采用國(guó)際單位制，薄板的彈性模量取E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，板厚t=0.014 3 m.為方便起見(jiàn)，板寬b取為定值1 m，根據(jù)γ確定板長(zhǎng)a.模型沿x軸方向的板邊為彈性轉(zhuǎn)動(dòng)邊界，同時(shí)板四邊簡(jiǎn)支，對(duì)于不與薄板相連的彈簧單元節(jié)點(diǎn)，約束其全部自由度.布載時(shí)首先在模型上作用一個(gè)較小的剪力值，稱(chēng)作擾動(dòng)值，再根據(jù)彎剪比β確定作用的壓力值，分布化后作用在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上.

根據(jù)本文第2部分的試驗(yàn)，等比例縮放板的尺寸a=1.43 m，b=1 m，t=0.014 3 m；λ=0.72；χ2=56.1.鑒于剛性基底和彈性基底的定量關(guān)系尚不明確，χ1分別取0、5、10進(jìn)行分析.彎-剪屈曲荷載有限元計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 在基底剛度χ1=5時(shí)的彎-剪復(fù)合屈曲荷載值Tab.2 Load of bend-shear complex buckling at χ1=5

圖18所示為在3種基底剛度下共39個(gè)模型屈曲時(shí)的彎-剪復(fù)合應(yīng)力值，用光滑曲線(xiàn)相連與圖17通過(guò)理論計(jì)算的規(guī)范曲線(xiàn)和試驗(yàn)值對(duì)比發(fā)現(xiàn)，有限元結(jié)果和本文計(jì)算理論曲線(xiàn)走向一致，基底剛度系數(shù)χ1=5的曲線(xiàn)與本文理論曲線(xiàn)吻合較好，證明本文理論計(jì)算的可行性.半充填式鋼箱-混凝土組合試驗(yàn)梁由于只在下箱室充填了混凝土，故負(fù)彎矩區(qū)腹板不能完全視為處于剛性基底之上，而是給予基底一個(gè)剛度系數(shù)較為合適.通過(guò)有限元分析可得，腹板基底的剛度系數(shù)略低于5.腹板屈曲在3種基底剛度下的一階屈曲模態(tài)如圖19所示.

部分充填式鋼箱-混凝土組合梁全梁1/4縱橫對(duì)稱(chēng)Abaqus模型腹板特征值屈曲模態(tài)如圖20所示.由此可見(jiàn)，負(fù)彎矩區(qū)位于中支座正下方的腹板由于鋼箱下箱室充填的混凝土，屈曲強(qiáng)度有了較大提高.而在充填混凝土范圍之外的腹板則較易發(fā)生局部屈曲.說(shuō)明無(wú)側(cè)向混凝土約束的腹板屈曲強(qiáng)度低，混凝土的充填能顯著提高鋼箱組合梁負(fù)彎矩區(qū)腹板的抗屈能力.

圖18 有限元值與理論彎-剪復(fù)合屈曲應(yīng)力曲線(xiàn)對(duì)比Fig.18 Comparison of FEM value and theoretical bend-shear complex buckling stress

圖19 3種基底剛度下腹板的一階屈曲模態(tài)Fig.19 First set of buckling modes of web plates at 3 kinds of base stiffnesses

圖20 部分充填式鋼-混組合梁模型屈曲模態(tài)Fig.20 Typical buckling mode of partially filled steel box-concrete composite beams

4 結(jié)論

(1) 本文根據(jù)受壓受剪矩形板屈曲變形特點(diǎn)，分別提出不同的撓曲面函數(shù)，通過(guò)利用Rayleigh-Ritz法導(dǎo)出了剛性基底上彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界矩形薄板在線(xiàn)性壓力荷載單獨(dú)作用下和剪力單獨(dú)作用下的屈曲系數(shù)理論計(jì)算公式，形式較為簡(jiǎn)潔，便于參數(shù)化分析，為進(jìn)一步分析勻質(zhì)矩形薄板在復(fù)合應(yīng)力條件下的屈曲問(wèn)題提供了理論依據(jù).

(2) 通過(guò)對(duì)屈曲理論解求極值，分析了受壓臨界屈曲系數(shù)隨邊界剛度系數(shù)χb、χt的變化規(guī)律，對(duì)比分析了在不同縱橫荷載比μ和不同荷載梯度λ下受壓臨界屈曲系數(shù)的變化曲線(xiàn)；同時(shí)也分析了受剪臨界屈曲系數(shù)隨χ2的變化規(guī)律，證實(shí)了彈性轉(zhuǎn)動(dòng)約束邊界不可簡(jiǎn)單地視為簡(jiǎn)支或固支邊界.

(3) 通過(guò)一根半充填式鋼箱-混凝土組合試驗(yàn)梁的反向加載試驗(yàn)分析了負(fù)彎矩區(qū)腹板的屈曲情況.結(jié)合文獻(xiàn)復(fù)合屈曲應(yīng)力公式，運(yùn)用本文推導(dǎo)的單獨(dú)受壓、剪屈曲系數(shù)公式計(jì)算出臨界壓、剪屈曲應(yīng)力，結(jié)果顯示試驗(yàn)值位于根據(jù)本文理論解繪出的復(fù)合應(yīng)力曲線(xiàn)之上，證實(shí)了本文理論解的可行性.

(4) 建立腹板的有限元模型，借助于對(duì)彈性基底的研究方法，對(duì)試驗(yàn)梁半充填混凝土的腹板賦予彈性基底剛度系數(shù)，數(shù)值分析表明，有限元結(jié)果和本文計(jì)算理論曲線(xiàn)走向一致，彈性基底剛度系數(shù)χ1=5的有限元曲線(xiàn)略高于本文理論曲線(xiàn)，半充填混凝土試驗(yàn)梁負(fù)彎矩區(qū)腹板基底的剛度系數(shù)略低于5.